1. -расширения функциональных пространств

Пусть F - некоторое линейное функциональное пространство с вещественным пространством X аргументов функций из F. Если
F , то функция дискретного максимума может как принадлежать F, так и не принадлежать.

Речь пойдет о минимальном линейном расширении пространства F до пространства F, обеспечивающего свойство -замкнутости:

В этой ситуации выполняется, очевидно, свойство линейной замкнутости:

где .

Минимальное -замкнутое расширение назовем - расширением. Из смысла такого расширения видно, что

где , , , , , .

На самом деле все функции из F могут быть преобразованы к некоторому стандартному виду. В основе такого преобразования лежит ряд тождеств, справедливых для произвольного набора функций:

здесь , ;

здесь и далее: ;

Выписанные тождества носят общелогический характер и проверяются непосредственно.

Наравне с F введем пространство

где F, .

Операция взятия положительной срезки ``+'' является частным случаем -операции, однако она потенциально (т.е. многократно примененная) дает тот же класс функций F. Имеет место

Теорема 1.1. 1) Все функции из могут быть приведены к любому из стандартных видов:





где означает при k>1, следовательно, .

2) Классы и совпадают.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Соотношение означает совпадение с при k>1. На самом деле достаточно доказать . В силу (1.4) можно ограничиться преобразованием функции при к виду (1.9). Пусть . Доказательство можно вести индукцией по n. Если n=1, то удовлетворяет требуемому свойству представления (1.9). Пусть n>1. Так как , то эти функции можно представить в виде

при F. Имеем

По индукции . Так как , причем , то по (1.4): , а по (1.7): , что
(с учетом ) и дает . Итак, мы доказали , а вместе с тем и F.

Представимость функций из F в виде (1.10) или (1.11) следует из тождества (1.8).

2) Докажем вначале включение H, т.е. , . Если
, то в силу (1.4): . Следовательно, . Пусть , докажем . Произвольная функция из  имеет вид

Из этого следует, что f представляется линейной комбинацией функций дискретного максимума при образующих из F, что с учетом (1.4) и дает для f требуемое представление (1.9).

Обратно, если F, т.е. f имеет вид (1.9), то показав, что функция дискретного максимума при образующих из F принадлежит H, т.е. некоторому , мы тем самым покажем и H. Итак, пусть

Если m=1, то H. Пусть m>1. Выпишем соотношение (1.5):

Если по индуктивному предположению , то , что и требовалось.

Представления (1.9) - (1.11) функций класса F, таким образом, эквивалентны. Конструктивное доказательство этого опирается на тождества (1.3) - (1.8).

Мы уже отметили, что представление функции в форме (1.9) может быть переписано в форме (1.10) при (см. (1.8)). Нужно убедиться в обратном. Итак, пусть f вида (1.10), т.е. . Если и n=1, то . При n>1 доказательство, как это и делалось выше, можно провести индукцией по n. По (1.6):

По индуктивному предположению

т.е. может быть представлена в форме (1.9), но тогда с использованием преобразований (1.3), (1.4) и (1.7) функция f приводится к виду (1.9), что и требовалось.

Эквивалентность представлений (1.11) и (1.9) доказывается аналогично. Теорема доказана полностью.

Функции f из F будем называть -функциями, или -кусочными функциями. Если F - пространство линейных функций, то F - пространство кусочно-линейных функций.