Следует отметить, что с вычислительной точки зрения применение рядов Тейлора не представляет практического интереса для нахождения приближенных решений даже в случае обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако, этот подход используется как некоторый теоретический эталон, для сравнения с другими практически удобными методами.
Пусть x(t) - решение уравнения
(1.1), обладающее достаточной гладкостью.
Предположим, что мы нашли решение на некотором интервале 
.
Рассмотрим разложение этого решения в ряд Тейлора в правой
окрестности точки 
здесь 
(k=1,2,...) -
k-я производная решения в точке 
.
Если зафиксировать некоторое натуральное число N, то отрезок ряда
(11.1) :
является приближенным решением задачи (1.1) - (1.3)
в некоторой окрестности точки
(если мы сможем вычислить значения 
.
Опишем процедуру последовательного вычисления значений
, k=0,1,...,N.
При этом будем предполагать существование всех необходимых производных и
использовать следующие обозначения :
-- m-я частная производная по x,
-- m-я частная
коинвариантная производная по t.
1) Подставляя в уравнение (1.1) 
получаем формулу для
вычисления 
:
2) Для нахождения 
продифференцируем обе части
уравнения (1.1) :
Подставляя в (11.3) получим формулу для вычисления 
.
3) Для нахождения 
продифференцировав обе части
уравнения (11.3) получаем :
Подставляя в (11.4) получим формулу для вычисления 
.
4) Продолжая далее последовательное дифференцирование получаемых
соотношений, можно вычислить
, 
,...,
(см. далее замечание 11.2).
Замечание 11.1. Напомним, что если функционал 
имеет частную производную 
и инвариантную производную 
, то коинвариантная производная
равна
Замечание 11.2. Для k-ой производной 
решения уравнения
(1.1) в общем случае справедлива формула
где
(k-1)-я полная производная функционала f в силу системы (1.1).
Для существования этой полной производной достаточно, чтобы все производные
функционала f по переменным t, x, 
до (k-1)-го порядка
были инвариантно непрерывны.