5. Аппроксимационные схемы и их сходимость

Рассмотрим функции, построенные на основе операторов шага $\pi^c_{\Delta}$,
$c \geq 0$. Пусть заданы разбиение $\Gamma = \{t_0, t_1, \ldots, t_N= \vartheta\}$ отрезка $[t_0, \vartheta]$ и функция $\sigma(\cdot): \ \bar{D} (\vartheta) \rightarrow R$. Определим отвечающие этому разбиению функции

$$\xi^c(\cdot): \ \bigcup^N_{i=0} (t_i,\bar{D}(t_i)) \rightarrow R, \qquad c \geq 0$$ (5.1)

по рекуррентным формулам

$$\xi^c(\vartheta, x) = \sigma(x), \qquad x \in \bar{D}(\vartheta),$$

$$\xi^c(t_i,x) = \inf \{ \xi : \ (x, \xi) \in \pi^c_{\Delta_i}... ...hrm{epi\,} \ \xi^c(t_{i+1}, \cdot)), \ x \in \bar{D} (t_i) \}.$$

Здесь $\Delta_i = t_{i+1} -t_i, \ i=N-1, N-2, \ldots,0.$

Определим разностный оператор $G_1$ по формуле

$$G_1 (t, \Delta, \xi^c(t+\Delta,\cdot))(x) = \max_{s \in S_n}... ...f \in F_1 (t,x,s)} \mathrm{co\,}\xi^c (t+\Delta, x+ \Delta f),$$ (5.2)

$x \in \bar{D}(t)$. Пусть $\Phi (X)$ - множество всех скалярных функций, определенных на множестве $X$.

Определим также оператор последовательного максимина локально-выпуклых оболочек.

О п р е д е л е н и е 6. Пусть $\Gamma = \{t_0, t_1, \ldots, t_N= \vartheta\}$ - разбиение отрезка $[t_0, \vartheta]$, $\sigma$ - произвольная функция, определенная на $\bar{D} (\vartheta)$. Оператором последовательного максимина (ОПМ) назовем оператор $G(\Gamma, \phi):\$ $${ \Phi(\bar{D}(\vartheta))} \rightarrow$$
$${\Phi (\bigcup_{i=0}^N (t_i, \bar{D}(t_i))) }$$, $t_i \in \Gamma$, заданный соотношениями

$$\begin{array}{c} G (t_i,\ldots,t_N, \phi(t_{i+1}, \cdot)) ... ..., x) = \sigma(x), \quad x \in \bar{D}( \vartheta). \end{array}$$ (5.3)

Справедлива теорема

Теорема 5.1   Пусть функция $\sigma (\cdot):$ $\bar{D} (\vartheta) \rightarrow R$ удовлетворяет условию Липшица с константой $\lambda_{\sigma}$, семейство многозначных отображений $\{(t,x) \rightarrow F_1(t,x,s):$ $s \in S_n \}$ удовлетворяет условиям (F1)-(F4), $\Gamma = \{ t_0,\linebreak t_1, \ldots, t_N= \vartheta \}$ - разбиение отрезка $[t_0, \vartheta]$ такое, что $\mathrm{diam} \ \Gamma = \max \{ \vert t_{i+1} - t_i \vert: \ i=0, \ldots, N \} \rightarrow 0$ при $N \rightarrow + \infty$. Тогда для любых значений параметра $c \geq 2 \lambda_{\sigma} \exp( \lambda_F (3K+1) (\vartheta -t_0))$ функции (5.2), отвечающие этим значениям, равны между собой и совпадают с функцией, порождаемой ОПМ:

$$\xi^c (t_i,x) = G_B(t_i, \Delta_i, G_B(t_{i+1}, \Delta_{i+1}, (\ldots G_B (t_{N-1}, \Delta_{N-1}, \sigma) \ldots))) (x),$$

и

$$\vert w(t_i,x) - G_B(t_i, \Delta_i, (\ldots G_B(t_{N-1}, \Delta_{N-1}, \sigma) \ldots))\vert \rightarrow 0.$$

Здесь $x \in \bar{D}(t_i), \ t_i \in \Gamma$.

Результат может быть усилен [17], если на гамильтониан $H$ (и соответственно на семейство (3.3) многозначных отображений) наложить условие Липшица по переменной $t$.

(H5) Существует число $\lambda_t \in [0, +\infty)$ такое, что для любых $t_1 \in [t_0, \vartheta]$, $t_2 \in [t_0, \vartheta]$, любом $s \in S_n$ имеет место неравенство

$$\vert H(t_1, x,s) -H(t_2,x,s)\vert \leq \lambda_t \cdot \Vert s\Vert \cdot \vert t_1-t_2\vert.$$

(F5) Существует число $\lambda^*_t \in [0, +\infty)$ такое, что для любых $t_1 \in [t_0, \vartheta]$, $t_2 \in [t_0, \vartheta]$, любом $s \in S_n$ имеет место неравенство

$$\mathrm{dist\,}(F_1(t_1, x,s), F_1(t_2,x,s)) \leq \lambda^*_t \cdot \Vert s\Vert \cdot \vert t_1-t_2\vert$$

В этом случае может быть оценена сходимость ОПМ. Действительно, оператор $\xi \rightarrow G_1(t, \Delta, \xi)$, определяемый формулой (5.2), удовлетворяет [8] следующим условиям:

(G1) Совместимость

$$G_1(t,0,\xi)(x) =\xi(x), \ x \in \bar{D}(t),$$

$$\bar{D}(t) = \{x \in R^n: \ (t,x) \in \bar{D}, \ t \in [t_0, \vartheta] \}.$$

(G2) Непрерывность отображения $(t, \Delta) \rightarrow G_1(t, \Delta, \xi):$

$$\vert G_1(t_1,\Delta_1,\xi) (x)-G_1(t_2,\Delta_2,\xi) (x)\vert \leq$$

$$\leq 3 \lambda_t K \vert\Delta_1 - \Delta_2\vert +4 \lambda_... ... + \lambda_H \max\{ \Delta_1, \Delta_2 \} \vert t_1-t_2\vert).$$

(G3) Коммутативность

$$G_1(t,\Delta,\xi+a) (x) = G_1(t,\Delta,\xi) (x) +a, \quad x \in \bar{D} (t), \quad a \in R.$$

(G4) Ограниченность

$$\vert G_1(t,\Delta,\xi) (x) - \xi (x)\vert \leq C_1, \quad C_1= L(r+2K)\Delta, \quad x \in \bar{D}(t).$$

(G5) Монотонность

$$G_1(t,\Delta,\xi_1) (x) \geq G_1(t,\Delta,\xi_2) (x), \quad x \in \bar{D}(t),$$

если $\xi_1(x) \geq \xi_2(x), \ x \in \bar{D} (t+ \Delta).$

(G6) Экспоненциальное возрастание

$$\Vert G_1(t,\Delta,\xi) \Vert _{\bar{D}(t)} \leq \exp(C_2 \Delta)( \Vert\xi\Vert _{\bar{D}(t+ \Delta)}), \quad C_2 \geq 0.$$

(G7) Условие Липшица по переменной $x$

$$\vert G_1(t,\Delta,\xi) (x_1)- G_1(t,\Delta,\xi) (x_2)\vert \leq \exp(C_3 \Delta)\lambda_H \Vert x_1-x_2 \Vert,$$

$$C_3=4 \lambda_H, \quad x_1 \in \bar{D}(t), \quad \in x_2 \in \bar{D}(t).$$

(G8) Условие аппроксимации

$$\left\vert \frac{G_1(t,\Delta,\xi) (x) -\xi(x)}{\Delta} - H(t,x, \nabla \xi (x)) \right\vert \leq C_4 \Delta,$$

где $C_4=6K^2 \Vert \partial^2 \xi \Vert, \ \ \xi: \ \bar{D}(t+ \Delta) \rightarrow R, \ \ x \in \bar{D}(t)$, $\xi$ - дважды непрерывно дифференцируемая функция на $\bar{D}(t+ \Delta)$.

Как известно [8], АС с оператором, удовлетворяющим условиям (G1)-(G8), сходится к обобщенному решению $w$ задачи Коши (2.1) со скоростью, пропорциональной $\Delta^{1/2}$.