4. Аппроксимируемые решения нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Здесь мы рассмотрим классы нелинейных дифференциальных уравнений, для которых предельная траектория не зависит от способа аппроксимации обобщенного воздействия.

Рассмотрим следующую задачу Коши:

$$\dot x=f(t,x,v(t))+ B(t,x,v(t)) \dot v(t),\qquad x(t_{0}) =x^{0},$$ (4.1)

Заметим, что правая часть уравнения в (4.1), в отличие от (1.1), не зависит от $V(t).$

Лемма 1.   Пусть в области $t \in [t_{0},\vartheta],\, x \in R^{n},\, \Vert v\Vert _{p} \leq M$, где $M$ - некоторая постоянная, удовлетворяющая неравенству $\mathop{\rm var}\limits_{[{t_{0}},\,{\vartheta}]}v(\cdot) \leq M$, элементы матрицы $B(t,x,v)$ непрерывны по совокупности переменных, выполняется неравенство

$$\Vert B(t,x,v)\Vert _{p} \leq c(1+\Vert x\Vert _{p}),$$

существуют непрерывные по $x$ и $v$ частные производные $\partial b_{ij}/\partial x_{\nu}$ и
$\partial b_{ij}/\partial v_{\nu}$, где $b_{ij}$ - элементы матрицы $B$. Тогда для того, чтобы множество

$$S(t,x(t),\Delta v(t),V(t),\Delta V(t))$$

было одноточечным, достаточно выполнения условия

$$\frac{\partial b_{ij}(t,x,v)}{\partial v_{l}}+ \sum_{\nu=1}^{... ...ac{\partial b_{ij}(t,x,v)}{\partial x_{\nu}} b_{\nu l}(t,x,v) =$$

$$=\frac{\partial b_{il}(t,x,v)}{\partial v_{j}}+ \sum_{\nu=1}^... ...frac{\partial b_{il}(t,x,v)}{\partial x_{\nu}} b_{\nu j}(t,x,v)$$

(условие Фробениуса) $i = 1,2,...,n;$ $j,l = 1,2,...,m.$

С помощью этой леммы доказана следующая

Теорема 3.   Пусть в области $t \in [t_{0},\vartheta],\, x \in R^{n},\, \Vert v\Vert _{p} \leq M$ элементы матрицы $B(t,x,v)$ удовлетворяют условиям леммы $1,$ вектор-функция $f(t,x,v)$ непрерывна по совокупности переменных, липшицева по $x$ и удовлетворяет неравенству

$$\Vert f(t,x,v)\Vert _{p} \leq c(1+\Vert x\Vert _{p}).$$

Тогда для всякой вектор-функции $v(t) \in BV_{n}[t_{0},\vartheta]$ существует аппроксимируемое решение $x(t)$ задачи Коши $(\ref{6.1}),$ которое удовлетворяет интегральному уравнению

$$x(t) = x^{0}+\int \limits_{t_{0}}^{t} f(\xi,x(\xi),v(\xi))\,d\xi+ \int \limits_{t_{0}}^{t} B(\xi,x(\xi),v(\xi))\,dv^{c}(\xi)+$$

$$+\sum_{t_{i}\leq t,\,t_{i}\in W_{-}} \tilde s(t_{i},x(t_{i}-0),v(t_{i}-0),\Delta v(t_{i}-0))+$$

$$+\sum_{t_{i}< t,\,t_{i}\in W_{+}} \tilde s(t_{i},x(t_{i}),v(t_{i}),\Delta v(t_{i}+0)),$$

где $\tilde s(t,x,v,\Delta v) = z(1)-x$,

$$\dot z(\xi)=B(t,z(\xi),v(t)+\Delta v(t) \xi)\Delta v(t),\qquad z(0)=x,$$

$W_{-}\,\,(W_{+})$ - множество точек левого (правого) разрывов вектор-функции

$$v(t), \, \Delta v(t-0)=v(t)-v(t-0),\, \Delta v(t+0) = v(t+0)-v(t).$$

Близкий результат был сформулирован в [22], а полное доказательство впервые опубликовано в работе [27]. Следует отметить также работы [25,37,38,39].

Последующие результаты этого раздела опубликованы в [14,30,54]. Предположим, что система (4.1) имеет вид

$$\dot x=\bar A(t)x+b(t),$$ (4.2)

где

$$\bar A(t) = A(t)+\sum_{i=1}^{m} D_{i}(t) \dot v_{i}(t), \,A(t)$$

- $n\times n$-матрица с непрерывными элементами, $b(t)$ - вектор с суммируемыми элементами, $D_{i}(t)\,(i=1,\dots,m)$ - непрерывные $n\times n$-матрицы-функции, $v_{i}(t)$ - компоненты вектора $v(t)=(v_{1}(t),v_{2}(t),...,v_{m}(t))^{T}$ - функции ограниченной вариации. Для системы обычных дифференциальных уравнений (4.2) справедлива

Теорема 4.   Пусть матрицы $D_{i}(t)\,(i=1,\dots,m)$ для каждого $t\in[t_{0},\vartheta]$ взаимно коммутативны. Тогда всякое аппроксимируемое решение однородной системы $\dot x = \bar A(t)x$ с начальным условием $x(t_{0})=x^{0}$ представимо в виде $x(t)=X(t)x^{0}$, где $n\times n$-матрица $X(t)$ - аппроксимируемое решение матричного уравнения $\dot X=\bar A(t)X$ с начальным условием $X(t_{0})=E$, которое удовлетворяет уравнению

$$X(t) = E+\int\limits_{t_{0}}^{t} A(\xi)X(\xi)\,d\xi+ \sum_{i=... ...} \int\limits_{t_{0}}^{t} D_{i}(\xi)X(\xi)\,dv_{i}^{c}(\xi) +$$

$$+\sum_{t_{i} \leq t,\,t_{i} \in W_{-}} S(t_{i},X(t_{i}-0),\De... ...i} < t,\,t_{i} \in W_{+}} S(t_{i},X(t_{i}),\Delta v(t_{i}+0)),$$

где

$$S(t,X(t),\Delta v(t))=z(1)-z(0),$$

$$\dot z(\xi)=\sum_{i=1}^{m} D_{i}(t)z(\xi)\Delta v_{i}(t).$$

Для аппроксимируемого решения уравнения $(\ref{6.8})$ справедлива формула Коши

$$x(t)=X(t)x^{0} + \int\limits_{t_{0}}^{t} X(t)X^{-1}(s)b(s)\,ds.$$

Далее будем полагать матрицы $A$ и $D_{i}\,(i=1,\dots,m)$ постоянными. Теперь система (4.2) примет вид

$$\dot x=\tilde A(t)x+b(t),$$ (4.3)

где

$$\tilde A(t) = A +\sum_{i=1}^{m} D_{i} \dot v_{i}(t).$$

Теорема 5.   Пусть матрицы $A,\,D_{i}\,(i=1,\dots,m)$ взаимно коммутативны. Тогда аппроксимируемое решение уравнения $(\ref{6.11})$ представимо в виде

$$x(t) = \exp{[\tilde A^{*}(t)-\tilde A^{*}(t_{0})]} x^{0}+\in... ...s_{t_{0}}^{t} \exp{[\tilde A^{*}(t)-\tilde A^{*}(s)]} b(s)\,ds,$$

где

$$\tilde A^{*}(t) = At+\sum_{i=1}^{m} D_{i} v_{i}(t).$$

Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение $n$-го порядка

$$x^{(n)}=f_{0}(t,x,x',\ldots,x^{(n-1)})+\sum_{i=1}^{m} \dot v_{i}(t)f_{i}(t,x,x',\ldots,x^{(n-1)}),$$ (4.4)

где $x(t)$ - скалярная функция;

$$v_{i}(t)\in BV[t_{0},\vartheta]\ \ \ \ (i=1,\dots,m);$$

$$f_{i}(t,x,x',\dots\dots,x^{(n-1)})\ \ \ \ (i=0,1,\dots,n-1)$$

непрерывны по $t$ и липшицевы по $x,\,x',\,\dots \dots,x^{(n-1)}$ на множестве $t\in [t_{0},\vartheta],$ $\vert x^{(i)}\vert<\infty.$

Аналогично определению 1 можно ввести понятие аппроксимируемого решения для уравнения (4.4) и показать, что если уравнение (4.4) представимо в виде

$$x^{(n)}=f_{0}(t,x,x',\ldots,x^{(n-1)})+$$

$$+g(t,x,x',\ldots,x^{(n-1)})\sum_{i=1}^{m} \dot v_i(t)c_{i}(t,x,x',\ldots,x^{(n-2)}),$$ (4.5)

то существует аппроксимируемое решение уравнения (4.4).

Пусть линейное дифференциальное уравнение имеет вид

$$x^{(n)} + \sum_{i=1}^{n} (\dot v_{i}(t)+\eta _{i}(t)) x^{(n-i)} + \dot v_{n+1}(t) +\eta _{n+1}(t) =0,$$ (4.6)

где $v_{i}(t) \in BV[t_{0},\vartheta], \, \eta_i (t)$ - непрерывные на $[t_{0},\vartheta]$ функции, $x^{(0)}(t)=x(t)\,(i=1,\dots,n+1)$.

Теорема 6.   Аппроксимируемое решение уравнения $(\ref{6.19})$ существует тогда и только тогда, когда уравнение $(\ref{6.19})$ имеет вид

$$x^{(n)}+\eta_{1}(t)x^{(n-1)}+\sum_{i=2}^{n}(\dot v_{i}(t)+\eta_{i}(t))x^{(n-i)}+\dot v_{n+1}(t)+\eta_{n+1}(t)=0,$$

либо

$$x^{(n)}+(\dot v_{1}(t)+\eta_{1}(t))x^{(n-1)}+\sum_{i=1}^{n}\eta_{i}(t)x^{(n-i)}+\eta_{n+1}(t)=0.$$