3. Оптимизация нестационарного обтекания шара

Снова исследуется задача, поставленная в разделе 2. При этом предполагается, что выполнены ограничения L1-L2 и движение шара происходит в неограниченном объеме жидкости (т.е. имеет место первое из условий L3). В отличие от раздела 2 числа Рейнольдса удовлетворяют условию ${\rm Re<1}.$ Для расчета силы сопротивления жидкости используется формула Буссинеска (2.13).

Выражение для мощности силы лобового сопротивления имеет вид

$$D_t A=-{\bf V}^\top {\bf F}\;,\quad A(0)=0\;,$$ (3.1)

Задача 3.1. Требуется найти вектор-функцию ${\bf u}^0(t)$, $0\leqslant t\leqslant t_p$, минимизирующую функционал $A(t_p)$ при динамических связях $(\ref{3.1})$ и $(\ref{2.4})$, ограничении на фазовые координаты шара $(\ref{2.3})$ и граничном условии ${\bf r}(t_p)=(x_p,y_p,z_p)^\top ={\bf r}_p$.

Поставленная задача имеет следующие особенности. Динамическая
связь (3.3) есть сверточное уравнение в обобщенных функциях. Действительно, подставляя выражение (2.13) в (3.4), после несложных преобразований можно получить соотношение

$$D_t^2 h * {\bf V} = -k_{00} {\bf V} + {\bf u} \;,$$ (3.2)

где $h(t)=\bigl(m+k_1+2k_{01}\sqrt{t}\bigr)\chi(t)$, $\chi$ - функция Хевисайда единичного скачка. Очевидно, порядок сингулярности [18] распределения $D_t^2 h$ равен 2. Задача не предполагает каких-либо геометрических ограничений на управляющую силу. Как показывает опыт [13,17] в такой ситуации в составе оптимальной управляющей силы могут появиться импульсные составляющие. Тогда при вычислении работы силы сопротивления жидкости возникает необходимость умножить разрывную скорость шара на ее обобщенную производную, что связано с так называемой проблемой умножения обобщенных функций. Поэтому попытка решить задачу 3.1 при помощи известных классических вариационных процедур некорректна.

Задача 3.1 относится к числу задач динамической оптимизации с ограничениями в виде равенств на фазовые переменные. В данном случае есть возможность перейти к задаче без таких ограничений. Именно, последовательное дифференцирование по времени (3.2) приводит к формулам

$${\bf V}=-V{\bf\Gamma}'(s)\;, \quad D_t{\bf V}={\bf\Gamma}''V^2-{\bf\Gamma}'D_t V\;.$$ (3.3)

Эти формулы и равенства ${\bf\Gamma}'^\top {\bf\Gamma}'=1$, ${\bf\Gamma}'^\top {\bf \Gamma}''=0$ позволяют перейти от исходной задачи 3.1 к эквивалентной задаче

$$A(t_p)\to \min$$ (3.4)

$$\begin{array}{l} D_t A=k_1VD_t V+k_{00}V^2-k_{01}V{\bf\Gamma... ...\bf F}+{\bf \Gamma}'^\top {\bf u}\,,\quad V(0)=0\,. \end{array}$$

В задаче 3.1 и, следовательно, в задаче (4.4) выражение для мощности содержит произведение $k_1 VD_tV$. Если в момент $\tau$ скорость шара претерпевает скачoк, то этот скачок необходимо далее умножить на импульсную функцию Дирака, с носителем в том же моменте времени. Ниже используется корректное определение такого произведения $VD_tV=1/2\,D_tV^2$ [13]. Это определение дает возможность представить работу в виде $\alpha=A-1/2\,k_1V^2$ и преобразовать задачу (4.4) к следующей:

$$\alpha(t_p)+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}k_1V^2(t_p)\to\min$$ (3.5)

$$\begin{array}{l} \dot\alpha=k_{00}V^2-k_{01}{\bf\Gamma}'^\to... ...{\bf F}+{\bf\Gamma}'^\top {\bf u}\,,\quad V(0)=0\,. \end{array}$$

Итак, исходная задача 3.1 преобразована к задаче (4.5). Последняя не содержит ограничений на фазовые координаты шара и произведений обобщенных функций.

Последний шаг редукции связан с введением нового управления $W$, описывающего составляющую ускорения шара вдоль кривой ${\bf\Gamma}$, т.е. $W=D_tV$. Согласно (4.2), (4.3) оно связано с прежним управлением преобразованием

$${\bf u}=-k_{00}{\bf\Gamma}'V+D_th*({\bf\Gamma}''V^2-{\bf\Gamma}'D_t W)\,.$$

Оптимальную программу $W(t)$ будем искать в виде

$$W=V_0\,\delta(t)+W(t)+V_p\,\delta(t-t_p)\,,$$

где $W(t)$ - обычная (т.е. интегрируемая) функция, исчезающая вне промежутка $[0,t_p],$ $V_0$ и $V_p$ - прозвольные константы.

В результате задача (4.5), а следовательно, и исходная задача 3.1, будут сведены к следующей.

Задача 3.2. Найти набор $\{ V_0,W(t),V_p\}$, минимизирующий функционал (4.5) при динамических связях

$$\begin{array}{l} \dot\alpha=k_{00}V^2+k_{01}({\bf\Gamma}')^\... ...(t)\,,\quad V(0)=V_0\,,\quad V(t_p)=V(t_p-0)+V_p\,. \end{array}$$

Здесь принято обозначение

$${\bf\varphi}_2(t)=\int\limits^t_0\frac{d\dot{\bf \gamma}}{\sqrt{t-\tau}}\;, \quad {\bf\gamma}(\tau)={\bf\Gamma}(s(\tau))\;.$$

Задачу 3.2 следует решать в два этапа. Сначала надо решить задачу

$$\begin{array}{l} \alpha(t_p)+\frac{\displaystyle 1}{\display... ...to\min_{\displaystyle V_p}\\ V(t_p)=V(t_p-0)+V_p\,. \end{array}$$

Очевидно, оптимальное значение $V_p^0=-V(t_p-0)$. Отсюда вытекает, что в конце оптимального оптимального перемещения мы имеем

$$V^0(t_p)=0,$$ (3.6)

т.е. шар должен остановиться.

Далее, поскольку величина $\alpha(t_p)$ не зависит от выбора $V_p$, то с учетом (4.6) остается решить задачу

$$\alpha(t_p)\to \min$$ (3.7)

$$\begin{array}{l} \dot\alpha=k_{00}V^2+k_{01}{\bf\Gamma}'^\to... ...\,,\quad s(t_p)=0\,,\\ \dot V=W\,,\quad V(0)=V_0\,. \end{array}$$

Для этой цели можно применить классическую вариационную процедуру Эйлера-Лагранжа [8]. Именно, пусть пара $\{ V_0,W(t)\}$ является оптимальной и $(\alpha,s,V)^\top$ - соответствующий оптимальный процесс в задаче (4.7). Составим функцию Лагранжа

$$\begin{array}{l} J=\alpha(t_p)+\xi_s s(t_p)+\xi_V(V_0-V(0))+... ...mbda_s(V+\dot s)+\lambda_V(W-\dot V)\biggr)d\tau\,, \end{array}$$ (3.8)

где $\xi_s$, $\xi_V$ - постоянные, а $\lambda_\alpha$, $\lambda_s$, $\lambda_V$ - переменные множители Лагранжа. Проводя в (4.8) интегрирование по частям и полагая

$$\begin{array}{ll} \lambda_\alpha(t_p)=1\,, & \lambda_s(t_p)=\xi_s,\\ \lambda_V(t_p)=0\,, & \lambda_V(0)=\xi_V, \end{array}$$ (3.9)

можно привести (4.8) к виду

$$\begin{array}{l} J=(\lambda s)(0)+\xi_V V_0-\frac{\displayst... ... (\dot\lambda_V+\lambda_s)V+\lambda_V W\biggr)dt\,. \end{array}$$ (3.10)

Теперь вычислим вариацию $J,$ соответствующую вариациям $\delta V_0$, $\delta W$. Меняя в полученном результате порядок интегрирования там, где это нужно, определим $\lambda_\alpha$ как решение уравнения $\dot\lambda_\alpha=0$. Тогда согласно (4.9) справедливо тождество $\lambda_\alpha\equiv 1$. Остальные множители $\lambda_s$, $\lambda_V$ считаем решениями уравнений

$$\begin{array}{l} -\dot\lambda_s=k_{01}V({\bf\Gamma}'')^\top ... ...mbox{}+2k_{01}V({\bf \Gamma}'')^\top {\bf\psi}(t)\, \end{array}$$ (3.11)

соответственно, в которых принято обозначение

$${\bf\psi}(t)=\int\limits_t^{t_p}\frac{d{\bf\gamma}}{\sqrt{\tau-t}}\;.$$ (3.12)

После этого вариация $J$ получит вид

$$\delta J=\Bigl(\xi_V-k_{01}({\bf\Gamma}')^\top (s(0)){\bf\psi... ...-k_{01}({\bf \Gamma}')^\top {\bf\psi}(t)\Bigr)\delta W(t)dt\,.$$

Эта вариация должна быть неотрицательной для любых допустимых вариаций $\delta V_0$, $\delta W(t)$. Это с учетом последнего из соотношений (4.9), будет только тогда, когда

$$\lambda_V(t)=k_{01}({\bf\Gamma}')^\top {\bf\psi}(t)\,.$$ (3.13)

Следует отметить, что так определенный множитель Лагранжа удовлетворяет третьему и четвертому из равенств (4.9).

Определим вектор-функцию

$${\bf\varphi}_1(t)=\int\limits_0^t \frac{d{\bf\gamma}}{\sqrt{t-\tau}}\,, \quad t>0\,.$$ (3.14)

Справедливо тождество

$$\dot{\bf\varphi}_1(t)={\bf\varphi}_2(t)+\frac{\dot{\bf \gamma}(0)}{\sqrt{t}}\,,\quad t>0\,,$$

при помощи которого сопряженная система (4.11) может быть записана в виде

$$\begin{array}{l} -\dot\lambda_s=-k_{01}V({\bf\Gamma}'')^\top... ...varphi}_1+2k_{01}V({\bf\Gamma}'')^\top {\bf\psi}\,. \end{array}$$

Исключая с помощью (4.13) из этих соотношений множители Лагранжа, получаем уравнение для определения оптимальной скорости перемещения шара вдоль траектории ${\bf r}={\bf\Gamma}(s)$:

$$2k_{00}\dot V+k_{01}({\bf\Gamma}')^\top \frac{d^2 {\bf\varepsilon}}{dt^2}=0\,.$$ (3.15)

Здесь принято обозначение ${\bf\varepsilon}={\bf\psi}-{\bf\varphi}_1$. Используя (4.14), (4.12) можно проверить, что

$${\bf\varepsilon}(t)=2\int\limits_0^{t_p}\dot{\bf\gamma}(\tau)d\sqrt{\vert t-\tau\vert}\,.$$ (3.16)

Итак, установлено следующее утверждение.

Теорема 3.1. Оптимальная скорость перемещения шара по траектории ${\bf r}={\bf\Gamma}(s)$ есть решение уравнений (4.15), (4.16).

В случае прямолинейного движения ${\bf\Gamma}'=-1$, $\dot{\bf\gamma}={\bf V}$ и уравнение (4.15) допускает интеграл, который можно записать в виде интегрального уравнения Фредгольма первого рода

$$\int\limits_0^{t_p}V(\tau)\,d_\tau (t_p\,g(t,\tau)-t\,g(t_p,\tau))=0\,.$$ (3.17)

Здесь принято обозначение $g(t,\tau)=k_{00}\min\{t,\tau\}+k_{01}(\sqrt{\tau}-\sqrt{\vert t-\tau\vert}).$

Для нахождения оптимальной скорости движения шара был разработан программно-имитационный комплекс. При этом уравнение (4.17) приближенно решалось методом наименьших квадратов в классе кусочно-линейных аппроксимаций с заданным числом узлов. Ниже приводятся результаты численного эксперимента, соответствующие данным из книги [12] по топливной нефти с плотностью $\rho=94,1$кгсек$^2$/м$^4$ при температуре $T^o C=-12,2$. Радиус шара $a=0,05$м, дальность и время пробега $r_p=0,333$м, $t_p=9$сек соответственно (в технической системе единиц МКГСС). Анализ результатов эксперимента показывает, что значение $A(t_p-0)$ соответствует наименьшим энергетическим в техническом смысле затратам, в то время как величина $A(t_p)=A(t_p-0)-k_1/2 V^2(t_p-0)$ - наименьшим затратам в физическом смысле на том же перемещении. Подсчитано, что $A(t_p)=0,0244$кгм. Если шар в соответствии с оптимальной программой из раздела 2 импульсивно приводится в движение и затем перемещается с постоянной скоростью, то энергетические затраты измеряются величиной $A(t_p)=0,0247$кгм, что соответствует относительной ошибке порядка $0,02$%. Очевидно, изложенные результаты согласуются с гипотезой 1.