4 Свойства матриц ${\cal D}(k), {\cal D}^+(k)$

Для более детального анализа процесса управления введем в рассмотрение момент времени $k=k^*,$ удовлетворяющий условиям: ранг матрицы ${\cal D}(k^*)$ равен $n,$ но ранг ${\cal D}(k^*+1)<n.$ Заметим, что матрица ${\cal D}(k)$ есть матрица Грама, и согласно ([4, стр. 101]), rank ${\cal D}(k_0)=$ rank ${\cal D}(k_0+1)=\ldots=$ rank ${\cal D}(k^*).$ При $k=k^* + 1$ ядро матрицы ${\cal D}(k^*+1),$ ker ${\cal D}(k^*+1)\ne \{0\},$ а все пространство ${\Bbb R}^n$ может быть представлено в виде прямой суммы

$${\Bbb R}^n=R\bigl({\cal D}(k^*+1)\bigr) \oplus$$   ker$${\cal D}(k^*+1),$$

где $R\bigl({\cal D}(k^*+1)\bigr)$ - область значений ${\cal D}(k^*+1).$ Аналогично, при $k=k^*+2$ имеем

$${\Bbb R}^n=R\bigl({\cal D}(k^*+2)\bigr) \oplus$$   ker$${\cal D}(k^*+2),$$

и т.д.; при $k=N-1$

$${\Bbb R}^n=R\bigl({\cal D}(N-1)\bigr) \oplus {\cal D}(N-1)$$ (4.1)

или, что то же,

$${\Bbb R}^n=R(BB^{T}) \oplus$$   ker$$(BB^T).$$

Утверждение 4.1. Для матриц ${\cal D}(k), k_0\le k\le N-1$, справедливы соотношения

$$\begin{array}{c} \{0\}=\mbox{ker} {\cal D}(k_0)=\mbox{ker} ... ...eteq \mbox{ker} {\cal D}(N-1)= \mbox{ker} (BB^T). \end{array}$$ (4.2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу определения матриц ${\cal D}(k)$ (3.2) и момента $k=k^*$ равенства $\{0\}=$ker${\cal D}(k_0)=\ldots=$ker${\cal D}(k^*)$ очевидны при $k^*\ge k_0.$ Далее используем метод математической индукции.

База индукции. Имеем ker${\cal D}(k^*)=\{0\}\subset$   ker${\cal D}(k^*+1),$ так как ранг ${\cal D}(k^*+1)<n.$

Шаг индукции. Пусть при $k^*\le k\le q$ утверждение справедливо, т.е. ker${\cal D}(k^*)\subset$   ker${\cal D}(k^*+1) \subseteq \ldots \subseteq$   ker${\cal D}(q).$ Докажем, что ker${\cal D}(q) \subseteq$   ker${\cal D}(q+1),$ т.е., что если $a\in$   ker${\cal D}(q),$ то $a\in$   ker${\cal D}(q+1)$ для всякого $n$-мерного вектора $a.$

Пусть $a\in$   ker${\cal D}(q),$ тогда $0={\cal D}(q)a=\sum\limits_{i=q}^{N-1}S(i)S^T(i)a,$ откуда следует равенство $\bigl({\cal D}(q)a, a \bigr)=0 \Bigl($где $(\ldots{,}\ldots)$ - скалярное произведение$\Bigr).$ Распишем это равенство подробнее:

$$0=\Bigl({\cal D}(q)a, a\Bigr)=\Biggl( \sum_{i=q}^{N-1}S(i)S^T(i)a, a \Biggr)= \sum_{i=1}^q \Bigl(S(i)S^T(i)a, a\Bigr)=$$

$$=\sum_{i=q}^{N-1}\Bigl(S^T(i)a, S^T(i)a\Bigr)=\sum_{i=q}^{N-1}\left\Vert S^T(i)a\right\Vert^2,$$

следовательно, $\left\Vert S^T(i)a\right\Vert=0$ при всех $i=q, q+1, \ldots, N-1.$ Отсюда получаем $\sum\limits_{i=q+1}^{N-1}\bigl(S(i), S^T(i)a\bigr)=$ ${\cal D}(q+1) a=0.$ Утверждение 4.1 доказано.

Учитывая соотношения (4.1) и (4.2), получаем

Следствие 4.1. ${\Bbb R}^n=R\bigl({\cal D}(k_0)\bigr)=$ $R\bigl({\cal D}(k_0+1)\bigr)=\ldots=$ $R\bigl({\cal D}(k^*)\bigr)\supset R\bigl({\cal D}(k^*+1)\bigr)\supseteq$ $\ldots \supseteq R\bigl( {\cal D}(N- 1)\bigr)=R(BB^T).$

Таким образом, области значений матриц ${\cal D}(k)$ при $k$, приближающемся к $N - 1$, сужаются, а ядра, соответственно, расширяются.

Заметим, что похожие соотношения для образов $H(k)$ рассмотрены в ([4, стр. 101]).

Ниже будет показано, что установленные соотношения полезны при изучении свойств оптимального управления $u^0[k, x].$

В заключение этого параграфа отметим следующее важное свойство псевдообратной матрицы ${\cal D}^+(k)$ (см. [13, стр. 273]).

С в о й с т в о 4.1. На области значений $R\bigl({\cal D}(k)\bigr)$ матрицы ${\cal D}(k)$ произведения ${\cal D}^+(k){\cal D}(k)$ и ${\cal D}(k){\cal D}^+(k)$ действуют как единичная матрица т.е. если $a\in$ $R \bigl({\cal D}(k)\bigr),$ то справедливы равенства

$${\cal D}^+(k){\cal D}(k) a={\cal D}(k){\cal D}^+(k) a=a.$$

В общем же случае, т.е. когда $a\notin R\bigl({\cal D}(k)\bigr),$ имеем: ${\cal D}^+(k) {\cal D}(k) a=$
${\cal D}(k){\cal D}^+(k) a=$ Пр$_{R\bigl({\cal D}(k)\bigr)}a,$ где Пр$_{R\bigl({\cal D}(k)\bigr)}a$ - проекция вектора $a$ на подпространство $R\bigl({\cal D}(k)\bigr).$ Данное свойство облегчит доказательство теоремы 5.1 следующего параграфа.