5. Свойства оптимального управления $u^0[k, x]$

Здесь будем использовать $k^*,$ введенное в § 4, а также постоянный вектор

$$c\stackrel{def}{=}{\cal D}^+(k_0) c(k_0).$$ (5.1)

Рассмотрим подробнее каждую из возможных ситуаций при $k^*\ge k_0.$

С и т у а ц и я 1. Выполнено условие 2.1.

С л у ч а й 1а. Пусть $k$ удовлетворяет неравенству: $k_0\le k\le k^*.$ Из изложенного в § 4 следует: rank ${\cal D}(k_0)=$rank ${\cal D}(k_0+1)=\ldots=$ rank ${\cal D}(k)=\ldots=$ rank ${\cal D}(k^*)=n.$ Тогда по свойству псевдообратной матрицы ([8, стр. 32]) ${\cal D}^+(k)=$ ${\cal D}^{-1}(k), k_0 \le k \le k^*,$ откуда, учитывая (3.5), получаем:

$${\cal D}^+(k+1) c(k+1)={\cal D}^+(k+1){\cal D}(k+1){\cal D}^+(k) c(k)={}$$

$${}={\cal D}^{-1}(k+1){\cal D}(k+1){\cal D}^+(k) c(k)={\cal D}^+(k) c(k)$$

при $k_0 \le k \le k^*-1,$ или, что то же,

$${\cal D}^+(k_0) c(k_0)={\cal D}^{-1}(k_0) c(k_0)={}$$

$${}={\cal D}^{-1}(k_0+1) c(k_0+1)=\ldots={\cal D}^{-1}(k^*) c(k^*)=c= .$$ (5.2)

С л у ч а й 1б. Пусть теперь $k^*<k\le N-1.$

Известно ([12, стр. 139]), что в матрице $\left[B,AB,\ldots,A^{N-k-1}B\right]$ линейно независимыми столбцами будут первые $S_j$ векторов $b^{(j)},$
$Ab^{(j)},\ldots,A^{N-k-1}b^{(j)},$ $j=1, 2,\ldots,m.$ Ранг этой матрицы равен рангу $H^{(k)}$ и совпадает с рангом ${\cal D}(k)$ ([4, стр. 118]). При $k^*<k\le N-1$ справедливы неравенства: rank ${\cal D}(N-2)\le \ldots \le$ rank ${\cal D}(k^* + 1)<$ $n,$ причем определитель порядка, равного рангу ${\cal D}(k),$ расположен в левом верхнем углу матрицы Грама ${\cal D}(k).$ Оптимальное управление $u^0\bigl[k;\ k, x(k)\bigr]$ (3.3) приводит систему (1.1) в заданное конечное состояние $x(N)=x_1 ,$ но из этого автоматически не следует выполнение соотношений, подобных (5.2). Условия, при которых справедливы указанные равенства с заменой ${\cal D}^{-1}(k)$ на ${\cal D}^+(k),$ будут получены ниже.

С и т у а ц и я 2. Условие 2.1 не выполняется.

Заметим, что данная ситуация возможна лишь при $k$ таких, что $k^*<k\le N - 1$ (или при $k^*<k_0 ,$ но этот случай отдельно не рассматриваем, так как для него справедливы рассуждения, приведенные ниже). Система $H^{(k)}u^{(k)}=c(k)$ оказывается несовместной, вследствие чего управления (3.3) переводят систему (1.1) в точку $x^0(N)$, не совпадающую с $x_1,$ а лишь ближайшую к ней из всех возможных. При этом достижение $\min\limits_{x(N)\in {\Bbb R}^n} \Vert x_1-x(N)\Vert^2=$ $\Vert x_1-x^0(N)\Vert^2$ обеспечивается применением псевдообратной матрицы $H^{+ (k)},$ дающей нормальное псевдорешение $u^{0 (k)}=H^{+ (k)}c(k)$ для указанной выше системы.

Теорема 5.1. Пусть фиксировано некоторое значение $\bar k$ $(k_0 \le \bar k\le N-1)$ и вектор $c$ $(\ref{q51})$ удовлетворяет условию $c\in R\left({\cal D}(\bar k)\right).$ Тогда справедливы равенства

$${\cal D}^+(k_0) c(k_0)={\cal D}^+(k_0+1) c(k_0+1)=\ldots={\cal D}^+(\bar k) c(\bar k)=c= .$$ (5.3)

Д о к а з а т е л ь с т в о. При $k_0\le \bar k\le k^*$ мы находимся в рассмотренном ранее случае $1$а , для которого равенства (5.2) и означают (5.3).

Пусть $k^*<\bar k\le N-1.$ Из равенств (5.2) и условия данной теоремы имеем $c={\cal D}^+(k^*) c(k^*)\in R\left({\cal D}(\bar k)\right),$ откуда, учитывая следствие 4.1, получаем $c\in R\bigl({\cal D}(k^*+1)\bigr).$ Утверждение 3.1 при $k=k^*$ останется справедливым (так как при $k=k^*$ rank ${\cal D}(k)=$ rank $H^{(k)}=n$); значит, согласно (3.5),

$$c(k^*+1)={\cal D}(k^*+1){\cal D}^+(k^*) c(k^*)={\cal D}(k^*+1) c.$$

Используя свойство 4.1, находим:

$${\cal D}^+(k^*+1) c(k^*+1)={\cal D}^+(k^*+1){\cal D}(k^*+1) c=c.$$

Полагаем теперь $k=k^*+2.$ Утверждение 2.1 справедливо и при отказе от условия 2.1 для конечного состояния $x^0(N).$ Но для него же справедливо и утверждение 3.1. Значит, используя (3.5), имеем:

$$c(k^*+2)={\cal D}(k^*+2){\cal D}^+(k^*+1) c(k^*+1)={\cal D}(k^*+2) c.$$

Повторяя предыдущие рассуждения для $k^*+2,$ получаем:

$${\cal D}^+(k^*+2) c(k^*+2)={\cal D}^+(k^*+2){\cal D}(k^*+2) c=c$$

и т.д. при $k=k^*+3,\ldots,\bar k.$ Итак, ${\cal D}^+(k) c(k)=c=$const для всех $k,$ таких, что $k_0\le k \le \bar k.$ Теорема доказана.

Следствие 5.1. Если вектор $c$ (5.1) таков, что $c\in R\bigl(BB^T\bigr),$ то равенство ${\cal D}^+(k) c(k)=c$ справедливо для любого $k_0\le k\le N-1.$

З а м е ч а н и е. Поскольку вектор $c={\cal D}^+(k_0) c(k_0)$ определяется парой точек $(x_0; x_1),$ эти точки можно выбрать таким образом, чтобы, например, $0\ne c \in$   ker${\cal D}(k^*+1).$ Тогда для указанных $x_0$ и $x_1$ ${\cal D}(k^*+1) c =$0, а значит, при $c\ne 0$ равенство ${\cal D}^+(k^*+1) c(k^*+1)=c$ невозможно. Очевидно, что и последующие равенства при $k>k^*+1$ выполняться не будут.

В силу данного замечания целесообразно рассмотреть общий случай, когда на вектор $c$ (5.1) не наложено никаких условий. С этой целью заметим, что, с учетом соотношения (4.1), вектор $c$ единственным образом можно представить в виде:

$$c=c_{1 k^*+1}+c_{0 k^*+1} ,$$

где

$$c_{1 k^*+1}=$$Пр$$_{R\bigl({\cal D}(k^*+1)\bigr)}c ,\quad c_{0\ k^*+1}=\mbox{Пр}_{ \mbox{ker} {\cal D}(k^*+1)}c .$$

Учитывая (3.5), имеем

$$c(k^*+1)={\cal D}(k^*+1) c={\cal D}(k^*+1)(c_{1 k^*+1}+c_{0 k^*+1})= {\cal D}(k^*+1)c_{1 k^*+1} ,$$

откуда следует

$${\cal D}^+(k^*+1) c(k^*+1)={\cal D}^+(k^*+1){\cal D}(k^*+1) c_{1 k^*+1}= c_{1 k^*+1}=$$Пр$$_{R\bigl({\cal D}(k^*+1)\bigr)}c.$$

При $k=k^*+2$ аналогичным образом получим

$${\cal D}^+(k^*+2) c(k^*+2)={\cal D}^+(k^*+2){\cal D}(k^*+2) {\cal D}^+(k^*+1) c_1(k^*+1)=$$

$$={\cal D}^+(k^*+2){\cal D}(k^*+2) c_{1 k^*+1}=$$Пр$$_{R\bigl({\cal D}(k^*+2)\bigr)}c_{1 k^*+1}=c_{1 k^*+2} .$$

Но, согласно Следствию 4.1, $R\bigl({\cal D}(k^*+1)\bigr) \supseteq R\bigl({\cal D}(k^*+2)\bigr),$ поэтому
Пр$_{R\bigl({\cal D}(k^*+2)\bigr)}c_{1\ k^*+1}=\mbox{Пр}_{R\bigl({\cal D}(k^*+2)\bigr)}c,$ значит,

$${\cal D}^+(k^*+2) c(k^*+2)=$$Пр$$_{R\bigl({\cal D}(k^*+2)\bigr)} c.$$

Аналогичные равенства справедливы и для $k=k^*+3,\ldots,N-1.$ При этом на последнем шаге, при $k=N-1,$ имеем

$${\cal D}^+(N-1) c(N-1)=$$Пр$$_{R(BB^T)} c.$$

Из всего сказанного выше можем заключить, что в зависимости от конкретных значений $x_0, x_1, k_0$ и $N$ возможны следующие ситуации:

1) условие 2.1 выполнено, тогда построенное в § 3 оптимальное управление по принципу обратной связи $u^0\bigl[k; k, x(k)\bigr],$ (3.3) совпадает с оптимальным программным управлением $u^0(k; k_0, x_0)$ (2.10) и переводит систему (1.1) в заданное конечное состояние $x(N)=x_1;$

2) условие 2.1 не выполняется. В этом случае оптимальное управление $u^0\bigl[k; k, x(k)\bigr],$ (3.3) приводит систему (1.1) настолько близко к точке $x_1,$ насколько это возможно, но нельзя утверждать, что $x^0(N)=x_1.$ Таким образом, задачи 1.1 и 1.2 в их первоначальной постановке неразрешимы. В этом случае для системы (1.1) можно выделить управляемую подсистему ([12, стр. 146]) и для нее решить поставленные задачи.

В обеих ситуациях при $k_0\le k\le k^*$ справедливы равенства:
${\cal D}^+(k) c(k)={\cal D}^{-1}(k) c(k)={\cal D}^{-1}(k_0) c(k_0)=c=$const$.$ Если же $k^*<k\le N-1,$ то для $c\in R\bigl(BB^T\bigr)$ эту цепочку можно продолжить: ${\cal D}^{-1}(k_0) c(k_0)=c=$ ${\cal D}^+(k^*+1) c(k^*+1)=\ldots=$ ${\cal D}^+(N-1) c(N-1)=\mbox{const}.$ В противном случае, т.е. если $c\notin R\bigl({\cal D}(\tilde k)\bigr)$, для некоторого $\tilde k$ такого, что $k^*<\tilde k\le N-1,$ равенства не выполняются, начиная с указанного $k=\tilde k.$ Сказанное выше относится и к случаю, когда значение $k_0$ таково, что ранг ${\cal D}(k_0)<n$ и, следовательно, случай $k\le k^*<k_0$ не рассматриваем. Тем не менее всегда можно утверждать, что ${\cal D}^+(k) c(k)=$   Пр$_{R\bigl({\cal D}(k)\bigr)}c$ для всякого $k,$ удовлетворяющего условию: $k_0\le k \le N-1.$