3. Решение задачи о синтезе оптимального управления

Для решения задачи 1.2 введем обозначения

$$c(k)=c\bigl(k, x(k)\bigr)=x_1-A^{N-k}x(k),$$ (3.1)

$${\cal D}(k)=\sum_{i=k}^{N-1}S(i) S^T(i).$$ (3.2)

Будем рассматривать правую часть равенства (2.10) как функцию от
$k_0 = k,$ $x_0=x(k).$ Получим управление, построенное по принципу обратной связи ([12, стр. 251]):

$$\begin{array}{c} u^0\bigl[k, x(k)\bigr]=u^0\bigl[k; k, x(k... ... D}^+(k) c(k), \ [2ex] k=k_0, k_0+1,\ldots,N-1. \end{array}$$ (3.3)

В следующей теореме доказывается, что $u^0\bigl[k, x(k)\bigr]$ (3.3) есть оптимальное управление по принципу обратной связи.

Теорема 3.1. Пусть выполнено условие 2.1, и $u^0\left(k;\ k_0, x_0\right)$ - оптимальное программное управление, переводящее систему $(\ref{q11})$ из состояния $x(k_0)=x_0$ в состояние $x(N)=x_1.$ Тогда $u^0(k;\ k_0, x_0)$ и реализация управления, построенного по принципу обратной связи $u^0\bigl[k; k, x(k)\bigr],$ на оптимальном движении $x^0(k)$ совпадают, т.е.

$$u^0\bigl[k; k, x^0(k)\bigr]= S^T(k) {\cal D}^+(k) c(k)=u^0(k; k_0, x_0)= S^T(k) {\cal D}^+(k_0) c(k_0)$$ (3.4)

при всех $k=k_0, k_0+1,\ldots,N-1.$

Следовательно, $u^0\bigl[k, x(k)\bigr]$ (3.3) - оптимальное управление, построенное по принципу обратной связи.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство проводим, пользуясь методом математической индукции.

База индукции. Из (3.3) следует равенство (3.4) при $k=k_0.$

Шаг индукции. Пусть утверждение теоремы верно для всех $k=k_0,$ $k_0 + 1,\ldots,$ $q<N-1.$ Покажем, что оно выполняется и для $k=q+1,$ т.е. что

$$u^0\left[q+1; q+1, x^0(q+1)\right]=u^0\left(q+1; k_0, x_0\right).$$

Согласно определению (3.3), $u^0\bigl[q+1; q+1, x^0(q+1)\bigr]$ - это первые $m$ компонент вектора

$$u^{0 (q+1)}= \left[ \begin{array}{c} u^0(q+1) \ [1ex] u^0(q+2) \ [1ex] \vdots \ [1ex] u^0(N-1) \end{array}\right],$$

получаемого аналогично 2.9 при $k_0=q+1,$ где $u^{0 (q+1)}=$ $H^{T (q+1)}{\cal D}^+(q+1) c(q+1)$ есть оптимальное программное управление, найденное на $(q + 1)$-м шаге. По построению $u^{0 (q+1)}$ является управлением с минимальной нормой среди всех допустимых управлений, приводящих систему из точки $x^0(q+1)$ в точку $x(N)=x_1.$ Заметим, что вышеупомянутые допустимые управления существуют; достаточно взять, например, $u^0(q+1;\ k_0, x_0),\ldots,$ $u^0(N-1; k_0, x_0)$ - компоненты вектора $u^{0 (k_0)}$ оптимального программного управления.

В силу предположения индукции $u^0\bigl[k; k, x^0(k)\bigr]=u^0\left(k;\ k_0, x_0\right)$ при $k=k_0, k_0+1,\ldots,q ;$ значит, траектории, соответствующие обоим управлениям, до момента $k=q+1$ совпадают. В момент $k=q+1$ движения начинаются из одной и той же точки $x^0(q+1)=Ax^0(q)+Bu^0(q;\ k_0, x_0)=Ax^0(q)+Bu^0\bigl[q; q, x^0(q)\bigr].$ Следовательно, $u^0\bigl[q+1; q+1, x^0(q+1)\bigr]$ представляет собой первые $m$ компонент точного решения с минимальной нормой системы $H^{(q+1)}u^{(q+1)}=c\left(q+1, x^0(q+1)\right).$

Допустим, что $u^0\left[q+1; q+1, x^0(q+1)\right]\ne u^0(q+1; k_0, x_0).$ Тогда существуют два различных оптимальных управления с минимальной нормой, переводящие систему (1.1) из $x_0$ в $x_1.$ Первое - программное, (2.9):

$$u^0\left(k_0; k_0, x_0\right), u^0\left(k_0+1; k_0, x_0\right), \ldots$$

$$\ldots, u^0(q; k_0, x_0), u^0(q+1; k_0, x_0),\ldots, u^0(N-1; k_0, x_0).$$

Второе - с теми же компонентами, что и первое до момента $k=q$
включительно, далее - с составляющими вектора $u^{0 (q+1)}:$
$\underbrace{u^0(k_0; k_0, x_0), u^0(k_0+1; k_0, x_0), \ldots, u^0(q; k_0, x_0)}_{\mbox{совпадают в силу предположения индукции}},$
$u^0\left[q+1; q+1, x^0(q+1)\right],$ $u^0\left[q+2; q+1, x^0(q+1)\right],\ldots,$ $u^0\left[N-1; q+1\right.$, $\left.x^0(q+1)\right].$ Но данная ситуация невозможна в силу единственности нормального решения системы (2.5), удовлетворяющего условиям $x(k_0)=x_0, x(N)=x_1.$ Следовательно, управления $u^0\left[q+1; q+1, x^0(q+1)\right]$ и $u^0\left(q+1; k_0, x_0\right)$ совпадают. Шаг индукции выполняется. Теорема доказана.

З а м е ч а н и е. Если при построении оптимального синтеза момент времени $k_0$ достаточно близок к $N$ (для $k_0>N-n$), то условие 2.1 для заданных $k_0$ и $x_0$ может не выполниться. При этом управление 3.4 не приводит систему 1.1 в $x_1$, и задача 1.2 оказывается неразрешимой. Подробнее эта ситуация обсуждается в § 5.

Используя теорему 3.1, докажем вспомогательное утверждение, полезное при дальнейшем анализе свойств оптимального управления (3.3).

Утверждение 3.1. Пусть выполнено условие $2.1.$ Тогда для любого $k$ такого, что $k_0\le k\le N- 2,$ справедливо равенство

$$c(k+1)={\cal D}(k+1) {\cal D}^+(k) c(k).$$ (3.5)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим разность

$$c(k+1)-c(k)=\left(x_1-A^{N-(k+1)}x^0(k+1)\right)-\left(x_1-A^{N-k}x^0(k)\right)={}$$

$${}=-A^{N-k-1}x^0(k+1)+A^{N-k}x^0(k)=-A^{N-k-1}\bigl(x^0(k+1)-Ax^0(k)\bigr).$$

Поскольку $x^0(k+1)=Ax^0(k)+Bu^0(k),$ где $u^0(k)=u^0[k, x]$ - оптимальное управление по принципу обратной связи, получаем

$$c(k+1)-c(k)=-A^{N-k-1}Bu^0(k)=-S(k)u^0(k),$$

откуда, учитывая (3.3), находим:

$$c(k+1)=c(k)-S(k)S^T(k){\cal D}^+(k) c(k).$$

Согласно утверждению 2.1, $c(k)=\sum\limits_{i=k}^{N-1}S(i) u^0(i)$ при $k=k_0,$ $k_0+1,\ldots, N-1,$ причем, в силу теоремы 3.1, в качестве $u^0(i)$ можем взять компоненты решения $u^{0 (k)}$ системы $H^{(k)}u^{(k)}=c(k).$ Тогда

$$c(k)=\sum\limits_{i=k}^{N-1}S(i)\Bigl[S^T(i){\cal D}^+(k) c(k)\Bigr]={}$$

$${}= \left( \sum\limits_{i=k}^{N-1}S(i) S^T(i)\right) {\cal D}^+(k) c(k)= {\cal D}(k){\cal D}^+(k) c(k).$$

Значит,

$$c(k+1)={\cal D}(k){\cal D}^+(k) c(k)- S(k)S^T(k) {\cal D}^+(k) c(k)={}$$

$${}=\left({\cal D}(k)-S(k)S^T(k)\right){\cal D}^+(k) c(k).$$

Но, согласно (3.2), ${\cal D}(k)-S(k)S^T(k)=$ $\sum\limits_{i=k+1}^{N-1}S(i)S^T(i)=$ ${\cal D}(k+1),$ откуда находим

$$c(k+1)={\cal D}(k+1){\cal D}^+(k) c(k),$$

что и требовалось доказать.