Выше приведена АС построения обобщенного решения задачи (2.1). При этом использован ОСП, известный в теории дифференциальных игр и примененный здесь к решению задачи 1 - задачи о построении надграфика обобщенного решения. Аналогичным образом ОСП используется при решении задачи 2 - задачи о построении подграфика . При этом получаем КРО , двойственный по отношению к КРО и определяемый по формуле
Отметим, что оператор допускает следующее представление
З а м е ч а н и е. Формулы (5.2) и (6.1) для операторов и
, соответственно, можно интерпретировать как обобщение
формул Хопфа [23] на ЛВО (ЛВГО) функций.
Более точно, справедливы равенства
Оператор , как и оператор , удовлетворяет
условиям (G1)-(G8), следовательно, порожденная им АС
сходится к обобщенному решению задачи Коши (2.1)
со скоростью, пропорциональной . Поэтому любая
выпуклая комбинация операторов и , определяемая
формулой
Отметим, что среди КРО вида (6.2) существует оператор, определяющий квазидифференцируемую (в смысле Демьянова [24]) функцию, аппроксимирующую обобщенное решение задачи (2.1).
Рассмотрим КРО на множестве таблично заданных функций.
Пусть
(i=1, ...,n) - шаги
дискретизации фазового пространства. Совокупность точек
таких, что
,
назовем сеткой и будем обозначать
.
Здесь
- орты в .
Пусть - выпуклая оболочка сетки
:
Полагаем, что и - функция, удовлетворяющая условию Липшица. Пусть - некоторое фиксированное разбиение n-мерного куба на симплексы.
Определим значение оператора
в точке соотношением
АС с КРО также сходится [18] со скоростью, пропорциональной шагу разбиения отрезка . Здесь подчеркнем, что оператор может быть использован для реального (численного) построения аппроксимации решения задачи (2.1).
Рассмотрим еще один оператор, который непосредственно применим при численных построениях. Этот оператор имеет очень простую структуру, полученную с помощью метода наименьших квадратов, поэтому его можно использовать для быстрых вычислений.
Пусть
Пусть
- линейная функция, наиболее близкая в
смысле квадратичного отклонения к табличной функции
,
т.е. параметры
определяются из условия минимума квадратичного отклонения
Система (6.4) является симметрической и может быть
записана в виде
Симметрия множества
относительно
координатных плоскостей обеспечивает диагональность системы
(6.5)
Можно проверить, что линейная функция , рассмотренная на
шаре
, расположена между ЛВО и ЛВГО функции ,
построенными на шаре ,
Отметим следующий факт. Пусть
. Тогда
КРО обращается в оператор Лакса-Фридрихса [17].