1. Постановка задачи

Рассматривается задача оценивания положения, направления и скорости движения самолета в горизонтальной плоскости. Информация о движении поступает в виде замеров координат его положения. Известны ограничения на ошибку замера. Направление $\psi$ и скорость $V$ движения напрямую не замеряются, полагаются неизвестными и могут быть непостоянны.

Считаем, что динамика движения описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

$$\begin{array}{rcl} \dot x & = & V \sin{\psi},\\ [1ex] \dot y... ...isplaystyle {ku\over V},\\ [1.5ex] \dot V & = & w. \end{array}$$ (1.1)

Здесь $k= \mbox{const} >0$; $u$, $w$ - неизвестные управляющие воздействия, удовлетворяющие ограничениям: $\vert u\vert \le 1$, $\mu_1 \le w \le \mu_2$, $\mu_1 < 0$, $\mu_2 > 0$. Полагаем, что $V \ge \mbox{const} > 0$. Угол $\psi$ отсчитывается от оси ординат $y$ по часовой стрелке.

Соотношение, определяющее динамику изменения скорости, вообще говоря, может быть более сложным, чем четвертое уравнение системы (1.1). Это соотношение может зависеть от большого числа параметров и не всегда точно известно. Отказываясь от сложного описания, приходим к уравнению $\dot V = w$ и трактуем $\mu_1$, $\mu_2$ как ограничения на возможные значения ускорения $\dot V$.

Система (1.1) часто применяется (см., например, [11-14]) для описания движения самолета, автомобиля и других объектов c подобной динамикой.

В дискретные моменты времени поступают замеры положения на плоскости $x, y$. Каждому замеру сопоставляется множество неопределенности (МН) - совокупность состояний $(x, y, \psi, V)$, совместимых с данным замером при известных ограничениях на ошибку замера. Например, если в некоторый момент поступает замер $(\hat x, \hat y)$ и максимальная радиальная ошибка замера есть $\sigma$, то неизвестное нам геометрическое состояние в этот момент лежит в круге радиуса $\sigma$ с центром в точке $(\hat x, \hat y)$. МН такого замера представляет собой цилиндр в четырехмерном пространстве с проекцией на плоскость $x, y$ в виде указанного круга.

Поскольку по предположению направление $\psi$ и скорость $V$ напрямую не замеряются, то множество неопределенности $H$ каждого текущего замера является цилиндрическим по координатам $\psi , V$ и полностью представляется своей проекцией $H^\char93$ на плоскость $x, y$:

$$H = H^\char93 \times \{ (\psi, V) \}.$$ (1.2)

Множества $H^\char93$ в дальнейшем будут предполагаться выпуклыми.

Под информационным множеством (ИМ) понимается совокупность всех фазовых состояний $(x, y, \psi, V)$ системы (1.1), совместимых с имеющимися к данному моменту времени множествами неопределенности.

Требуется разработать алгоритм построения ИМ.