3. $V$-решения нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть

$$z(\tau(t_{i}-0))=x^{*}(\tau(t_{i}-0))$$

$$(z(\tau(t_{i})) \bigcap= x^{*}(\tau(t_{i}))),$$

$$\mu(\tau(t_{i}-0))=v^{*}(\tau(t_{i}-0))$$

$$( \mu(\tau(t_{i}))=v^{*}(\tau(t_{i})))$$

- начальные условия для системы

$$\dot z(\xi) = B(t,z(\xi),\mu(\xi),V(t)+\xi-t)\eta(\xi),$$

$$\dot \mu(\xi)=\eta(\xi).$$ (3.1)

Обозначим через $S(t,x(t),\Delta v(t),V(t),\Delta V(t))$ (где $t$ может принимать значения $t=t_i-0$ или $t=t_i+0$) множество, получающееся сдвигом на величину $-x(t)$ в момент $t+\Delta V(t)$ сечения множества достижимости системы (3.1). Предполагается, что в (3.1)

$$\mu(\tau(t_{i}+\Delta V(t_{i}-0))=v(t_{i})$$

$$(\mu(\tau(t_{i}+\Delta V(t_{i}))=v(t_{i}+0) ),$$

где управление $\eta(\xi)$ подчинено ограничению $\Vert\eta(\xi)\Vert _{p} \leq 1.$

Теорема 1.   Всякий частичный поточечный предел последовательности $x_{k}(t)$ решений уравнения $(\ref{1.1}),$ порожденной последовательностью абсолютно непрерывных функций $v_{k}(t),$ поточечно сходящейся к вектор-функции $v(t)\in BV_{m}[t_{0},\vartheta]$ и удовлетворяющей условию

$$\lim_{k\to \infty} \mathop{\rm var}\limits_{[{t_{0}},\,{t}]} v_{k}(\cdot) = V(t),$$ (3.2)

является решением интегрального включения

$$x(t)\in x^{0}+\int \limits_{t_{0}}^{t} f(\xi,x(\xi),v(\xi),V(... ...t \limits_{t_{0}}^{t} B(\xi,x(\xi),v(\xi),V(\xi))\,dv^{c}(\xi)+$$

$$+\sum_{t_{i}\leq t,\,t_{i}\in \Omega_{-}} S(t_{i},x(t_{i}-0),\Delta v(t_{i}-0),V(t_{i}-0),\Delta V(t_{i}-0))+$$

$$+\sum_{t_{i}< t,\,t_{i}\in \Omega_{+}} S(t_{i},x(t_{i}),\Delta v(t_{i}+0),V(t_{i}),\Delta V(t_{i}+0)),$$ (3.3)

где $v^{c}(\xi)$ - непрерывная составляющая функции ограниченной вариации $v(\xi).$

Для всякого решения $x(t)$ включения $(\ref{5.28}),$ порожденного парой функций $v(t),\,V(t)$, существует последовательность абсолютно непрерывных функций $v_{k}(t)$, поточечно сходящаяся к $v(t)$ и удовлетворяющая условию $(\ref{5.37}),$ такая, что соответствующая последовательность $x_{k}(t)$ решений уравнения $(\ref{1.1})$ будет поточечно сходиться к $x(t)$.

Эта теорема была опубликована в [31]. Из других результатов, посвященных описанию разрывных решений (в случае, если реакция системы на импульсное управление определяется не единственным образом) следует отметить работы [23,29,40,48].

Следующая теорема [33] дает простое условие, обеспечивающее единственность $V$-решения.

Теорема 2.   Пусть $V(t)=\mathop{\rm var}\limits_{[{t_{0}},\,{t}]} v(\cdot).$ Тогда интегральное включение $(\ref{5.28})$ превращается в интегральное уравнение и пара $(v(t),\,V(t))$ порождает единственное $V$-решение уравнения $(\ref{1.1}).$

Близкий результат с использованием другой техники получен в [41].

Примеры.

Рассмотрим следующую задачу Коши:

$$\dot x = x\dot v_{1}(t)+\dot v_{2}(t), \qquad x(-1)=x^{0},$$ (3.4)

где $x(\cdot),\,v_{1}(\cdot),\,v_{2}(\cdot)$ - скалярные функции. Пусть $v_{1}(t)=\chi_{-}(t)$, $v_{2}(t)= \linebreak =\chi_{+}(t)$ (функции $\chi_{-}(t)$ и $\chi_{+}(t)$ определяются формулами (1.5) и (1.7)) и $V(t)=V_{1}(t)$, где

$$V_{1}(t)= \left\{ \begin{array}{ll} 0, & \mbox{$t<0$}, \\ [2... ...\mbox{$t=0$}, \\ [2mm] 2, & \mbox{$t>0$}. \end{array} \right.$$

Согласно теореме 2 ( $V_{1}(t)=\mathop{\rm var}\limits_{[{t_{0}},\,{t}]} v(\cdot),\, v(t)=(v_{1}(t),\,v_{2}(t))^{T})$, $V$-решение задачи Коши (3.4) будет иметь вид

$$x_{(1)}(t)=x^{0}\exp{\chi_{-}(t)} + \chi_{+}(t).$$

Если $v_{1}(t)=\chi_{-}(t)$, $v_{2}(t)=\chi_{+}(t)$, а $V(t)=V_{1}(t)$, то $V$-решение определяется формулой

$$x_{(2)}(t)=(x^{0}+\chi_{-}(t))\exp\chi_{+}(t).$$

Пусть $v_{1}(t)=\chi_{-}(t)$, $v_{2}(t)=\chi_{-}(t)$ и $V(t)=V_{2}(t)$, где

$$V_{2}(t)= \left\{ \begin{array}{ll} 0, & \mbox{$t<0$}, \\ [2mm] \sqrt{2}, & \mbox{$t\geq 0$}. \end{array} \right.$$

В этом случае вновь $V_{2}(t)=\mathop{\rm var}\limits_{[{t_{0}},\,{t}]} v(\cdot)$ и согласно теореме 2 $V$-решение уравнения (3.4) представимо в виде

$$x_{(3)}(t)=(x^{0}+1)\exp{\chi_{-}(t)}-1.$$

Пусть $v_1(t) \equiv v_2(t) \equiv 0,$ а $V(t) = V_3(t),$ где

$$V_{3}(t)= \left\{ \begin{array}{ll} 0, & \mbox{$t<0$}, \\ [2mm] 2, & \mbox{$t \leq 0$}. \end{array} \right.$$

Проаппроксимируем функцию $v_1(t)$ последовательностью

$$v_{k1}(t)= \left\{ \begin{array}{rl} 0, & \quad t\not\in [-4... ... -\frac{1}{2} k, &\quad t \in [-2/k,-1/k], \end{array} \right.$$

а функцию $v_2(t)$ - последовательностью

$$v_{k2}(t)= \left\{ \begin{array}{rl} 0, & \quad t\not\in [-3... ...x] -\frac{1}{2} k, &\quad t \in [-1/k,0]. \end{array} \right.$$

Очевидно, что $\mathop{\rm var}\limits_{[{t_0},\,{t}]}v_{k\,i}(\cdot)\to V_3(t),$ $i=1,2.$ Нетрудно вычислить, что последовательность $x_k(t)$ решений уравнения (3.4), порожденная предложенными аппроксимациями функций $v_1(t)$ и $v_2(t),$ будет сходиться к функции

$$x(t) = x_0 + \frac{1}{2} (\exp{(-1/2)} - 1) \chi_{-}(t).$$

Если положить $\tilde v_{k2}(t)=-v_{k2}(t),$ то последовательность $x_k(t)$ будет сходиться к

$$x(t) = x_0 - \frac{1}{2} (\exp{(-1/2)} - 1) \chi_{-}(t).$$

Далее будет отмечено, что все множество $V$-решений, порожденное парой $v(t),V(t),$ связно. Следовательно, кроме полученных двух $V$-решений уравнения (3.4) и всякая функция

$$x(t)=x^{0}+c\chi_{-}(t),$$

где $c\in[-\frac{1}{2}(\exp{(-1/2)}-1),\,\frac{1}{2}(\exp{(-1/2)}-1)],$ также будет $V$-решением уравнения (3.4). Таким образом, интегральная воронка решений, порожденная парой непрерывных функций $v(t) \equiv 0,V(t)=V_3(t)$ содержит одну непрерывную траекторию $x(t) \equiv x_0$ и континуум разрывных траекторий.

Рассмотрим математическую модель вертикального подъема ракеты [15], оснащенной двумя двигателями с различными удельными импульсами (импульсами, приходящимися на единицу массы израсходованного топлива):

$$\begin{array}{rcl} \dot x_1\!\!\! & = & \!\!\!x_2,\\ [2ex] \... ...!\displaystyle - \frac{P_1}{C_1} - \frac{P_2}{C_2}, \end{array}$$ (3.5)

где $x_1$ - высота полета, $x_2$ - скорость полета, $m$ - масса ракеты, $P_1$ и $P_2$ - реактивные управляющие силы, допускающие дискретный расход топлива. Согласно теореме 1, реакция системы (3.5) на импульсное воздействие, вообще говоря, неединственна. Предположим, что реактивные силы в (3.5) не могут менять своего направления. Это предположение накладывает геометрическое ограничение вида $(P_1,P_2) \in K,$ где $K$ - замкнутый выпуклый конус с вершиной в нуле (например $K$ - первый квадрант на плоскости $P_1,P_2$), на аппроксимации обобщенного управления. Такие ограничения рассматривались, например, в [23]. Заметим, что теоремы 1 и 2 остаются верными и при таких геометрических ограничения с той лишь поправкой, что при построении множества $S(t,x(t),\Delta v(t),V(t),\Delta V(t))$ в качестве допустимого множества для управления $\eta(\xi)$ системы (3.1) будет рассматриваться шар $\Vert\eta(\xi)\Vert _{p} \leq 1,$ пересеченный с конусом $K.$ В рассматриваемом примере функции $p_1(t)$ и $p_2(t)$ - первообразные от $P_1(t)$ и $P_2(t)$ будут монотонными, а для монотонных функций

$$\mathop{\rm var}\limits_{[{t_0},\,{t}]} p_i(\cdot) = p_i(t) - p_i(t_0) \qquad (i=1,2).$$

Поэтому из поточечной сходимости аппроксимирующих последовательностей к первообразным от управляющих функций будет следовать и сходимость соответствующих последовательностей из вариаций этих функций к вариациям предельных функций. Таким образом, в данном случае будут выполняться условия теоремы 2 и, следовательно, для каждого начального условия система (3.5) будет иметь единственное $V$-решение.

Пусть управляющие силы действуют на объект управления в момент времени $t=0$ импульсами интенсивности $\Delta p_1$ и $\Delta p_2$ соответственно. Вычислим согласно формулам (3.1) величины скачков скорости $x_2$ и массы $m,$ произошедших в результате действия импульсов. Получим

$$\begin{eqnarray*} \Delta m(0_+) & = & \frac{\Delta p_1}{C_1} + \frac{\Delta p_2... ...ystyle \frac{\Delta p_1}{C_1} - \frac{\Delta p_2}{C_2}}\right). \end{eqnarray*}$$

С учетом первого равенства, второе можно записать в виде

$$\Delta x_2(0_+) = \frac{\Delta p_1 + \Delta p_2}{\displaysty... ... \ln \Bigl(\frac{m_0}{m_0 - \displaystyle \Delta m(0+)}\Bigr).$$ (3.6)

Заметим, что (3.6) обобщает формулу Циолковского [18] на случай ракеты с двумя двигателями с различными удельными импульсами. Обычную формулу Циолковского можно получить из (3.6), полагая в ней
$\Delta p_2 = 0.$

Если отказаться от предположения о том, что управляющие воздействия не меняют направления своего действия, то реакция системы (3.5) на импульсное управление может оказаться неоднозначной.