2. Постановка задачи

Рассматривается задача Коши для уравнения Гамильтона-Якоби

$${\partial w(t,x) \over \partial t} +H(t,x,\nabla w(t,x))=0,$$ (2.1)

$$w(\vartheta,x)=\sigma(x), \quad t \in (0,\vartheta),\ \ \ x \in R^n.$$

Здесь $\nabla w(t,x)=(\frac{\partial w}{\partial x_1}(t,x),\ldots, \frac{\partial w}{\partial x_n}(t,x))$ градиент функции $w$, $H$ - гамильтониан.

Исследование проблемы приближенного построения обобщенного решения задачи (2.1) ведется в контексте дифференциальной игры

$$\dot{x}=f(t,x,u,v)= f^{(1)}(t,x,u)+f^{(2)}(t,x,v).$$ (2.2)

Здесь $t \in [0,\vartheta]$, $x$ n-мерный фазовый вектор системы, $u$ и $v$ векторы управляющих воздействий первого и второго игроков соответственно, стесненные ограничениями

$$u \in P \subset R^p, \quad v \in Q \subset R^q.$$

Здесь $P$ и $Q$ - компакты. Гамильтониан $H$ динамической системы (2.2) имеет вид

$$H(t,x,s)=\min_{u \in P} \l s,f^{(1)}(t,x,u) \r + \max_{v \in Q} \l s,f^{(2)}(t,x,v) \r ,$$

где $\l s,f \r$ - скалярное произведение векторов $s$ и $f$.

Правая часть $f(t,x,u,v)$ системы (2.2) удовлетворяет следующим условиям.

(f1) Функция $f$ непрерывна по совокупности переменных.

(f2) Функция $f$ удовлетворяет условию Липшица по переменной $x$

$$\Vert f(t,x,u,v)-f(t,y,u,v) \Vert \leq \lambda_f (A) \Vert x-y \Vert$$

для всех $(t,x) \in A, \ (t,y) \in A$ и любого компакта $A \subset [0, \vartheta] \times R^n$.

(f3) Существует константа $\kappa <+\infty$ такая, что выполняется неравенство

$$\Vert f(t,x,u,v) \vert\ \leq \kappa (1+ \Vert x \Vert)$$

для всех $(t,x,u,v) \in [0,\vartheta] \times R^n \times P \times Q.$

Условия (f1)-(f3) и вид правой части системы (2.2) определяют следующие свойства гамильтониана $H$.

(H1) Имеет место равномерная непрерывность на любом компакте в пространстве переменных $t$, $x$, $s$.

(H2) Выполняется условие Липшица по переменной $x$

$$\vert H(t,x,s)-H(t,y,s)\vert \leq \lambda_H(A) \Vert s\Vert \cdot \Vert x-y\Vert$$

для всех $(t,x) \in A, (t,y) \in A,\ s \in R^n$ и любого компакта $A \subset R^n$.

(H3) Выполняется условие Липшица по переменной $s$

$$\vert H(t,x,s_1)-H(t,x,s_2)\vert \leq K(A) \Vert s_1-s_2\Vert,$$

для всех $(t,x) \in A, \ s_1 \in R^n, \ s_2 \in R^n$.

(H4) Гамильтониан положительно однороден по переменной $s$

$$H(t,x,\lambda s)= \lambda H(t,x,s)$$

для любых $(t,x,s) \in A \times R^n, \ \lambda \geq 0, \ A \subset [0,\vartheta] \times R^n$.

Показателем качества дифференциальной игры является терминальный функционал

$$\gamma(x(\cdot)) = \sigma(x(\vartheta)).$$ (2.3)

Функция $\sigma(\cdot): \ R^n \rightarrow R$ удовлетворяет локальному условию Липшица

$$\vert \sigma (x) - \sigma (y) \vert \leq \lambda_{\sigma} (A) \Vert x-y\Vert.$$

Здесь $A \subset R^n$ - ограниченное множество.

Функционал $\gamma$ ставит в соответствие реализовавшемуся движению $x(\cdot)$ число $\sigma(x(\vartheta))$.

При указанных условиях (f1)-(f3) на правую часть системы (2.2) существует функция цены $(t,x)\rightarrow w(t,x): \ [0,\vartheta] \times R^n \rightarrow R$ дифференциальной игры (2.2)-(2.3). При этом функция цены совпадает с обобщенным решением задачи Коши (2.1) для случая, когда гамильтониан $H$ удовлетворяет условиям (H1)-(H4). Обобщенное решение задачи (2.1) здесь однозначно определяется краевым условием и парой дифференциальных неравенств

$$\inf_{s\in R^n} \sup_{h \in R^n} (\l s,h \r - \partial_- w(t,x) \vert (1,h) - H(t,x,s)) \geq 0,$$

$$\sup_{s\in R^n} \inf_{h \in R^n} (\l s,h \r - \partial_+ w(t,x) \vert (1,h) - H(t,x,s)) \leq 0.$$

Здесь

$$\partial_- w(t,x) \vert (1,h) = \liminf_{\delta \downarrow 0} \delta^{-1} (w( t+\delta, x+\delta h) - w(t,x)),$$

$$\partial_+ w(t,x) \vert (1,h) = \limsup_{\delta \downarrow 0} \delta^{-1} (w( t+\delta, x+\delta h) - w(t,x))$$

- соответственно нижняя и верхняя производная функции $w$ в точке $(t,x)$ по направлению $(1,h)$.

Эквивалентность функции цены дифференциальной игры и обобщенного решения задачи (2.1) позволяет применять при построении обобщенных решений УГЯ конструкции теории дифференциальных игр.

Функция цены - единственная функция, которая при заданной плате (2.3) удовлетворяет одновременно свойствам $u$- и $v$-стабильности. Свойство $u$-стабильности ($v$-стабильности) означает слабую инвариантность
надграфика (подграфика) функции цены относительно некоторого семейства дифференциальных включений - семейства характеристических
включений для (2.1). Построение слабо инвариантного множества может быть осуществлено с помощью известного в теории дифференциальных игр оператора стабильного поглощения (ОСП). Следует отметить, что существует определенный произвол в выборе семейства характеристических включений, что используется ниже при построении ОСП.