2. Определение разрывного решения

Выберем последовательность $v_{k}(t)$ абсолютно непрерывных функций, поточечно сходящуюся к функции $v(t)\in BV_{m}[t_{0},\vartheta]$. Предполагая существование решения задачи Коши (1.1) для любой абсолютно непрерывной функции $v(t)$ (все функции $v(t)$ и $v_k(t)$ удовлетворяют ограничению $\mathop{\rm var}\limits_{[{t_0},\,{\vartheta}]} v(\cdot) \leq a),$ каждой функции $v_{k}(t)$ поставим в соответствие решение $x(t)=x_{k}(t)$ задачи Коши (1.1) при $v(t)=v_{k}(t)$.

Определение 1.   Аппроксимируемым решением задачи Коши $(\ref{1.1}),$ соответствующим функции ограниченной вариации $v(t)$, будем называть функцию ограниченной вариации $x(t)$, являющуюся поточечным пределом последовательности $x_{k}(t)$, порожденной последовательностью абсолютно непрерывных функций $v_{k}(t)$, поточечно сходящейся к $v(t)$, если $x(t)$ не зависит от выбора последовательности $v_{k}(t)$.

Впоследствии будем называть последовательность $v_{k}(\cdot)$ $V$-сходящейся к вектор-функции ограниченной вариации $v(\cdot)$, если $\lim_{k\to\infty}v_{k}(t)=v(t)$ для всех $t\in[t_{0},\vartheta]$ и $\lim_{k\to\infty}\mathop{\rm var}\limits_{[{t_{0}},\,{t}]}v_{k}(\cdot)=V(t)$. Такую сходимость далее будем обозначать как $''v_{k}(t)\stackrel{V}{\to}v(t)''$.

Отметим, что для любых $a$ и $b$, удовлетворяющих неравенству $t_{0}\leq a\leq b\leq \vartheta$

$$\mathop{\rm var}\limits_{[{a},\,{b}]}v(\cdot) \leq V(b)-V(a).$$

Определение 2.   Назовем $V$-решением задачи Коши $(\ref{1.1})$ всякий частичный поточечный предел последовательности $x_{k}(t)$, которая порождается произвольной последовательностью абсолютно непрерывных
функций $v_{k}(t)$, V-сходящейся к $v(t)$.

Из сравнения этих двух определений следует, что всякое аппроксимируемое решение является $V$-решением. Далее мы увидим, что класс систем, имеющих $V$-решения, существенно шире класса систем, имеющих аппроксимируемые решения.