5. Результаты моделирования

5.1 Исходные данные для моделирования

Построение ИМ моделировалось на участке времени $120$ с. Начальное информационное множество ${\bf I}(0)$ представлялось в виде сетки по $\psi$ и $V$, на узлах которой задавались многоугольники, совпадающие с начальным множеством неопределённости $H^\char93 (0)$. Начальная неопределённость по $\psi$ была взята от $0$ до $2\pi$ рад, а по $V$ - от $180$ до $360$ м/с. Моделировалось движение истинной точки. Относительно нее с интервалом $20$ с случайным образом формировались замеры. Замеры принимались в качестве центров множеств неопределённости в форме квадратов со стороной $400$ м, ориентированных по осям $x$, $y$. Соблюдалось условие принадлежности истинной точки множеству неопределенности.

Кроме указанных, использовались следующие исходные данные:

$V(0)= 200\,\mbox{м/с}$	-	начальная скорость движения истинной точки;
$k = 6\,\mbox{м/с}^2$	-	параметр системы дифференциальных уравнений (1.1), максимальное боковое ускорение;
$\mu_{1} = -1\,\mbox{м/с}^2$	-	минимальное значение продольного ускорения ВС;
$\mu_{2} = 3\,\mbox{м/с}^2$	-	максимальное значение продольного ускорения ВС;
$\Delta = 1\,\mbox{с}$	-	шаг временной сетки построения ИМ;
$N_{\psi} = 600$	-	ограничение на число узлов сетки ИМ по $\psi$;
$\delta \psi = 2\pi / 600\,\mbox{рад }$	-	дискрет фиксированной сетки по $\psi$;
$N_{V} = 20$	-	ограничение на число узлов сетки ИМ по $V$;
$\delta V = 180 / 11\,\mbox{м/с}$	-	начальный шаг сетки скорости при начальном числе узлов данной сетки 12 (здесь 180 - размах принятого начального интервала [180, 360] неопределённости по скорости, м/с).

Траектория истинного движения (рис. 2, тонкая сплошная линия) имела прямолинейный участок на интервале 0-10 с, разворот против часовой стрелки на интервале 10-40 с и разворот по часовой стрелке на интервале 40-120 с (в обоих случаях боковое ускорение максимально). Скорость изменяется с максимальным ускорением $w = 3$ м/с$^2$ на интервале 0-30 с, с нулевым ускорением на интервале 30-40 с и с торможением $w = -1$ м/с$^2$ на интервале 40-120 с. Динамика изменения ИМ вдоль траектории движения иллюстрируется проекциями ИМ на плоскость $x, y$ в моменты 10, 33, 53, 73, 93 и 113 с. Положения истинной точки в эти моменты, а также в моменты прихода замеров, отмечены квадратиками. Множества неопределённости изображены пунктирной линией.

Рис. 2. Движение ИМ. Общий вид в проекции на плоскость $x$, $y$.

В начальный момент времени проекция информационного множества ${\bf I}(0)$ на плоскость $x, y$ совпадает с множеством $H^\char93 (0)$ неопределённости замера. До появления второго замера область возможных значений $\psi$ совпадает с интервалом $[0, 2\pi]$, поэтому проекция ИМ на плоскость $x, y$ имеет кольцеобразный вид (рис. 2, начальная часть траектории).

В данном варианте использовалось представление МН и сечений ИМ многоугольниками, заданными на фиксированной сетке из 12 векторов. Моделировались также варианты $m = 4$, 8, 16.

5.2 Структура информационного множества

Структура ИМ в проекции на плоскость $x, y$ поясняется на рис. 3 в момент $t= 53$ с. Здесь на фоне общей проекции ИМ (слабая заливка) выделен слой, соответствующий $V = 278,2$ м/с (средняя заливка). Скорость данного слоя наиболее близка к истинному значению скорости 277,0 м/с в этот момент. Внутри него темной заливкой отмечено одно сечение ИМ для $\psi = 1,173$ рад, содержащее истинную точку (обозначена квадратиком). Истинное значение координаты $\psi$ в данный момент равно 1,177 рад.

Рис. 3. Структура ИМ, $t= 53$ с.

5.3 Информационные множества при разном числе нормалей в представлении сечений

Влияние количества векторов (3.5) на точность построения ИМ иллюстрируется рис. 4. Здесь приведены проекции ИМ на плоскость $x, y$ для $t = 79$ с при моделировании с $m = 4$ (слабая заливка), $m=8$ (средняя заливка) и $m = 16$ (темная заливка). Видно, что повышение быстродействия алгоритмов (за счет уменьшения числа векторов) приводит к некоторому снижению точности оценивания: размер текущего ИМ увеличивается.

Рис. 4. Проекция ИМ на плоскость $x$,$y$ для $t = 79$ с.

5.4 Оценка ненаблюдаемых координат

Предложенный подход на базе информационных множеств позволяет разработать вычислительную схему оценивания всех четырех фазовых координат. Рассмотрим динамику оценивания ненаблюдаемых координат $\psi$ и $V$.

На рис. 5 показана двумерная сетка узлов на плоскости $\psi , V$ в моменты учета МН замеров на 20, 40, 60 и 80 с. Рассматривается вариант моделирования с числом векторов $m = 12$ и ограничением $N_{V} = 40$ на число узлов по $V$. На моменты прихода замеров возможные интервалы значений $\psi$ отмечены тонкими вертикальными отрезками. Диапазоны узлов по $\psi$, оставшихся после высечки, отмечены жирными отрезками для каждого из оставшихся узлов сетки по $V$. Квадратиками отмечены истинные значения этих координат в соответствующие моменты времени.

Рис. 5. Оценки ненаблюдаемых координат.

Неопределенность по координате $\psi$ на момент 20 с (рис. 5а) составляет $2\pi$ рад. Соответствующий интервал неопределенности по скорости равен $[163,~437$ м/с$]$, число узлов сетки по $V$ равно 33. Заметим, что к моменту прихода замера размах интервала неопределенности по $\psi$ такой же, как и в начальный момент, а из-за возможного ускорения $w$ число узлов по $V$ увеличивается с 22 в начальный момент до 33. Размах интервала неопределенности по скорости возрастает. Видно, что пришедший в момент 20 с замер (по наблюдаемым координатам $x, y$) дает существенное уточнение информации по ненаблюдаемым координатам $\psi$, $V$.

Для других замеров (рис. 5б - рис. 5г) также происходит улучшение оценки ненаблюдаемых координат. Отметим, что истинная точка (квадратик) всегда находится внутри оцененных областей.

Возможность оценивания ненаблюдаемых координат через замеры наблюдаемых принципиально обусловлена тем, что построение ИМ ведется в полном фазовом пространстве.