7. Примеры

Приведем примеры управляемых систем, в которых функция цены $w$ построена как обобщенное решение задачи Коши (2.1). При этом в АС использовался КРО $G_1(t,\Delta, \xi)$ (5.2), который для случая, когда функция $\xi$ задана на сетке, а гамильтониан $H$ - кусочно-линейная положительно однородная функция по переменной $s$, вычисляется как последовательный максимум (см. (4.2)). Вычисление выполняется следующим образом:

$$\begin{array}{c} G_1(t, \Delta, \xi)(x) = \displaystyle {\ma... ...)}) \r ) + \mathrm{co\,}\xi (y_j) - \l s, y-x \r\}, \end{array}$$

$$s \in L_{j,k,m} (t,x) = \partial \mathrm{co\,}\xi(y_j) \bigcap L^P_k \bigcap L^Q_m.$$

В этой формуле $p_k$ - вершины многогранника $f^{(1)} (t,x,P)$ в дифференциальной игре (2.2)-(2.3), $L^P_k$ - конусы линейности функции $s \ \rightarrow \ \displaystyle {\min_{u \in P}} \l s, f^{(1)} (t,x,P) \r$, т.е. $L^P_k = \{s \in R^n: \ \l s, p-p_k \r\geq 0, \ p \in f^{(1)} (t,x,P) \}$, $k=1, \ldots, N_P$, $N_P$ - количество вершин многогранника $f^{(1)} (t,x,P)$.

Аналогично, $q_m$ - вершины многогранника $f^{(2)} (t,x,Q)$ и $L^Q_m$ - конусы линейности функции $s \ \rightarrow \ \displaystyle {\max_{v \in Q}} \l s, f^{(2)} (t,x,Q) \r$, т.е. $L^Q_m = \{s \in R^n:$ $\l s, q-q_m \r\leq 0$, $q \in f^{(2)} (t,x,Q) \}$, $m=1,\ldots, N_Q$, $N_Q$ - количество вершин многогранника $f^{(2)} (t,x,Q)$.

Множество $L_{j,k,m} (t,x)$ - выпуклый многогранник - есть пересечение субдифференциала $\partial \mathrm{co\,}\xi (y_j)$, вычисленного в узле $y_j$, принадлежащем
окрестности $O(x, k \Delta)$ узла $x$, с конусом линейности гамильтониана $H$. Максимизируемая функция здесь линейна по переменной $s$. Поэтому вычисление значения $G_1(t, \Delta, \xi)(x)$ оператора $G_1$ в точке $x$ редуцируется к конечной совокупности задач линейного программирования.

П р и м е р 1. Тестовый пример [15]. Рассматривается дифференциальная игра

$$\begin{array}{ccl} \dot{x}_1 \!\!\!& =& \!\!\! x_2+ v, \\ \dot{x}_2\!\!\! & = &\!\!\! u, \end{array}$$

где $u,v \in [-1,1]$, плата $\sigma(x) = w(2,x) = \displaystyle { \max \{ \vert x_1\vert,\vert x_2\vert \},} \ t \in [0,2].$

Численное моделирование осуществляется в точке $\hat{x} = (0,0)$ в момент $t = 0.58578$. Точка $\hat{x}$ находится на пересечении сингулярных линий функции $w(t, \cdot)$. Известно, что $w(t,\hat{x}) =0.58578$. Ниже приведены параметры вычислительной схемы и отвечающие им приближенные значения $w_a$ решения в точке $(t, \hat{x}):$

1) $\Delta =0.28, \quad h_1 =0.29,\quad h_2 =0.14,\quad w_a =0.68;$

2) $\Delta =0.14,\quad h_1 =0.29,\quad h_2 =0.14,\quad w_a =0.66;$

3) $\Delta =0.09,\quad h_1 =0.24,\quad h_2 =0.09,\quad w_a =0.65.$

Здесь $h_1$ и $h_2$ - шаги разбиения пространства $R^2$ по переменным $x_1$ и $x_2$ соответственно.

П р и м е р 2. Рассматривается математическая модель управления движением маятника в вязкой среде

$$\begin{array}{ccl} \dot{x}_1\!\!\!& =&\!\!\!x_2, \\ \dot{x}_2\!\!\!& = &\!\!\!-\sin x_1 -vx_2 +u. \end{array}$$

Здесь $t \in [0,0.75]$, вязкость $v \in [0,1]$, управление $u \in [-1,1]$, функция платы $\sigma (x) =(x^2_1+ x^2_2)^{1/2}$.

Аналитическое решение задачи неизвестно. Сопоставление результатов ведется с результатами счета, полученными по другой методике [14], позволяющей строить аппроксимации множеств уровня функции цены. Ниже приведены точки $(t, \hat{x})$, в которых велся счет, параметры вычислительной схемы и отвечающие им приближенные значения $w_a$ решения, а также приближенные значения $\bar{w}$, полученные посредством конструирования множеств уровня функции цены.

 1) 		 $(t, \hat{x}) =(0, 0.856, 0.755);\qquad \bar{w} = 1;$ 

$\Delta = 0.15,\quad \alpha = 0.2,\quad \beta = 0.3, \quad w_a = 1.05;$ 

$\Delta = 0.075,\quad \alpha = 0.15,\quad \beta = 0.15,\quad w_a =1.01;$






2) 		 $(t, \hat{x}) =(0,\ -0.05586, -0.36266);\qquad \bar{w} =1;$ 

$\Delta = 0.15,\quad \alpha = 0.2,\quad \beta = 0.3, \quad w_a = 1.04;$ 

$\Delta = 0.075,\quad \alpha = 0.1, \quad \beta = 0.15, \quad w_a = 1.01.$

Поступила 25.09.99