2. Построение оптимального программного управления

Введем обозначения

$$\begin{array}{c} c(k_0, x_0)=x_1-A^{N-k_0}x_0,\quad S(k)=A^{... ...0)}=\bigl[S(k_0), S(k_0+1),\ldots, S(N-1)\bigr] , \end{array}$$ (2.1)

где матрица $H^{(k_0)}$ имеет размерность $n\times \bigl(m\cdot(N-k_0)\bigr).$ Предположим, что значения $x_0$ и $x_1$ и момент времени $k_0$ таковы, что выполняется следующее

У с л о в и е 2.1. Вектор $c\left(k_0, x_0\right)$ принадлежит подпространству, натянутому на линейно независимые столбцы матрицы $H^{(k_0)}\quad \bigl($заметим, что данное условие равносильно требованию полной управляемости систе-
мы 1.1$\bigr)$.

Тогда в обозначениях (2.1) справедливо

Утверждение 2.1. Для того чтобы управления $\bigl\{u(k_0),$ $u(k_0 + 1),\ldots,\linebreak u(N-1)\bigr\}$ переводили систему (1.1) из состояния $x(k_0)=x_0$ в состояние $x(N)=x_1,$ необходимо и достаточно, чтобы $u(k_0),$ $u(k_0 + 1),\ldots,$
$u(N-1)$ удовлетворяли матричному уравнению

$$\sum_{k=k_0}^{N-1} S(k) u(k)=c\left(k_0, x_0\right).$$ (2.2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть управления $u(k_0),$
$u(k_0+1),\ldots,u(N-1)$ переводят систему (1.1) из состояния $x_0$ в состояние $x_1.$ Тогда справедливы соотношения

$$x(k_0+1)=Ax(k_0)+Bu(k_0)$$

$$x(k_0+2)=Ax(k_0+1)+Bu(k_0+1)$$

$$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .\$$

$$x(N-1)=Ax(N-2)+Bu(N-2)$$

$$x(N)=Ax(N-1)+Bu(N-1).$$

В правой части каждого уравнения заменим $x(j), j=k_0+1, k_0+2,\ldots,N-1,$ его выражением согласно предыдущему уравнению; получим следующее равенство:

$$x(N)=A^{N-k_0}x(k_0)+A^{N-k_0-1}Bu(k_0)+A^{N-k_0-2} Bu(k_0+1)+{}$$

$${}+\ldots+ABu(N-2)+Bu(N-1)$$

или, что то же,

$$x(N)-A^{N-k_0}x(k_0)=\sum_{k=k_0}^{N-1} A^{N-k-1}Bu(k) .$$

Но $x(N)=x_1, x(k_0)=x_0$ по условию; тогда, учитывая обозначения (2.1), получаем: управления $u(k_0),$ $u(k_0 + 1),\ldots,u(N-1)$ удовлетворяют уравнению $c\left(k_0, x_0\right)=\sum\limits_{k=k_0}^{N-1} S(k) u(k).$

Достаточность. Пусть управления $\bar u(k_0),$ $\bar u(k_0+1),\ldots, \bar u(N-1)$ удовлетворяют уравнению (2.2) при $u(k)=\bar u(k),$ $k_0\le k \le N-1.$ При заданных управлениях система (1.1) приходит в точку

$$x(N)=A^{N-k_0}x(k_0)+\sum_{k=k_0}^{N-1} S(k) \bar u(k).$$

Поскольку начальное состояние есть $x(k_0)=x_0,$ имеем

$$\sum_{k=k_0}^{N-1} S(k) \bar u(k)=x(N)-A^{N-k_0}x_0.$$ (2.3)

Сравнивая правые части (2.2) при $u(k)=\bar u(k)$ и (2.3), приходим к равенству

$$c\left(k_0, x_0\right)=x(N)-A^{N-k_0}x_0 ,$$

откуда, используя (2.1), находим: $x(N)=x_1,$ т.е. управления $\bar u(k_0),$
$\bar u(k_0 + 1), \ldots, \bar u(N-1)$ приводят систему (1.1) из $x_0$ в $x_1.$ Утверждение доказано.

Далее рассмотрим вектор из $m(N-k_0)$ компонент

$$u^{(k_0)}= \left[ \begin{array}{c} u(k_0) \ [1ex] u(k_0+1) \ [1ex] \vdots \ [1ex] u(N-1) \end{array} \right].$$ (2.4)

Соотношение (2.2) тогда может быть представлено уравнением

$$H^{(k_0)}u^{(k_0)}=c\left(k_0, x_0\right).$$ (2.5)

Для построения решения задачи 1.1 или (что то же, в силу Утверждения 2.1) решения уравнения (2.5) с условием (1.2) введем в рассмотрение псевдообратную матрицу $H^{+ (k_0)}$ следующим ее представлением
([8, стр. 33]):

$$H^{+ (k_0)}=H^{T (k_0)}\cdot \left[H^{(k_0)}H^{T (k_0)}\right]^+.$$

Для краткости, учитывая определение $H^{(k_0)},$ обозначим

$${\cal D}(k_0)=H^{(k_0)}H^{T (k_0)}=\sum_{k=k_0}^{N-1} S(k) S^T(k),$$ (2.6)

где ${\cal D}(k_0)$ - симметрическая, неотрицательно определенная матрица размерности $n\times n.$ Для нее, согласно ([9, стр. 276]),

$${\cal D}^+(k_0)=\sum_{i=1}^r \lambda_i^{-1} v_i v_i^T,$$ (2.7)

где $\lambda_1\!\ge\! \lambda_2\! \ge\! \ldots\! \ge\! \lambda_r\! >\! 0$ - собственные числа матрицы ${\cal D}(k_0), v_1, v_2,\ldots,v_r$ - отвечающие им ортонормированные собственные векторы. Таким образом,

$$H^{+ (k_0)}=H^{T (k_0)} {\cal D}^+(k_0).$$ (2.8)

В указанных обозначениях нормальное псевдорешение ([8, стр. 39]) уравнения (2.5) выражается формулой

$$u^{0 (k_0)}=H^{+ (k_0)}c\left(k_0, x_0\right)$$

или

$$u^{0 (k_0)}=H^{T (k_0)} {\cal D}^+(k_0) c\left(k_0, x_0\right).$$ (2.9)

Заметим, что относительно неизвестных $u_1(k_0),$ $u_2(k_0),\ldots,$ $u_m(k_0)$,
$u_1(k_0 + 1),\ldots,$ $u_m(k_0+1),\ldots,$ $u_1(N-1),\ldots,u_m(N-1)$ выражение (2.5) представляет собой систему $n$ уравнений. При этом, как отмечалось в [10,11], $u^{0 (k_0)}$ (2.9) совпадает с решением системы (2.5) с минимальной нормой в случае, если система совместна, и с нормальным псевдорешением, если система несовместна.

Взяв $k$-ю компоненту вектора $u^{0 (k_0)},$ получаем оптимальное программное управление на $k$-м шаге, $k_0\le k\le N-1:$

$$u^0(k)=S^T(k) {\cal D}^+(k_0) c\left(k_0, x_0\right)\qquad (k=k_0, k_0+1, \ldots, N-1),$$ (2.10)

которое далее будем обозначать $u^0(k)=u^0\left(k;\ k_0, x_0\right)$.

Отметим в заключение, что применительно к решению задач теории управления псевдообратные матрицы использовались, в частности,
в ([4, стр. 124]).