4. Метод Рунге-Кутта первого порядка аппроксимации (метод Эйлера)

При m=1 имеем метод Эйлера



Оценим невязку

Предположим, что выполнено

Условие 4.1. Решение x(t) системы (1.1) дифференцируемо на .

Тогда

причем .

Подставляя (4.3) в (4.2) получаем

откуда следует сходимость метода Эйлера.

Условие 4.1 выполняется, если выполняется одно из следующих условий.

Условие 4.1.A. Отображение в правой части системы (1.1) инвариантно непрерывно (или коинвариантно непрерывно) в области определения [10, c. 43,].

Порядок аппроксимации метода Эйлера можно уточнить, если выполнено

Условие 4.2. Решение x(t) системы (1.1) имеет ограниченную вторую производную на , т.е. существует константа C > 0 для которой при .

В этом случае разложение (4.3) имеет вид

откуда следует оценка , т.е. метод Эйлера имеет первый порядок аппроксимации.

Условие 4.2 выполняется, если выполняется одно из следующих условий

Условие 4.2.A. Отображение
a) инвариантно дифференцируемо [10, c. 43,], причем производные ,gradf, ограничены в области определения;
b) коинвариантно дифференцируемо [10, c. 45,], причем производные и gradf ограничены в области определения.