1. Различные подходы к определению обобщенного решения дифференциального уравнения в пространстве функций ограниченной вариации

Рассмотрим следующую задачу Коши:

$$\dot x=f(t,x,v(t),\check{V}(t))+ B(t,x,v(t),\check{V}(t)) \dot v(t),\qquad x(t_{0}) =x^{0}.$$ (1.1)

Здесь $x(t)$, $v(t)$ - соответственно $n$ и $m$-мерные вектор-функции времени, $f(t,x,v,\check{V})$ - $n$-мерная вектор-функция и $B(t,x,v,\check{V})$ - $n\times m$ -матрица-функция, $\check{V}(t)=\mathop{\rm var}\limits_{[{t_{0}},\,{t}]} v(\cdot)$, $v(t)\in BV_{m}[t_{0},\vartheta],$ $BV_{m}[t_{0},\vartheta]$ - банахово пространство $m$-мерных функций ограниченной вариации. Предположим, что $f(\cdot,\cdot,\cdot,\cdot)$ и $B(\cdot,\cdot,\cdot,\cdot)$ непрерывны по совокупности переменных и липшицевы по $x$ на множестве $\{\vert\vert x\vert\vert _p<\infty,\vert\vert v\vert\vert _p<\infty,V<\infty\},$ где $\Vert x\Vert _p=\Bigl(\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}\vert x_i\vert^p\Bigr)^{1/p},$ и удовлетворяют следующим стандартным условиям на том же множестве:

$$\Vert f(t,x,v,V)\Vert _p\leq\kappa(1+\Vert x\Vert _p),\quad \Vert B(t,x,v,V)\Vert _p\leq\kappa(1+\Vert x\Vert _p),$$

где $\kappa$ - некоторая константа.

Если $v(t)$ - абсолютно непрерывная вектор-функция, определенная на отрезке $[t_{0},\vartheta]$, то в рамках теоремы Каратеодори [35] решение задачи Коши (1.1) существует, единственно и удовлетворяет интегральному уравнению

$$x(t)=x^{0}+ \int\limits_{t_{0}}^{t} f(s,x(s),v(s),\check{V}(... ...ds+ \int\limits_{t_{0}}^{t}B(s,x(s),v(s),\check{V}(s))\,dv(s),$$ (1.2)

где второй интеграл понимается в смысле Римана-Стилтьеса [16].

Если функцию $v(t)$ считать функцией ограниченной вариации, то один из подходов к обсуждаемой проблеме состоит в замене дифференциального уравнения в (1.1) интегральным (1.2), в котором интеграл понимается в смысле Лебега-Стилтьеса или Перрона-Стилтьеса [2,42,49,51,52,53].

Необходимость отказаться от интеграла Римана-Стилтьеса вызвана следующим обстоятельством. Если $v(t)\in BV_{m}[t_{0},\vartheta]$, то естественно ожидать, что $x(t)$ будет принадлежать $BV_{n}[t_{0},\vartheta].$ Тогда точки разрыва функции $v(t)$ будут точками разрыва функции $x(t)$ и интеграл Римана-Стилтьеса существовать не будет.

Но если интеграл в (1.2) понимать в смысле Лебега-Стилтьеса или Перрона-Стилтьеса, то, очевидно, величины скачков решения будут зависеть от определения интегрируемой функции в точках разрыва функции $v(t).$ Это обусловлено тем, например, что мера Лебега-Стилтьеса точки не обязательно равна нулю.

Проиллюстрируем этот подход к определению решения задачи Коши (1.1) на примере

$$\dot x(t)=ax(t)\dot v(t),\qquad x(-1) =x^{0}.$$ (1.3)

Интегральное уравнение (1.2) в этом случае выглядит следующим образом:

$$x(t)=x^{0}+ a\int\limits_{-1}^{t} x(s)\,dv(s)$$ (1.4)

Положим $v(s)=\chi_{+}(s)$, где $\chi_{+}(s)$ - функция Хевисайда, непрерывная слева (разрывная справа) в точке $t=0$:

$$\chi_{+}(s) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & s>0, \\ 0, & s\leq 0. \end{array} \right.$$ (1.5)

Тогда решение уравнения (1.4) имеет вид

$$x(t)=x^{0}+ax^{0}\chi_{+}(t).$$ (1.6)

Если $v(t)=\chi_{-}(t)$, где $\chi_{-}(t)$ - функция Хевисайда, непрерывная справа (разрывная слева) в точке $t=0$:

$$\chi_{-}(s) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \mbox{$s\geq 0,$} \\ 0, & \mbox{$s<0$}, \end{array} \right.$$ (1.7)

то в соответствии с [49] решение уравнения (1.4) имеет вид

$$x(t)=x^{0}+ \left( \frac{a}{1-a} \right)x^{0}\chi_{-}(t).$$ (1.8)

Далее, в случае, когда конечный результат не зависит от того, слева или справа непрерывна единичная функция Хевисайда, мы будем обозначать ее через $\chi(t).$ Заметим, что при $v(t)=\chi_{-}(t)$ уравнение (1.4) в случае $a=1$ решения не имеет, а величина скачка в момент $t=0$ стремится к бесконечности при $a\to 1$. Этот подход развивался в работах [2,42,49,51,52,53].

Следующий подход состоит в формализации настоящей задачи в рамках теории обобщенных функций. Данный подход упирается в проблему умножения разрывных функций на обобщенные, которая возникает в слагаемом $B(t,x(t),v(t),V(t))\dot v(t)$.

В работах [45,46,47] в рамках секвенциального подхода теории обобщенных функций [1] вводится определение произведения двух распределений $u\cdot v$ как предела последовательности (если такой предел существует в смысле теории распределений) ${(u\ast\delta_k)\cdot(v\ast\delta_k)}$, где ``$u\ast\delta$'' - свертка функций $u$ и $\delta,$ а ${\delta_{k}}$ - $\delta$-последовательность гладких функций, т.е. $\delta_k$ сходится к $\delta$-функции (опять же, в смысле теории распределений). Из этого определения, в частности, следует, что

$$\chi(t) \cdot \delta (t) = \mbox{0.5 }\delta (t).$$ (1.9)

При таком определении произведения решение задачи Коши (1.3) $\,\,\, (v(t)=$
$=\chi(t)),$ согласно [46], будет иметь вид

$$x(t)= \frac{2a}{2-a} \chi(t)+1 .$$ (1.10)

Заметим, что при $a \rightarrow 2-0$ величина скачка решения неограниченно возрастает, при $a=2$ решение (1.10) не существует, а при $a \rightarrow 2+0$ величина скачка стремится к $- \infty$.

В работах [11,12] предложено другое определение произведения распределений, основанное на распространении классической формулы дифференцирования произведения на случай распределений. Данный подход позволил решить ряд задач об оптимальном импульсном управлении межорбитальными космическими перелетами [11], механики жидкости [10], математической экономики [13]. Cогласно [12], если $(x(t),v(t))$ - ``согласованная пара'', то

$$C(t,v(t),x(t))\cdot\dot v(t)=\dot x(t)-\frac{\partial\psi(v(t),t)}{\partial t},$$

где $\psi(v,t)$ - решение уравнения

$$\frac{\partial\psi(v,t)}{\partial t}=C(t,v,\psi).$$

Применяя такое определение произведения к задаче (1.3), можно получить решение следующего вида:

$$x(t) =x^{0} \exp (a\chi(t)).$$ (1.11)

Сравнивая (1.6), (1.7), (1.10) и (1.11), убеждаемся, что разные определения решения приводят к разным решениям одного и того же уравнения. Этот эффект O.Хайек в [43] назвал парадоксом дифференциальных уравнений.

К результатам, аналогичным только что рассмотренным, приводит конструкция, предложенная в работе [50].

Кроме перечисленных работ следует обратить внимание на статьи [7,8], где в рамках секвенциального подхода теории обобщенных функций для сингулярно возмущенных систем выработан подход, родственный рассмотренному в [12] и рассчитанный на ступенчатые вектор-функции $v(t)$.

Я.Курцвейль в работе [44] предлагает в качестве решения системы дифференциальных уравнений, содержащей $\delta$-функцию в качестве сомножителя (другой сомножитель зависит от фазовых переменных), рассматривать предел последовательности абсолютно непрерывных решений системы дифференциальных уравнений, в которой $\delta$-функция заменена последовательностью ее гладких аппроксимаций. Естественность построения обобщенных решений при помощи предельного перехода с точки зрения теории управления отмечалась в [17].

Этот подход получил свое развитие в [19], где для линейного дифференциального уравнения $n$-го порядка с обобщенными коэффициентами было получено достаточное условие, обеспечивающее независимость предела последовательности гладких решений от выбранного способа аппроксимации обобщенных коэффициентов последовательностями гладких функций.

Далее, в монографии [15] указаны условия (типа Фробениуса) единственности предельных решений и выписано их представление в классических терминах для воздействий, представленных обобщенными производными локально интегрируемых функций. Формулировка результата о предельном переходе в нелинейной системе дифференциальных уравнений с воздействием - обобщенной производной функции ограниченной вариации - впервые была опубликована в [22]. Полное доказательство этого результата вышло в [27] и позже, с использованием другой техники, в [25].

Отметим, что в работе [27] техника разрывной замены времени была разработана для построения замыкания множества обычных траекторий в отличие от [21], где техника разрывной замены развивалась для замыкания множества траекторий, порожденных чисто импульсными управлениями. Это позволило рассмотреть не только ``корректный'' случай (когда из сходимости последовательности, аппроксимирующей обобщенные функции, входящие в систему, следует сходимость соответствующей последовательности решений), но и случай, когда последовательность решений системы дифференциальных уравнений, порожденная гладкими аппроксимациями обобщенных функций, сходящейся не является, и описать все частичные пределы этой последовательности [28,29,30,31,23].

В дополнение к перечисленным работам следует отметить работу [6], где с помощью квазидифференциальных уравнений исследуется линейное дифференциальное уравнение $n$-го порядка с обобщенными коэффициентами. Из работ, вышедших в последнее время, представляет интерес работа [24], где исследуется вопрос определения разрывного решения без предположения мультипликативного вхождения обобщенного воздействия в правую часть системы.

Далее будет обсуждаться подход, базирующийся на аппроксимации обобщенных воздействий обычными (суммируемыми) функциями. Дело в том, что импульсные системы часто возникают как системы первого приближения для систем с ограниченным, но достаточно большим воздействием (часто это управляющее воздействие). Примеры таких систем мы можем наблюдать в механике космического полета [20], где управляющие воздействия большой интенсивности действуют на объект в течение нескольких секунд или минут, а процесс управления продолжается в течение нескольких часов, дней или даже недель, электрофизике, практике медицинского лечения (разовое применение лекарства достаточно быстро приводит к изменению состояния организма) и так далее, а также в результате расширения вариационных задач в теории оптимального управления [4,9,14,15,23,26].