1. Постановка задачи

Важным классом задач дискретного управления являются задачи, в которых процесс описывается линейными уравнениями. Их изучение имеет большое значение, например, для разработки методов оптимизации в динамических моделях экономики. Ниже рассматривается задача приведения линейной дискретной системы в заданное конечное состояние при наличии квадратичного критерия качества. Родственные задачи изучались, например, в работах [1,2,3].

Пусть поведение управляемого процесса описывается системой первых разностей

$$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k),\quad k=k_0, k_0+1,\ldots,N-1,$$ (1.1)

где $x$ - $n$-мерный вектор фазовых координат, $u$ - $m$-мерный вектор управляющих сил, $A_{n\times n}$ и $B_{n\times m}$ - постоянные матрицы. Будем предполагать, что система (1.1) вполне управляема, т.е. удовлетворяет следующему необходимому и достаточному условию ([4, стр. 99]):

У с л о в и е 1.1. Для того чтобы система (1.1) была вполне управляема, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы $\left[B, AB, A^2B,\ldots,\right.$
$\left. A^{n-1}B\right]$ был равен $n.$

Рассмотрим следующие задачи:

З а д а ч а 1.1. Пусть заданы момент начала процесса $k=k_0$ и исходное состояние $x(k_0)=x_0,$ а также момент $k=N$ окончания процесса управления системой (1.1) и желаемое конечное состояние $x(N)=x_1,$ в которое требуется привести систему к моменту $k=N$ допустимым управлением $u^0(k).$ Управление $u^0(k)$ требуется выбрать так, чтобы выполнялось неравенство

$$I[u^0]=\sum_{k=k_0}^{N-1} u^{0 T}[k] u^0[k] \le I[u]= \sum_{k=k_0}^{N-1} u^{T}[k] u[k],$$ (1.2)

каково бы ни было допустимое управление $u=u(k),$ приводящее систему (1.1) в заданное конечное состояние $x(N)=x_1$ с начальным условием $x(k_0)=x_0.$ При этом управление $u^0(k)$ будем называть оптимальным программным управлением.

З а д а ч а 1.2. Будем предполагать, что в каждый текущий момент времени $k$ нам известна реализация $x=x[k]$ фазового вектора $x$ и что управляющее воздействие $u$ строится по принципу обратной связи, т.е. в виде функции $u=u[k, x].$ Следовательно, реализация $u[k]$ управляющего воздействия $u$ определяется равенством $u[k]=u\bigl[k, x[k]\bigr].$ Отметим, что вопросы построения управления по принципу обратной связи изучались, например, в [5,6,7].

Заданы момент времени $k=N$ окончания процесса управления системой (1.1) и желаемое конечное состояние $x(N)=x_1,$ в которое требуется привести систему к моменту $k=N$ допустимым управлением $u^0(k, x).$ Момент начала процесса управления $k=k_0$ и исходное состояние $x(k_0)=x_0$ произвольны, но фиксированы; $0\le k_0 \le N-1, -\infty<x_{i 0}<+\infty \enskip (i=1, 2,\ldots, n).$ Управление $u^0\bigl[k, x(k)\bigr]$ требуется выбрать так, чтобы при любом начальном состоянии выполнялось неравенство

$${ I\left[u^0; k_0, x_0\right]=\sum_{k=k_0}^{N-1} u^{0 T}\bigl[k, x[k]\bigr] u^0\bigl[k, x[k]\bigr]\le}$$

$$\hphantom{I[u^0; k_0, x_0]} {} \le I[u; k_0, x_0]=\sum_{k=k_0}^{N-1} u^{T}\bigl[k, x[k]\bigr] u\bigl[k, x[k]\bigr],$$ (1.3)

каково бы ни было допустимое управление $u[k]=u\bigl[k, x[k]\bigr],$ приводящее систему (1.1) в заданное конечное состояние.