4. Практическое построение информационных множеств

В соответствии со схемой из раздела 2 построение ИМ на промежутке времени $[t_*, t^*]$ осуществляется путём расчета множества прогноза на момент времени $t^*$ и последующим учётом множества неопределённости, поступившего в этот момент. Опишем реализацию этих операций в соответствии с допущениями, принятыми в разделе 3.

4.1 Построение множества прогноза

Для построения множества ${\bf G}(t_{i+1})$ на основе множества ${\bf G}(t_{i})$ используем формулы (3.1)-(3.4).

Cложность построений, связанных с использованием сетки на плоскости $\psi , V$, заключается в том, что вновь возникающие узлы $(\bar \psi, \bar V)$ множеств ${\bf G}^\diamondsuit (t_{i+1}, u, w)$ не совпадают с узлами зафиксированной (исходной) сетки на плоскости $\psi , V$. Поэтому множества ${\bf G}(t_{i+1}, u, w)$ строятся приближенно, с привязкой к исходной сетке.

Сначала строим множество пассивного прогноза ${\bf G}(t_{i+1}, 0, 0)$. Набор узлов $(\bar \psi, \bar V)$ этого множества совпадает с набором узлов множества ${\bf G}(t_{i})$. Отвечающие узлам $(\bar \psi, \bar V)$ многоугольники ${\bf G}_{\bar \psi,\bar V}(t_{i+1}, 0, 0)$ на плоскости $x, y$ вычисляются по формуле (3.2): путём переноса многоугольников
${\bf G}_{\psi, V}(t_{i})$ на векторы $(\Delta V \sin{\psi}, \Delta V \cos{\psi})$. Для многоугольника, заданного набором $( \rho_{1}, \ldots, \rho_{m} )$ значений опорной функции, такой перенос означает изменение каждой компоненты $\rho_{i}$ на величину $n_{i_{x}} \Delta V \sin{\psi}+ n_{i_{y}} \Delta V \cos{\psi}$.

Для построения узлов множества ${\bf G}(t_{i+1}, u, w)$ при $(u, w) \ne (0, 0)$ берем за основу узлы множества ${\bf G}(t_{i+1}, 0, 0)$ (они совпадают с узлами исходной сетки) и в соответствии с (3.1) смещаем каждый узел $(\psi, V)$ на вектор $( \Delta ku / V, \Delta w)$. Для новых узлов $(\bar \psi,\bar V) \in {\bf G}^\diamondsuit (t_{i+1}, u, w)$ в силу (3.2) имеем ${\bf G}_{\bar \psi,\bar V}(t_{i+1}, u, w) = {\bf G}_{\psi, V}(t_{i+1}, 0, 0)$, т.е. берем уже полученные сечения множества ${\bf G}(t_{i+1}, 0, 0)$.

По координате $\psi$ используем фиксированное разбиение интервала $[0, 2\pi]$ c шагом $\delta \psi$. Смещение узла сетки на величину $\Delta k / V$ по $\psi$ (влево при $u = -1$ и вправо при $u = 1$) может быть не кратно $\delta \psi$. Чтобы добиться кратности, берём смещение на величину $({ \bf\lbrack\!\lbrack } (\Delta k / V) / \delta \psi { \bf\rbrack\!\rbrack } + 1)\delta \psi$, которая оценивает сверху величину $\Delta k / V$ и кратна $\delta \psi$ (квадратные скобки означают целую часть). Т. е. имеем перенос на

$${ \bf\lbrack\!\lbrack } {(\Delta k / V) \over \delta \psi} { \bf\rbrack\!\rbrack } + 1$$ (4.1)

узлов влево при $u = -1$ и вправо при $u = 1$.

По координате $V$ также используем фиксированное разбиение c шагом $\delta V$. Величина смещения $\Delta \vert w \vert$ также может быть не кратна $\delta V$. Чтобы добиться кратности, берем перенос на

$${ \bf\lbrack\!\lbrack } {\Delta \vert w \vert \over \delta V} { \bf\rbrack\!\rbrack } + 1$$ (4.2)

узлов в отрицательном направлении при $w = \mu_{1}$ и в положительном направлении при $w = \mu_{2}$.

Таким образом, для построения множества ${\bf G}(t_{i+1})$ применяем исходную сетку на плоскости $\psi , V$. Множество ${\bf G}^\diamondsuit (t_{i+1})$ находим по формуле (3.3). При использовании 9 пар управлений в каждый узел может попасть до 9 многоугольников. Для каждого узла $(\bar \psi, \bar V)$ сетки строим выпуклую оболочку объединения многоугольников ${\bf G}_{\bar\psi, \bar V}(t_{i+1}, u, w)$, попавших в этот узел. В результате каждому узлу будет соответствовать свой многоугольник, который и принимаем за ${\bf G}_{\bar\psi, \bar V}(t_{i+1})$ (см. (3.4)). Множества ${\bf G}^\diamondsuit (t_{i+1})$, ${\bf G}_{\bar\psi, \bar V}(t_{i+1})$ определяют множество прогноза ${\bf G}(t_{i+1})$.

Следует отметить, что неопределённость по фазовой координате $V$ может быть достаточно большой, особенно в начальный момент времени. В таком случае шаг $\delta V$ сетки ИМ по скорости трудно заранее ограничить сверху. Следовательно, величина $\Delta \vert w \vert / \delta V$ может быть достаточно малой ( $\Delta \vert w \vert / \delta V \ll 1$). Несмотря на это, согласно формуле (4.2), будет осуществлен перенос на один шаг сетки. Таким образом, сдвиги узлов по $V$ могут быть не согласованны с динамикой системы (1.1). Поэтому при построении ${\bf G}(t_{i+1})$ учёт динамики по $V$ за счёт сдвигов (4.2) будем осуществлять не на каждом шаге по времени, а лишь через заданное количество шагов. Символом $q_{1}$ ($q_{2}$) обозначим количество шагов, через которые будем производить сдвиг в отрицательном (положительном) направлении. В качестве чисел $q_{1}$, $q_{2}$ возьмем максимальные натуральные числа, удовлетворяющие соотношению

$${ \bf\lbrack\!\lbrack } {\Delta \vert \mu_{i} \vert \over \... ...vert \over \delta V} { \bf\rbrack\!\rbrack } , \qquad i = 1,2.$$ (4.3)

Это позволяет насколько возможно согласовать сдвиги (4.2) узлов по $V$ с динамикой системы (1.1).

4.2 Учет множества неопределённости замера

Для каждого пришедшего в момент $t^*$ замера формируется его МН. Это формирование производится в соответствии с типом источника информации и его характеристиками точности. Если в момент $t^*$ замеры положения самолета поступили сразу от нескольких источников, то формируется единое множество неопределённости $H(t^*)$ как пересечение МН этих замеров.

Для построения ИМ в момент времени $t^*$ пересекаем сечения ${\bf G}_{\psi, V}(t^*)$ множества прогноза ${\bf G}(t^*)$ с множеством $H^\char93 (t^*)$.

Узлы $(\psi, V)$ множества ${\bf G}(t^*)$ с непустыми пересечениями и будут составлять множество ${\bf I}^\diamondsuit (t^*)$ - набор узлов информационного множества ${\bf I}(t^*)$.

4.3 Регулирование числа узлов сетки на плоскости $\psi , V$

При практическом построении множества прогноза и ИМ работаем с ограниченным количеством узлов $(\psi, V)$. Для фазовой координаты $\psi$ это легко решаемая проблема, поскольку множество $[0, 2\pi]$ ограничено. Для $V$ число узлов приходится регулировать дополнительно. Кроме того, неопределённость по фазовой координате $V$ заранее может быть оценена лишь грубо, т.е. начальное ИМ задаётся с большим интервалом по $V$ и большим шагом разбиения $\delta V$.

Рассмотрим подробнее работу с сеткой узлов по $V$. С течением времени количество узлов по $V$ может меняться. Так, при отсутствии замеров от источников информации интервал неопределённости по $V$ растёт по времени, а при поступлении замеров часть узлов высекается, и интервал неопределённости уменьшается. В первом случае предусмотрено прореживание числа узлов с увеличением шага разбиения $\delta V$. Во втором случае сетка по $V$ учащается с уменьшением шага $\delta V$. В обоих случаях сетка остаётся равномерной, как принято в разделе 3.

Пусть $N_{V}$ - ограничение на число узлов по $V$. Настройка сетки под текущий интервал неопределённости по скорости осуществляется следующим образом. Число узлов по $V$ поддерживается в интервале от
${ \bf\lbrack\!\lbrack } (N_{V} + 1)/2 { \bf\rbrack\!\rbrack }$ до $N_{V}$. Каждый раз после построения очередного ИМ проверяется выполнение данного условия. Если число узлов стало слишком большим, т.е. больше, чем $N_{V}$, то удаляем каждый второй узел. Тем самым сокращаем число узлов до допустимого количества и увеличиваем шаг $\delta V$ сетки по скорости вдвое. Если же число узлов стало слишком малым, т.е. меньше, чем ${ \bf\lbrack\!\lbrack } (N_{V} + 1)/2 { \bf\rbrack\!\rbrack }$, то добавляем промежуточные узлы, аналогично достигая допустимого количества узлов, и уменьшаем шаг $\delta V$ вдвое.

Рассмотренная процедура позволяет более точно отслеживать фазовую координату $V$ при уменьшении интервала неопределённости по скорости.

Основной проблемой при реализации указанных процедур подстройки сетки по $V$ является построение на вновь вводимых узлах сетки по $V$ соответствующих сеток по $\psi$ и соответствующих сечений ИМ.

Опишем один вариант построения сечений на новых узлах сетки по скорости. Пусть текущее число узлов в данной сетке стало меньше порога ${ \bf\lbrack\!\lbrack } (N_{V} + 1)/2 { \bf\rbrack\!\rbrack }$. Тогда добавляются два новых крайних узла $V_{\mbox{\scriptsize min}} - \delta V$ и $V_{\mbox{\scriptsize max}} + \delta V$ с текущей величиной дискрета $\delta V$. На эти два новых крайних узла дублируются узлы по $\psi$ и наборы сечений ИМ, имеющиеся на прежних крайних узлах $V_{\mbox{\scriptsize min}}$ и $V_{\mbox{\scriptsize max}}$ соответственно. Если увеличенное таким образом число узлов начинает превышать порог ${ \bf\lbrack\!\lbrack } (N_{V} + 1)/2 { \bf\rbrack\!\rbrack }$, то процедура останавливается. Заметим, что при этом интервал по скорости подстроен, а дискрет $\delta V$ сохраняется.

Если после указанного увеличения числа узлов на 2 общее число узлов все еще меньше порога, то вводятся промежуточные узлы по $V$ между имеющимися, а дискрет $\delta V$ уменьшается вдвое. При этом на каждом вновь введенном промежуточном узле $V$ соответствующая сетка узлов по $\psi$ строится объединением сеток, отвечающим узлам, соседним с $V$. Соответствующий набор сечений ИМ на этих узлах по $\psi$ конструируется с помощью быстрой процедуры объединения сечений. Процесс дробления сетки заканчивается, когда число узлов сетки по $V$ первый раз превысит порог ${ \bf\lbrack\!\lbrack } (N_{V} + 1)/2 { \bf\rbrack\!\rbrack }$.