И. И. Еремин
Рассматривается постановка задачи математического программирования в ситуации, когда допустимая область задается объединением множеств, а не их пересечением, - как в традиционной постановке. Целесообразность рассмотрения такой задачи подсказывается, например, кусочно-линейным программированием. Вводится понятие дизъюнктивной функции Лагранжа и формулируются теоремы типа Куна-Таккера, двойственности, теорема о точных штрафных функциях и др.
Изучение вопросов кусочно-линейного программирования [1 - 6]
естественным образом приводит к постановке задачи
дизъюнктивного программирования. Произвольная непрерывная
кусочно-линейная функция (k-линейная функция), заданная
на R
, допускает стандартное представление в форме
здесь 
- матрица, 
R, 
R
, символ 
означает взятие максимального значения координат вектора, стоящего
внутри символа . Произвольная конечная
система неравенств из
k-функций конструктивно сводится к
одному неравенству с функцией f(x) вида (1), а произвольная
задача кусочно-линейного программирования (k-линейная
задача) допускает стандартное представление
где f(x) имеет вид (1). В отличие от традиционного
представления допустимой области в виде пересечения конечной
совокупности множеств (полупространств, простых выпуклых множеств и
т.д.) в рассматриваемом случае допустимая область задачи
оптимизации (2) задается объединением множеств
(многогранников), т.е.
В схеме общей постановки пусть 
- произвольные
множества из R и f(x) - произвольная функция, заданная
на R. Запишем задачи
Первую из них назовем задачей в конъюнктивной
постановке, вторую - в дизъюнктивной. Форма (3)
является обычной для задач математического программирования. Вторая
из них отражает ситуацию кусочно-линейной задачи (2). Пусть
в (4): 
, 
: R
R, 
. Для задачи 
функцией Лагранжа является
Задаче 
, т.е. (4), поставим в соответствие
функцию
которую будем называть дизъюнктивной функцией Лагранжа
для задачи . Зафиксируем схему соответствия задачам
и их функций Лагранжа:
Задаче кусочно-линейного программирования (k-линейной
задаче) в стандартной форме (2) будет соответствовать
дизъюнктивная функция Лагранжа вида
С этой функцией можно связать многие проблемы,
относящиеся к изучению k-задач, часть из которых
рассматривается ниже. Алгебра
k-линейных функций и
k-линейных задач допускает расширение своих постановок до рамок
более общих конструкций, а именно - до рамок
-
расширений функциональных линейных пространств. Речь идет о
расширении фиксированного линейного функционального
пространства F
до минимального пространства F, замкнутого
относительно операции дискретного максимума, т.е. если
F, то 
F.
Если F - пространство линейных функций, то F - класс
k-линейных функций; если F - класс квадратичных функций,
то F - класс кусочно-квадратичных функций, и т.д. Отмеченное
обстоятельство позволяет ряд проблем кусочного
программирования и связанных с ним дизъюнктивных задач оптимизации
выносить за рамки линейных постановок.
Хотя кусочно-линейные функции и соответствующий им аппарат имеют важное значение, тем не менее число работ, посвященных этим вопросам, незначительно. Отметим работы [1 - 6], первая из которых, являясь кандидатской диссертацией С.В.Плотникова, содержит главу III под названием ``Кусочно-линейные функции и полиэдральные множества'', в которой проводится довольно основательное исследование по алгебре и геометрии класса k-функций.
-расширения функциональных
пространств