2. Оптимизация квазистационарного обтекания сферических тел

Рассматриваются поступательные перемещения однородного шара при которых его центр скользит по кривой ${\bf\Gamma}$. Эта кривая соединяет начало системы $Oxyz$ с точкой $P=P(x_p,y_p,z_p)$. Такое движение обеспечивается управляющей силой $u(t)$, приложенной к центру шара касательно к ${\bf\Gamma}$. В начальный момент центр шара находится в точке $O$. Исследуемая задача заключается в определении управляющей силы $u(t),$ под действием которой центр шара в заданный момент $t_p$ достигает точки $P$ с наименьшими затратами энергии на преодоление сил сопротивления жидкости. При этом не исключается, что шар к начальному моменту имел скорость ${\bf V}_0 \neq 0$.

При ограничениях L1-L3 в рамках гипотезы 1 можно считать, что воздействие жидкости на шар сводится к силе лобового сопротивления (2.9), (2.10), где $S=\pi a^2$, $a$ - радиус шара. Коэффициент $C_D$ является функцией только числа Рейнольдса, т.е. $C_D=C(V)$.

Выражение для мощности силы лобового сопротивления имеет вид

$$\dot A=C(V)\,\rho\, S\, {V^3\,\over \,2}$$ (2.1)

Кривую ${\bf\Gamma}$ будем считать заданной векторным параметрическим уравнением

$${\bf r}={\bf\Gamma}(s)$$ (2.2)

где $s$ - длина дуги кривой $\Gamma$ от точки $P$ до точки ${\bf\Gamma}(s)$. Кривая ${\bf\Gamma}$ предполагается, по крайней мере, регулярной [24].

В дальнейшем без потери общности действующие на шар гравитационные силы не учитываются.

Векторные уравнения движения шара имеют вид

$$\begin{array}{l} \dot {\bf r}={\bf V}\;,\quad {\bf r}(0)=(0,... ..._t{\bf V}=F+{\bf u}\;,\quad {\bf V}(0)={\bf V}_0\;, \end{array}$$ (2.3)

где $m$ - масса шара, ${\bf u}$ - управляющая сила. Наличие во втором уравнении обобщенной производной [18] скорости обусловлено ситуацией, когда в начальный момент скорость движения шара претерпевает скачок.

Задача 2.1. Требуется найти вектор-функцию ${\bf u}^0(t)$, $0\leqslant t\leqslant t_p$, минимизирующую функционал $A(t_p)$ при динамических связях (3.1), (3.3), ограничении на фазовые перемещения (3.2) и граничном условии ${\bf r}(t_p)=(x_p,y_p,z_p)^\top ={\bf r}_p$.

Гамильтониан, составленный для этой задачи, линеен по управлению и, как следствие, задача 2.1 имеет все три особенности, перечисленные во введении.

Структура динамических связей (3.1), (3.3) и тот факт, что мощность (3.1) зависит только от абсолютной величины скорости движения шара, позволяют применить подходы, предложенные в [10,13,17]. А именно, задача 2.1 может быть решена в два этапа. Сначала следует решить задачу.

Задача 2.2. Требуется найти функцию $V(t)$, $\tau\leqslant t\leqslant t_p$, минимизирующую функционал $A(t_p)$ при динамических связях (3.1) и

$$\dot s=-V\;,\quad s(0)=s_0$$ (2.4)

и граничном условии $s(t_p)=0$. Здесь $s_0$ - длина дуги кривой ${\bf\Gamma}$, соединяющей точку $P$ c точкой $O$.

Применение классической вариационной процедуры Эйлера-Лагранжа дает следующий результат. Величина скорости оптимального движения шара постоянна и может быть найдена из граничного условия, т.е. $V^0=s_0/t_p$. Дифференцируя по времени ограничение (3.2) и принимая во внимание (3.4), получаем решение задачи 2.2:

$${\bf V}^0(t)=-V^0\,{\bf\Gamma} '(s(t))\;,$$ (2.5)

где $s(t)=s_0-t\,V^0$, ${\bf\Gamma}'=d{\bf V}/ds$.

Теперь формула (3.5) и второе из уравнений (3.3) позволяют выписать решение задачи 2.1:

$${\bf u}^0(t)=m({\bf V}^0(0)-{\bf V}_0)\,\delta(t)+ {C(V^0)\rho SV^0{\bf V}^0(t)\over 2} -mV^{0^{2}}\,{\bf\Gamma}''(s(t))\;,$$ (2.6)

где $\delta(t)$ - импульс Дирака в момент $t=0.$

Таким образом, типичный процесс оптимального управления состоит в том, что фазовое изображение шара за счет скачка скорости в начальный момент оказывается на траектории (при $t=0+$)

$${\bf r}={\bf\Gamma}(s(t))\;,\qquad {\bf V}={\bf V}^0(t)$$

в пространстве фазовых состояний $({\bf r}^\top,{\bf V}^\top)^\top$ и затем движется вдоль нее до момента $t_p$.

Следует отметить, что оптимальное движение шара сразу после его начала является равномерным. Если при этом кривая ${\bf\Gamma}$ есть прямая, то выполнены все условия для применения формул (2.9), (2.10).