1. Среда: гидродинамические ограничения

В работе под термином ``среда'' понимается жидкость или газ. Однако, исходя из интуитивных соображений, мы будем употреблять термин ``жидкость''. Ниже перечислены гидродинамические ограничения, при выполнении которых возможно аналитическое исследование необходимых условий оптимальности для задач, упомянутых во введении. Предполагается, что выбрана инерциальная система, а в ней - правая прямоугольная декартова система координат $O x_1 x_2 x_3$.

Предположим, ${\bf v}(t,x)={\bf v}(t,x_1,x_2,x_3)$ - вектор скорости частицы жидкости в точке $M(x_1,x_2,x_3)$ в момент $t$, и $v_1$, $v_2$, $v_3$ - компоненты ${\bf v}(t,x)$. Первые два ограничения сводятся к следующему.

L1. Жидкость несжимаема.

С учетом уравнения неразрывности это ограничение эквивалентно тому, что скорость объемной деформации равна нулю:

$$\mathop{\rm div}\nolimits {\bf v}=0\;.$$ (1.1)

L2. Выполняется обобщенная гипотеза Ньютона [22]

$$P=-pE+\mu\Bigl(\frac{\displaystyle \partial {\bf v}}{\displa... ... \partial {\bf v}}{\displaystyle \partial x}\Bigr)^* \Bigr)\;,$$ (1.2)

где $P$ - линейный оператор, определяемый тензором напряжений, $p$ - скалярное поле давления, $\mu$ - коэффициент динамической вязкости, $E$ - тождественное преобразование, $\frac{\displaystyle \partial {\bf v}}{\displaystyle \partial x}$ - производная Фреше, $\Bigl(\frac{\displaystyle \partial {\bf v}}{\displaystyle \partial x}\Bigr)^*$ - сопряженный оператор.

Пусть в жидкости движется ограниченных размеров тело с достаточно гладкой границей $S$. Одним из постулатов механики жидкости является условие прилипания: вблизи поверхности тела векторы скорости частиц жидкости совпадают с векторами скорости соответствующих точек поверхности тела. Из этого условия и ограничения L1 вытекает, что в случае поступательного движения на поверхности тела выполняется равенство [22]

$$\Bigl(\frac{\displaystyle \partial {\bf v}}{\displaystyle \partial x}\Bigr)^*{\bf n}=0\;,$$ (1.3)

где ${\bf n}$ - единичный вектор внешней нормали к поверхности $S$ в точке $x.$

Напряжение на площадке $dS$ поверхности тела подсчитывается по формуле ${\bf p}_n=P\,{\bf n}$, где ${\bf n}$ - единичный вектор внешней нормали к площадке $dS$. Отсюда с учетом (2.2) получится формула для главного вектора сил, действующих со стороны жидкости на поверхность движущегося тела (гидродинамических сил):

$${\bf R}=\int\limits_{~S}^{}\!\!\!\int \Bigl(-pE+\mu\,\Bigl(\... ...{\bf v}}{\displaystyle \partial x}\Bigr)^*\Bigr){\bf n}\,dS\;.$$ (1.4)

Формула для главного момента гидродинамических сил получается аналогично. Cогласно (2.3), если тело движется поступательно, формула (2.4) сводится к равенству

$${\bf R}=\int\limits_{~S}^{}\!\!\!\int \Bigl(-pE+\mu\,\frac{\... ...partial {\bf v}}{\displaystyle \partial x}\Bigr){\bf n}\,dS\;.$$ (1.5)

Далее понадобится так называемая подвижная система координат
$O_{c}y_{1}y_{2}y_{3}$ с началом в центре инерции тела и осями, жестко связанными с телом.

Для нахождения главного вектора и главного момента необходимо вычислить на поверхности тела давление и производную Фреше вектора скорости движения жидкости. Последнее связано с решением некоторой граничной задачи для векторного уравнения Навье-Стокса. Ниже это уравнение выписано в подвижной системе координат $O_c y_1 y_2 y_3$ с осями, параллельными соответствующим осям системы $O x_1 x_2 x_3$ (считается, что тело движется поступательно). Пусть ${\bf V}$ - вектор скорости движения тела и $x_c(t)$ - радиус-вектор его центра инерции. Для векторов абсолютных скоростей движения жидкости и давления в подвижной системе координат примем обозначения

$$\hat {\bf v}(t,y)={\bf v}(t,x_c(t)+y)\;,\quad \hat p(t,y)=p(t,x_c(t)+y)\;.$$

Тогда уравнение Навье-Стокса имеет вид

$$\frac{\displaystyle \partial\hat {\bf v}}{\displaystyle \par... ...e \partial\hat {\bf v}}{\displaystyle \partial y} + {\bf F}\;,$$ (1.6)

где ${\bf F}$ - напряженность поля силы тяжести, $\rho$ - плотность жидкости, $\nu=\mu /\rho$ - коэффициент кинематической вязкости.

Теперь упомянутая выше граничная задача сводится к нахождению решения системы уравнений в частных производных, состоящей из уравнения (2.6) и уравнения неразрывности $\mathop{\rm div}\nolimits \hat {\bf v}=0$. Это решение должно удовлетворять условию прилипания $\hat {\bf v}(t,y)\Bigl\vert _{\displaystyle _{\! S}} \Bigr.={\bf V}$, а также естественному условию вида $\lim\limits_{y\to\infty}^{}\hat {\bf v}(t,y)=0$.

Обтекание называется установившимся, если поле его абсолютных скоростей в подвижной системе не изменяется с течением времени. Ясно, что в случае поступательного движения тела стационарное обтекание возможно лишь при условии, что ${\bf V}={\bf V}_0=\mathop{\rm const}\nolimits$.

Ниже приведены формулы для силы лобового сопротивления, действующей на однородный шар, в стационарных случаях, рассмотренных Стоксом и Озееном.

Метод Стокса пренебрегает в уравнении (2.6) напряженностью гравитационного поля и слагаемым $\frac{\displaystyle \partial\hat {\bf v}}{\displaystyle \partial y}(\hat {\bf v}-{\bf V})$. В результате для величины силы сопротивления движению шара получается выражение $D=6\pi\mu a V_0$, где $V_0$ есть величина вектора скорости ${\bf V}_0$, $a$ - радиус шара. Для последующих обобщений этому выражению удобно придать форму

$$D={C_D^{St}\rho S V_0^2 \over 2}\;,\qquad C_D^{St}={24 \over {\rm Re}}\;.$$ (1.7)

Здесь $S=\pi a^2$, $C_D^{St}$ - коэффициент лобового сопротивления, ${\rm Re}=2 a V_0/\nu$ - число Рейнольдса.

Подход Озеена по-прежнему пренебрегает действием гравитационных сил и квадратичными членами инерции, но полностью учитывает скорость движения шара в уравнении Навье-Стокса. Получается следующий приближенный результат:

$$D={C_D^{Os}\rho S V_0^2 \over 2}\;, \quad C_D^{Os}=24(16-{\rm Re}^2)(16{\rm Re}-3{\rm Re}^2)^{-1}\;.$$ (1.8)

Пусть тело обладает осью симметрии. Тогда в случае движения, в процессе которого его ось симметрии не покидает заданной плоскости, например, вертикальной плоскости $Ox_1 x_2$, согласно теоремам статики абсолютно твердого тела система сил воздействия жидкости на тело может быть приведена к равнодействующей, называемой гидродинамической силой. Как принято (см., например, [23]), точка пересечения оси симметрии с линией действия гидродинамической силы называется центром давления. Эту силу обычно разлагают на две составляющие, первая из которых имеет направление, коллинеарное вектору скорости движения центра инерции тела ${\bf V},$ а вторая - направление, перпендикулярное ${\bf V}$. Первую составляющую ${\bf D}$ называют силой лобового сопротивления, а вторую ${\bf D}^l$ - подъемной силой.

Пусть ${\bf i},{\bf j}$ - единичные орты системы координат $Ox_1 x_2$. Далее понадобится преобразование, ставящее в соответствие вектору ${\bf a}=a_1 {\bf i}+a_2 {\bf j}$ вектор ${\bf a}^\bot=-a_2 {\bf i}+a_1 {\bf j}$. Пусть $V$ - величина вектора скорости центра масс тела ${\bf V}$, $D$ - величина силы лобового сопротивления, $D^l$ - величина подъемной силы. Справедливо утверждение, которое удобно для последующих ссылок сформулировать в виде леммы.

Лемма 1.1. Сила лобового сопротивления и подъемная сила рассчитываются по формулам

$${\bf D}=\mathop{\rm sgn}\nolimits ({\bf V},{\bf D})\,D\,\fra... ... D^l\,\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle V}\,{\bf V}^\bot\,,$$ (1.9)

$$s=\mathop{\rm sgn}\nolimits (({\bf V},{\bf e})({\bf V},{\bf e}^\bot)),$$

где ${\bf e}$ - единичный вектор, направление которого совпадает с осью симметрии тела.

Представление (2.7) (или (2.8)) для величины действующей на шар силы лобового сопротивления выбрано так, чтобы коэффициент $C_D$ был безразмерной величиной. Это представление можно сохранить для величины стационарной силы лобового сопротивления и в рассматриваемом случае, т.е.

$$D={C_D\rho S V^2 \over 2}\;.$$ (1.10)

Аналогично, величина стационарной подъемной силы представима в виде

$$D^l={C_D^l \rho S V^2 \over 2}\;.$$ (1.11)

Здесь $S$ - площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную вектору скорости движения его центра инерции.

Согласно теории динамического подобия коэффициенты $C_D$ и $C_D^l$ зависят только от формы тела, чисел Рейнольдса и Фруда.

Далее рассматриваются системы из осесимметричных тел (называемых звеньями). Введем еще одно ограничение.

L3. Движение систем происходит в объеме жидкости либо большой протяженности, либо заключенном внутри твердых границ.

В рамках перечисленных ограничений коэффициент $C_D$ является [11] функцией только формы тела, числа Рейнольдса и, возможно, угла атаки между вектором скорости перемещения центра инерции тела и его осью симметрии, т.е. $C_D=C_D($форма, ${\rm Re},\alpha)$. Для определения угла атаки можно использовать формулу

$$\alpha=-s\arccos \vert({\bf e},{{\bf V}\over V})\vert.$$ (1.12)

Обращаясь к случаю нестационарного обтекания, следует отметить, что Буссинеск обобщил подход Стокса на случай неравномерного поступательного движения шара и получил формулу для силы лобового сопротивления [19], которая в терминах операции обобщенного дифференцирования $D_t$ и обобщенной свертки [18] (обозначаемой ниже символом ``$\ast$'') имеет вид

$${\bf D}=-k_1 D_t{\bf V}-k_{00}{\bf V}-k_{01} \Bigl(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{t}}*D_t{\bf V}\Bigr)\,.$$ (1.13)

Здесь приняты обозначения

$$k_1=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}\pi a^3 \rho\;,\quad k_{00}=6\pi \mu a\;,\quad k_{01}=6\sqrt{\pi\nu} \rho a^2 .$$

Первый член формулы (2.13) - инерционная составляющая сопротивления, соответствующая так называемой присоединенной массе, а второй, $-k_{00}{\bf V}$, представляет стационарную формулу Стокса.

Если сила лобового сопротивления и подъемная сила могут быть достаточно точно описаны при помощи формул (2.9)-(2.11), то обтекание называют квазистационарным [11].

Далее работа гидродинамических сил рассматривается как оценка качества процесса управления. В разделе 3 показано, что решение задачи об оптимальном перемещении шара в предположении квазистационарности обтекания приводит к относительной ошибке в оптимальных энергетических затратах всего лишь порядка 0,02 % (предполагается, что числа Рейнольдса ${\rm Re<1}$). Нестационарность обтекания может быть частично учтена путем введения присоединенной массы [11,12].

Гипотеза 1. Оптимальное перемещение системы порождает квазистационарное обтекание ее звеньев.

Лемма 1.2. Пусть выполнены ограничения L1-L3, справедлива гипотеза 1 и коэффициент лобового сопротивления каждого звена системы является однородной функцией степени $m_c$ чисел Рейнольдса, соответствующих оптимальному движению системы. Тогда для каждого звена величина силы лобового сопротивления является однородной функцией степени $m=m_c+2$ от величины скорости его центра инерции. То же самое верно и для подъемных сил.

Замечание. Для тел сферической или цилиндрической формы коэффициент лобового сопротивления является практически однородной функцией достаточно малых чисел Рейнольдса, когда он приблизительно обратно пропорционален им, а также достаточно больших чисел Рейнольдса, когда он незначительно зависит от них (в частности, такие числа образуют довольно протяженную левую полуокрестность числа ${\rm Re}=5\cdot 10^5$). В первом случае $m=1$, а во втором $m=2$.

Гипотеза 2. Оптимальные перемещения систем обладают следующим свойством: числа Рейнольдса, соответствующие каждому звену, таковы, что коэффициенты лобового сопротивления и подъемной силы звена являются однородными функциями некоторой степени этих чисел.