А. В. Ким, В. Г. Пименов
Для функционально-дифференциальных уравнений общего вида конструируются численные методы типа Рунге-Кутта и многошаговые методы. Для определения порядка сходимости методов используется техника i-гладкого анализа.
К настоящему времени разработаны эффективные численные методы и соответствующее программное обеспечение для решения различных классов обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и дифференциальных уравнений с частными производными. Прогресс в этом направлении является основой широкого применения таких уравнений в практике.
При построении математических моделей динамических процессов широко применяются дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом (называемые также уравнениями с последействием, уравнениями с запаздыванием, функционально-дифференциальными уравнениями). Хотя к настоящему времени различные аспекты качественной теории функционально-дифференциальных (ФДУ) разработаны почти с такой же полнотой [11, 20, 28, 29, 34], как и соответствующие разделы теории ОДУ, однако до сих пор не развиты общие подходы к построению численных методов для решения нелинейных ФДУ. Отсутствие таких эффективных численных методов препятствует широкому примемению уравнений с последействием в прикладных исследованиях.
В данной работе рассматриваются вопросы построения численных методов типа Рунге-Кутта, а также многошаговых методов для решения ФДУ.
Как известно [18], на основе метода последовательного интегрирования (метода шагов) решение дифференциальных уравнений с постоянным сосредоточенным запаздыванием может быть сведено к последовательному решению ОДУ (на интервалах длиной в величину запаздывания). Общие вопросы построения численных методов для систем с сосредоточенным (в том числе и переменным) запаздыванием и различные примеры можно найти в [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 17, 18, 36].
Численные методы для системы с распределенным запаздыванием частного вида разработаны в [8, 35, 25, 30].
Для общих классов ФДУ, содержащих дифференциальные уравнения с сосредоточенными и распределенными запаздываниями известен лишь подход [23, 38, 39], основанный на непрерывных численных методах. Этот подход требует значительных вычислительных затрат и для ОДУ применяется крайне редко. По мнению авторов, отсутствие общих подходов, посвященных разработке численных методов решения ФДУ (являющихся прямыми аналогами методов решения ОДУ) связано с тем, что при обосновании сходимости методов и при исследовании их порядков аппроксимации требуется определенная гладкость решений и правых частей дифференциальных уравнений.
Однако широко и эффективно используемые в различных разделах качественной теории функционально-дифференциальных уравнений производная Фреше и производные Дини (правые числа Дини вдоль решений) не позволяют развить и обосновать конструктивные подходы к разработке численных методов решения таких уравнений.
Следует также отметить, что представление систем с последействием в форме дифференциальных уравнений в банаховом пространстве и использование полугруппового подхода не позволяет разработать эффективных численных методов решения, т.к. получаемые при таком подходе оценки получаются в функциональной норме (т.е. имеют бесконечномерную природу). В то же время, как будет показано, использование техники i-гладкого анализа позволяет получить конечномерные оценки. Этот факт имеет принципиальное значение.
В данной работе сделана попытка обоснования общего подхода к разработке численных методов решения дифференциальных уравнений с произвольным последействием на основе использования конструкций i-гладкого анализа [10].
Целью работы является исследование сходимости и порядка аппроксимации методов типа Рунге-Кутта, а также многошаговых методов для систем с произвольным (ограниченным) последействием.
Для систем ОДУ порядок сходимости методов Рунге-Кутта определяется лишь порядком аппроксимации (невязкой). В отличие от этого, для систем ФДУ порядок сходимости определяется тремя факторами: порядком аппроксимации метода, порядком интерполяции предыстории модели между точками разбиения и порядком экстраполяции предыстории модели. В данной работе строятся методы с первым (аналог метода Эйлера для ОДУ) и вторым порядком аппроксимации, приводятся условия, обеспечивающие указанные порядки аппроксимации в терминах соответствующей гладкости решения и в терминах существования соответствующих инвариантных производных правой части ФДУ.
Рассматривается ряд способов интерполяции и экстраполяции предыстории
модели:
а) кусочно-постоянные интерполяция и экстраполяция предыстории;
б) интерполяция ломаными и экстраполяция по методу Эйлера;
в) интерполяция и экстраполяция многочленами произвольной степени.
Если первые два просты в реализации и не требуют больших вычислений, то последний способ при достаточной гладкости решения обеспечивает ( в сочетании с достаточно высоким порядком аппроксимации) высокий порядок сходимости.
Для многошаговых методов порядок сходимости определяется четырьмя факторами: порядком аппроксимации, порядком разгона, порядком интерполяции предыстории модели и порядком экстраполяции предыстории модели (последний лишь для неявных методов). Специфика многошаговых методов состоит также в возможности использования методов, не требующих разгона.
Полученные результаты основываются на разделении конечномерных и бесконечномерных (функциональных) составляющих в структуре фазового состояния системы с последействием, а также на использовании понятий и конструкций i-гладкого анализа.
Проведенные вычислительные эксперименты показали перспективность использования описанных ниже численных методов решения ФДУ.