3. Оператор стабильного поглощения

Ниже приводится описание ОСП, примененного здесь для построения обобщенного решения задачи (2.1).

Приводимая в работе конструкция предполагает построение сужения функции $w$ на ограниченное множество. В качестве этого множества выбирается стабильный мост $D \subset [0, \vartheta] \times R^n$ в конфликтной задаче сближения с шаром

$$O(\hat{x}, \hat{r}) = \{ x \in R^n: \ \Vert x- \hat{x} \Vert \leq \hat{r} \}.$$ (3.1)

Здесь $\hat{x}$ - фиксированная точка, радиус $\hat{r}$ достаточно велик.

О п р е д е л е н и е 1. Многозначное отображение

$$t\rightarrow D(t) \subset R^n,\ \ \ \ t \in [0, \vartheta]$$

называется стабильным мостом в задаче (2.1), (2.3), если $D(\vartheta) \subset \hat{M} =$
$O(\hat{x}, \hat{r})$, а его график $\{ (t,x) \in R \times R^n: \ t \in [0,\vartheta], \ x \in D(t) \}$ замкнут и слабо инвариантен относительно дифференциального включения

$$\dot{x} \in F_1 (t,x,s)$$

при любом $s \in S_n$. Здесь $S_n=\{ s \in R^n: \ \Vert s\Vert =1 \}$ - сфера единичного радиуса, $F_1(t,x,s) = \{f \in R^n: \ \l s,f \r\geq H(t,x,s), \ \Vert f\Vert \leq K \}$, константа $K$ выбрана из условия

$$K > 2 \sup\{ \Vert f(t,x,u,v)\Vert:(t,x,u,v) \in \hat{D} \times P \times Q\},$$ (3.2)

где $\hat{D}$ - компакт в $[0, \vartheta] \times R^n$, содержащий $D$. Наибольший по включению стабильный мост называется максимальным стабильным мостом.

Отметим, что при указанных предположениях на правую часть уравнения (2.2) семейство многозначных отображений

$$\{ (t,x) \rightarrow F_1(t,x,s): \ s \in S_n \},$$ (3.3)

порождающее множество $D$, удовлетворяет следующим условиям.

(F1) Для любых $(t,x,s) \in \hat{D} \times S_n$ множество $F_1(t,x,s)$ выпукло, замкнуто и удовлетворяет вложению $F_1(t,x,s) \subset F= \{ f \in R^n : \ \Vert f\Vert \leq K \}$.

(F2) Для любых $(t,x,s) \in \hat{D} \times S_n$ справедливо соотношение

$$\max_{q \in S_n} \min_{f \in F_1(t,x,q)} \l s,f \r =H(t,x,s).$$

(F3) Для отображения $(t,x,s) \rightarrow F_1(t,x,s)$ существует функция
$\delta \rightarrow \hat{\omega} (\delta):$ $R \rightarrow R$, $(\hat{\omega}\rightarrow 0$ при $\delta \rightarrow 0 )$ такая, что

$$\mathrm{dist\,}(F_1(t_1,x,s), F_1(t_2,y,s)) \leq \hat{\omega}(\vert t_1-t_2\vert + \Vert x-y\Vert)$$

для всех $(t_1,x) \in \hat{D}$, $(t_2,y) \in \hat{D}$ и $s \in S_n$.

Здесь $\mathrm{dist\,}(F_*,F^*)$ - хаусдорфово расстояние между множествами $F_*$ и $F^*$.

(F4) Существует число $\lambda_F \in [0, +\infty)$ такое, что для любых $(t,x),\\ (t,y) \in \hat{D}$ и любого $s \in S_n$ имеет место неравенство

$$\mathrm{dist\,}(F_1(t,x,s), F_1(t,y,s)) \leq \lambda_F \Vert x-y \Vert.$$

Отметим еще один факт. Непрерывная функция $w(\cdot)$ является функцией цены дифференциальной игры (2.2)-(2.3) тогда и только тогда, когда множество $W=\mathrm{epi\,}\ w \ (W=\mathrm{hypo}\ w)$ является стабильным мостом в задаче сближения с целевым множеством $M=\mathrm{epi\,}\ \sigma \ (M=\mathrm{\mathrm{hypo}} \ \sigma)$, решаемой игроком, распоряжающимся управлением $u$ (управлением $v$) для расширенной системы

$$\left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = f(t,x,u,v),\\ [1ex] \dot{\xi} = 0. \end{array}\right.$$ (3.4)

Здесь $\xi \in R$, $\mathrm{epi\,}\ \sigma$ - надграфик, а $\mathrm{hypo} \ \sigma$ - подграфик функции $\sigma$.

Утверждение остается в силе, когда рассматривается сужение функции $w$ на стабильный мост $D$

$$w(\cdot): \ D \rightarrow R.$$

В дальнейшем задачу о построении надграфика сужения функции $w$ на множество $D$ будем называть задачей 1, а задачу о построении подграфика сужения функции на это множество - задачей 2. Подходы к решению каждой из задач близки, поэтому описание построений приведем для одной из них - для задачи 1.

Введем обозначения.

$$z= (x, \xi), \quad x \in R^n, \quad \xi \in R;$$

$$\bar{f}(t,z,u,v) = (f(t,x,u,v),0), \quad f(t,x,u,v) \in R^n, \quad 0 \in R;$$

$\mathrm{pr\,}\ \Omega$ - ортогональная проекция $\Omega \subset R^n \times R$ на $R^n$.

Рассмотрим дифференциальную игру для расширенной динамической системы

$$\dot{z}= \bar{f}(t,z,u,v),$$ (3.5)

где $z \in R^{n+1}, \ t \in [0, \vartheta], \ u \in P \subset R^p, \ v \in Q \subset R^q$. В качестве целевого множества примем

$$M= \mathrm{epi\,}\ \sigma_{D(\vartheta)}$$ (3.6)

- надграфик сужения функции платы на множество $D(\vartheta)$.

Максимальный стабильный мост $W$ для задачи сближения (3.5)-(3.6) является решением задачи 1.

Гамильтониан динамической системы (3.5) зададим равенством

$$\bar{H}(t,z,l)= \min_{u \in P} \ \max_{v \in Q} \l l, \bar{f} (t,z,u,v) \r , \quad l \in R^{n+1}.$$

Символом $S_{n+1}$ обозначим множество векторов $\{ l \in R^{n+1}: \ \Vert l\Vert =1 \}$.

Построим прямое произведение множества $F$ и отрезка $[-c,c]$

$$F^c= F \times [-c,c],$$

где параметр $c \in [0,+\infty)$.

В пространстве переменных $(t,z)$ выделим область $D^* = R \times \hat{D}$, априори содержащую $W$.

Введем в рассмотрение совокупность семейств многозначных отображений, зависящих от параметра $c \in [0,+\infty)$

$$\{ (t,z) \rightarrow F^c(t,z,l): \ l \in S_{n+1} \}.$$ (3.7)

Здесь $(t,z) \in D^*, \ F^c(t,z,l) = \{ \bar{f} \in F^c: \l l,\bar{f} \r\geq H(t,z,l) \}$.

Условия (F1)-(F4) для семейства отображений (3.3) влекут аналогичные условия для любого семейства отображений (3.7). Имеют место условия $(F^c1)$-$(F^c2)$.

$(F^c1)$ Для любых $c \geq 0$, $(t,z,l) \in D^* \times S_{n+1}$ множество $F^c(t,z,l)$ выпукло, замкнуто и содержится в $F^c$.

$(F^c2)$ Для любых $c \geq 0$, $(t,z,l) \in D^* \times S_{n+1}$ справедливо неравенство

$$\max_{q \in S_{n+1}} \min_{\bar{f} \in F^c(t,z,q)} \l l,\bar... ... = \bar{H}(t,z,l) = H(t,\mathrm{pr\,}\, z, \mathrm{pr\,}\, l).$$

$(F^c3)$ Для любого $c \geq 0$ для отображения $(t,z,l) \rightarrow F^c(t,z,l)$ существует константа $\nu(c)$ такая, что

$$\mathrm{dist\,}(F^c(t_1,z,l), F^c(t_2,z',l)) \leq \nu(c)\hat... ...t_1-t_2\vert + \Vert\mathrm{pr\,}\ z - \mathrm{pr\,}\ z'\Vert)$$

при всех $(t_1,z), (t_2,z') \in D^*$ и $l \in S_{n+1}$.

$(F^c4)$ Для любого $c \geq 0$ существует константа $\lambda = \lambda(c) \in [0, +\infty)$ такая, что для любых $(t,z), (t,z') \in D^*$ и любого $l \in S_{n+1}$ имеет место неравенство

$$\mathrm{dist\,} (F^c(t,z,l), F^c(t,z',l)) \leq \lambda \Vert\mathrm{pr\,}\ z - \mathrm{pr\,}z' \ \Vert.$$

Известно [14], что любое семейство отображений, удовлетворяющее условиям типа $(F^c1)$-$(F^c4)$, индуцирует ОСП для соответствующей задачи сближения.

О п р е д е л е н и е 2. Отображение

$$B \rightarrow \pi^c(t_*, t^*,B): \ 2^{R^{n+1}} \rightarrow 2^{R^{n+1}},$$

определяемое соотношением

$$\pi^c(t_*, t^*,B) = \{ z_* \in R^{n+1}: \ B \bigcap Z^c(t^*; t_*,z_*,l) \neq 0,\ \forall\, l \in S_{n+1} \}$$

называется оператором стабильного поглощения для задачи (3.5)-(3.6).

Здесь $Z^c(t^*;t_*,z_*,l)$ - множество всех точек из $R^{n+1}$, в которые в момент $t^*$ приходят решения $z(t), \ t_* \leq t \leq t^*, \ z(t_*)=z_*,$ дифференциального включения $\dot{z} \in F^c(t,z,l), \ l \in S_{n+1}$ при фиксированном значении
параметра $c$.

О п р е д е л е н и е 3. Множество $W \in D^*$ называется стабильным мостом в задаче 1 сближения с замкнутой целью $M \subset R^{n+1}$, если выполняются условия:

1) $W(\vartheta) \subset M$,

2) $W(t_*) \subset \pi^c(t_*, t^*, W(t^*)) \ \mbox{для любых} \ t_*, t^* \ (0 \leq t_* < t^* \leq \vartheta)$.

Наибольший по включению стабильный мост называется максимальным стабильным мостом.

Таким образом описано семейство

$$\{ \pi^c(\cdot), \ c \in [0, + \infty) \}$$

форм ОСП, каждая из которых может быть привлечена для конструирования $\mathrm{epi\,}\ w$.

Семейство дифференциальных включений с правыми частями из (3.7) (при любом фиксированном $c$) называется характеристическим семейством для задачи (2.1). Сказанное означает, что для любой точки $z(t_*) =$ $(x(t_*),$ $w(t_*, x(t_*)))$, $0 \leq t_* < \vartheta$, принадлежащей графику обобщенного решения задачи Коши для УГЯ, для любого $l \in S_{n+1}$, для любого момента $t^*$, $t_* < t^* \leq \vartheta$, существует решение $z(\cdot)$ дифференциального включения $\dot{z} \in F^c(t,z,l)$, $l \in S_{n+1}$ такое, что точка $z(t^*)$ принадлежит графику обобщенного решения, т.е. $z(t^*) =(x(t^*), w(t^*, x(t^*)))$.