next up previous
Next: 2 Построение оптимального программного Up: SAZ Previous: SAZ

1. Постановка задачи


Важным классом задач дискретного управления являются задачи, в которых процесс описывается линейными уравнениями. Их изучение имеет большое значение, например, для разработки методов оптимизации в динамических моделях экономики. Ниже рассматривается задача приведения линейной дискретной системы в заданное конечное состояние при наличии квадратичного критерия качества. Родственные задачи изучались, например, в работах [1,2,3].

Пусть поведение управляемого процесса описывается системой первых разностей

$\displaystyle x(k+1)=Ax(k)+Bu(k),\quad k=k_0, k_0+1,\ldots,N-1,$ (1.1)

где $ x$ - $ n$-мерный вектор фазовых координат, $ u$ - $ m$-мерный вектор управляющих сил, $ A_{n\times n}$ и $ B_{n\times m}$ - постоянные матрицы. Будем предполагать, что система (1.1) вполне управляема, т.е. удовлетворяет следующему необходимому и достаточному условию ([4, стр. 99]):

У с л о в и е 1.1. Для того чтобы система (1.1) была вполне управляема, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы $ \left[B, AB,
A^2B,\ldots,\right.$
$ \left. A^{n-1}B\right]$ был равен $ n.$

Рассмотрим следующие задачи:

З а д а ч а 1.1. Пусть заданы момент начала процесса $ k=k_0$ и исходное состояние $ x(k_0)=x_0,$ а также момент $ k=N$ окончания процесса управления системой (1.1) и желаемое конечное состояние $ x(N)=x_1,$ в которое требуется привести систему к моменту $ k=N$ допустимым управлением $ u^0(k).$ Управление $ u^0(k)$ требуется выбрать так, чтобы выполнялось неравенство

$\displaystyle I[u^0]=\sum_{k=k_0}^{N-1} u^{0 T}[k]  u^0[k]  \le  I[u]= \sum_{k=k_0}^{N-1} u^{T}[k]  u[k],$ (1.2)

каково бы ни было допустимое управление $ u=u(k),$ приводящее систему (1.1) в заданное конечное состояние $ x(N)=x_1$ с начальным условием $ x(k_0)=x_0.$ При этом управление $ u^0(k)$ будем называть оптимальным программным управлением.

З а д а ч а 1.2. Будем предполагать, что в каждый текущий момент времени $ k$ нам известна реализация $ x=x[k]$ фазового вектора $ x$ и что управляющее воздействие $ u$ строится по принципу обратной связи, т.е. в виде функции $ u=u[k, x].$ Следовательно, реализация $ u[k]$ управляющего воздействия $ u$ определяется равенством $ u[k]=u\bigl[k, x[k]\bigr].$ Отметим, что вопросы построения управления по принципу обратной связи изучались, например, в [5,6,7].

Заданы момент времени $ k=N$ окончания процесса управления системой (1.1) и желаемое конечное состояние $ x(N)=x_1,$ в которое требуется привести систему к моменту $ k=N$ допустимым управлением $ u^0(k, x).$ Момент начала процесса управления $ k=k_0$ и исходное состояние $ x(k_0)=x_0$ произвольны, но фиксированы; $ 0\le k_0 \le N-1,  -\infty<x_{i 0}<+\infty \enskip
(i=1, 2,\ldots, n).$ Управление $ u^0\bigl[k, x(k)\bigr]$ требуется выбрать так, чтобы при любом начальном состоянии выполнялось неравенство

$\displaystyle {
I\left[u^0; k_0, x_0\right]=\sum_{k=k_0}^{N-1} u^{0 T}\bigl[k, 
x[k]\bigr]  u^0\bigl[k, x[k]\bigr]\le}$
    $\displaystyle \hphantom{I[u^0; k_0, x_0]}
{} \le I[u; k_0, x_0]=\sum_{k=k_0}^{N-1} u^{T}\bigl[k, 
x[k]\bigr]  u\bigl[k, x[k]\bigr],$ (1.3)

каково бы ни было допустимое управление $ u[k]=u\bigl[k, x[k]\bigr],$ приводящее систему (1.1) в заданное конечное состояние.


next up previous
Next: 2 Построение оптимального программного Up: SAZ Previous: SAZ
2003-08-29