2.1. Минимаксные решения уравнений Гамильтона-Якоби

2.2. Основные предполжения и результаты

2. Постановка задачи и формулировка основных результатов

Рассмотрим две задачи Коши для уравнений в частных производных первого порядка типа Гамильтона-Якоби: невозмущенную ${\bf P}$ и сингулярно возмущенную ${\bf s-P^\varepsilon }$.

Невозмущенная задача ${\bf P}$ в фазовом пространстве переменных $(t,x)$ имеет вид:

$$\partial u(t,x)/\partial t + H(t,x,D_x u(t,x)) = 0,$$ (2.1)

$$t\in (0,\th ),\quad \ x\in R^n, \quad \ D_x u = (\partial u/\partial x_1, ...\partial u/\partial x_n),$$

$$u(\th ,x) = \sigma(x), \quad x\in R^n.$$ (2.2)

Сингулярно возмущенная задача ${\bf s-P^\varepsilon }$ в расширенном фазовом пространстве переменных $(t,x,y)$ имеет вид:

$$\partial u^\varepsilon (t,x,y)/\partial t + H^\varepsilon (t,x,y,D_x u^\varepsilon (t,x,y), D_y u^\varepsilon (t,x,y)) = 0,$$ (2.3)

$$t\in (0,\th ), \ x\in R^n, \ y\in R^k,$$

$$D_x u^\varepsilon = (\partial u^\varepsilon /\partial x_1, .... ...lon /\partial y_1, ..., \partial u^\varepsilon /\partial y_k),$$

$$u^\varepsilon (\th ,x,y) = \sigma^\varepsilon (x), \quad x\in R^n, y\in R^k,$$ (2.4)

где $\varepsilon > 0$. Предполагается, что дополнительные импульсные переменные $\partial u^\varepsilon /\partial y_j, \ j=1, ... , k$ имеют коэффициенты $1/\varepsilon$ в выражении для гамильтониана $H^\varepsilon$. Дополнительные фазовые переменные $y_1,...,y_k$ называются также быстрыми, а переменные основного фазового пространства $x_1, ..., x_n$ - медленными. Смысл этих терминов будет раскрыт ниже.

2.1. Минимаксные решения уравнений Гамильтона-Якоби

Известно, что уравнения Гамильтона-Якоби, как правило, не имеют глобальных классических решений [27]. Напомним определения и основные конструкции теории минимаксных обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби [36,37,38].

Отметим прежде всего, что определение минимаксного решения УЧП первого порядка может быть сформулировано с помощью различных понятий негладкого анализа [35]: полупроизводных Дини, сопряженных производных, конусов Булигана, суб- и супердифференциалов. Определения и доказательство их эквивалентности можно найти, например, в [37,38,42].

В настоящей работе используется определение минимаксного решения, которое базируется на обобщении классического метода характеристик Коши. При таком определении классическая характеристическая система обыкновенных дифференциальных уравнений заменяется параметризованным семейством характеристических дифференциальных включений. Надграфик и подграфик минимаксного решения слабо инвариантны относительно этих дифференциальных включений. Геометрически это означает, что через любую точку надграфика (и подграфика) проходит хотя бы одна траектория дифференциального включения, которая остается в нем сколь угодно долго. Подробнее о понятии слабой инвариантности см. [1] и ссылки в этой работе.

Заметим, что характеристическими включениями в задачах Коши ${\bf P}$
$(\ref{HJE})$-$(\ref{bc})$ и ${\bf s-P^\varepsilon }$ $(\ref{s-HJE})$-$(\ref{s-bc})$ для уравнения Айзекса являются, например, известные в теории дифференциальных игр включения, которые определяют свойства $u$-стабильности и $v$-стабильности функции цены [23,24].

Итак, напомним конструкции, с помощью которых вводится понятие минимаксного решения в сингулярно возмущенной задаче ${\bf s-P^\varepsilon }$.

Пусть $S^\varepsilon$ - некоторое множество, а $M^\varepsilon$ - многозначное отображение

$$[0,\th ]\times R^n\times R^k\times S^\varepsilon \ \ni (t,x,y... ...mapsto M^\varepsilon (t,x,y,s') \subset R^n\times R^k\times R.$$ (2.5)

Пара $(S^\varepsilon ,M^\varepsilon )$ называется характеристическим комплексом (или, короче, комплексом) в сингулярно возмущенной задаче ${\bf s-P^\varepsilon }$ $(\ref{s-HJE})$-$(\ref{s-bc})$, если выполняются следующие условия:

$1 )$ для любых $(t,x,y) \in [0,\th ]\times R^n\times R^k$ и $s' \in S^\varepsilon$ множество
$M^\varepsilon (t,x,y,s') = \{ (f,h,g) \} \subset R^n\times R^k\times R$ - непусто, выпукло и замкнуто. Компоненты $(f,h,g) \in M^\varepsilon (t,x,y,s')$ удовлетворяют неравенству

$$\Vert f\Vert + \Vert h\Vert + \vert g\vert \le \mu^\varepsilon (1 + \Vert x\Vert + \Vert y\Vert)$$

при любых $s' \in S^\varepsilon$, где $\mu^\varepsilon > 0$ - константы. Символ $\Vert\cdot\Vert$ означает евклидову норму.

Многозначные отображения $(t,x,y)$ $\mapsto M^\varepsilon (t,x,y,s')$ - полунепрерывны сверху по включению для всех $s' \in S^\varepsilon$;

$2^\circ a)$ для любых $(t,x,y) \in [0,\th ]\times R^n\times R^k$ и $(p,q) \in R^n\times R^k$:

$$\max\limits_{s' \in S^\varepsilon } \min \{\langle f,p \rang... ...e h,q \rangle - g: \ (f,h,g) \in M^\varepsilon (t,x,y,s') \} =$$

$$= H^\varepsilon (t,x,y,p,q),$$ (2.6)

$2^\circ b)$ для любых $(t,x,y) \in [0,\th ]\times R^n\times R^k$ и $(p,q) \in R^n\times R^k$:

$$\min\limits_{s' \in S^\varepsilon } \max \{\langle f,p \rang... ...e h,q \rangle - g: \ (f,h,g) \in M^\varepsilon (t,x,y,s') \} =$$

$$= H^\varepsilon (t,x,y,p,q).$$ (2.7)

Множество всех характеристических комплексов $(S^\varepsilon ,M^\varepsilon )$ обозначается символом ${\cal C}(H^\varepsilon )$.

Пары $(S^*,M^\varepsilon )$ и $(S_*,M^\varepsilon )$ называются верхним и нижним характеристическими комплексами если выполняются условия $1 \$ и $2^\circ a$ или соответственно условия $1 \$ и $2^\circ b$. Множества всех верхних и нижних характеристических комплексов $(S^*,M^\varepsilon )$ и $(S_*,M^\varepsilon )$ обозначаются символами ${\cal C}^\uparrow(H^\varepsilon )$ и ${\cal C}^\downarrow(H^\varepsilon )$, соответственно.

Для любых $(S^\varepsilon ,M^\varepsilon )\in {\cal C}(H^\varepsilon )$ и $s' \in S^\varepsilon$ символом ${\rm Sol\ }(t_0,x_0,y_0,z_0,s')$ обозначается множество всех абсолютно непрерывных функций
$(x(\cdot),y(\cdot),z(\cdot)): [0,\th ]\mapsto R^n\times R^k\times R$, которые удовлетворяют граничному условию $(x(t_0),y(t_0),z(t_0))=(x_0,y_0,z_0)$ и характеристическому дифференциальному включению

$$(\dot x(t), \ \varepsilon \dot y(t), \ \dot z(t)) \in M^\varepsilon (t,x(t),y(t),s').$$ (2.8)

Решения характеристических дифференциальных влючений называются обобщенными характеристиками Коши.

О п р е д е л е н и е 1. Полунепрерывная снизу (соответственно сверху) функция $[0,\th ]\times R^n\times R^k\ni(t,x,y)\mapsto u^\varepsilon (t,x,y)\in R$, называется верхним (соответственно нижним) минимаксным решением УЧП (2.3), если выполняется следующее условие:

$\bullet$ для любых $(t_0,x_0,y_0,z_0)\in \rm epi\ u^\varepsilon$ (соответственно $(t_0,x_0,y_0,z_0)\in$
$\rm hypo\ u^\varepsilon$), $s' \in S^\varepsilon$ и $\tau\in[t_0,\th ]$ существует траектория $(x(\cdot),y(\cdot),z(\cdot))\in {\rm Sol\ }(t_0,x_0,y_0,z_0,s')$, такая, что $(\tau,x(\tau),y(\tau),z(\tau))\in \rm epi\ u^\varepsilon$ (соответственно $(\tau,x(\tau),y(\tau),z(\tau))\in \rm hypo\ u^\varepsilon$).

Здесь $(S^\varepsilon ,M^\varepsilon )\in{\cal C}^\uparrow(H^\varepsilon )$ (соответственно $(S^\varepsilon ,M^\varepsilon )\in{\cal C}^\downarrow(H^\varepsilon )$). Символы $\rm epi\ u^\varepsilon$ и $\rm hypo\ u^\varepsilon$ обозначают надграфик и подграфик $u^\varepsilon$ соответственно, т.е.

$$\rm epi\ u^\varepsilon = \{(t,x,y,z): z\ge u^\varepsilon (t,x,y),\ (t,x,y)\in [0,\th ]\times R^n\times R^k\},\quad$$

$$\rm hypo\ u^\varepsilon = \{(t,x,y,z): z\le u^\varepsilon (t,x,y),\ (t,x,y)\in [0,\th ]\times R^n\times R^k\}$$

З а м е ч а н и е 1. Следует подчеркнуть, что верхнее и нижнее минимаксные решения не зависят от того , какой именно допустимый характеристический комплекс $(S^\varepsilon ,M^\varepsilon )\in{\cal C}^\uparrow(H^\varepsilon )$ или $(S^\varepsilon ,M^\varepsilon )\in{\cal C}^\downarrow(H^\varepsilon )$) участвует в конструкциях определения 1.

О п р е д е л е н и е 2. Непрерывная функция $[0,\th ]\times R^n\times R^k\ni(t,x,y)\mapsto u^\varepsilon (t,x,y)\in R$ называется минимаксным решением УЧП (2.3) тогда и только тогда, когда оно является одновременно верхним и нижним минимаксным решением.

З а м е ч а н и е 2. Отметим, что характеристические дифференциальные включения (2.8), согласованные в силу $2^\circ a$ и $2^\circ b$ с гамильтонианом $H^\varepsilon$ сингулярно возмущенной задачи $\bf s-P^\varepsilon$, содержат малый параметр $\varepsilon$ в качестве коэффициента перед производной переменной $y(t)$, так что скорость этой переменной имеет порядок $1/\varepsilon$. При $\varepsilon \to 0$ эта скорость сколь угодно велика, поэтому такую сингулярно возмущенную компоненту обобщенных характеристик $(x(t),y(t),z(t))$ будем называть "быстрой переменной", а исходную фазовую переменную $x(t)$ и $z(t)$ - "медленными переменными".

2.2. Основные предполжения и результаты

Задачи Коши ${\bf P}$ и ${\bf s-P^\varepsilon }$ рассматриваются при следующих стандартных в теории обобщенных решений УЧП первого порядка предположениях A.1 - A.11.

A.1 Функции $\sigma^\varepsilon (\cdot): R^n \to R$ - непрерывны и ограничены, и $\sigma^\varepsilon (x) \to \sigma(x)$ когда $\varepsilon \to 0$.

A.2 Гамильтонианы $H^\varepsilon (t,x,y,p,q)$ непрерывны в области $[0,\th ]\times R^n\times R^k\times R^n\times R^k$ и удовлетворяют оценкам

$$\sup\limits_{(t,x,y)\in [0,\th ]\times R^n\times R^k} \frac{... ...y,0,0)\vert}{\vert(1+\Vert x\Vert+\Vert y\Vert)\vert} < \infty$$ (2.9)

A.3 Для гамильтонианов $H^\varepsilon$ имеют место следующие условия Липшица относительно импульсных переменных

$$\vert H^\varepsilon (t,x,y,p',q') - H^\varepsilon (t,x,y,p''... ...ert p' - p''\Vert + \frac{1}{\varepsilon }\Vert q' - q''\Vert)$$ (2.10)

при любых $(t,x,y)\in [0,\th ]\times R^n\times R^n$, $(p',q'),(p'',q'')\in R^n\times R^k$ и $\lambda^\varepsilon (x,y)= \mu^\varepsilon (1+\Vert x\Vert+\Vert y\Vert)$, где $\mu^\varepsilon > 0$ - константы.

A.4 Для гамильтонианов $H^\varepsilon$ выполняются следующие локальные условия Липшица по фазовым переменным:

$$\sup\limits_{(t',t'',x',x'',y',y'')} \frac{\vert H^\varepsil... ...repsilon }(1+\Vert q\Vert))} \ < \ L^\varepsilon \ < \ \infty,$$ (2.11)

где $(t',x',y')$, $(t'',x'',y'')$ $\in B \subset [0,\th ]\times R^n\times R^k$, множество $B$ - произвольный компакт, $L^\varepsilon = L^\varepsilon (B) > 0$ - константы.

Доказано [37,38], что условия А.1- А.4 гарантируют существование, единственность и эквивалентность минимаксных и вязкостных решений
$u^\varepsilon (t,x,y)$ в задаче ${\bf s-P^\varepsilon }$ при любом $\varepsilon > 0$. Аналогичные условия (при $q=0$) используются в невозмущенной задаче ${\bf P}$.

Чтобы обеспечить сходимость минимаксных решений $u^\varepsilon (t,x,y)$ при $\varepsilon \to 0$, добавим следующие требования к исходным данным задачи.

A.5 Для любого $\varepsilon > 0$ существуют верхний и нижний характеристические комплексы $(S^*,M^\varepsilon _{up})$ и $(S_*,M^\varepsilon _{lo})$, у которых многозначные отображения $(t,x,y)\mapsto M^\varepsilon _{up}(t,x,y,s^*)$ и $(t,x,y)\mapsto M^\varepsilon _{lo}(t,x,y,s_*)$ липшиц-непрерывны в метрике Хаусдорфа. Множества параметров $S^*$ и $S_*$ не зависят от $\varepsilon$, а множества $M^\varepsilon _{up}$, $M^\varepsilon _{lo}$ непрерывно зависят от $\varepsilon \in [0, 1]$.

Введем в рассмотрение следующие конструкции. Пусть

$$Y^\varepsilon _{up} = Y^\varepsilon _{up}(t,x,s^*) \subset \... ...y}M^\varepsilon _{up}(t,x,y^0,s^*) \ni 0 \}, \quad s^*\in S^*,$$ (2.12)

$$Y^\varepsilon _{lo}=Y^\varepsilon _{lo}(t,x,s_*) \subset \{y... ...y}M^\varepsilon _{lo}(t,x,y_0,s_*) \ni 0 \}, \quad s_*\in S_*,$$ (2.13)

где символом ${\rm pr}_{y}M$ обозначается проекция множества $M\in R^n\times R^k\times R$ на подпространство $R^k$ быстрых переменных y.

Предположим, что выполнены также следующие условия

A.6 Для любого $(t,x)\in [0,\th ]\times R^n$, $s^*\in S^*$, $s_*\in S_*$ множества $Y^\varepsilon _{up}$, $Y^\varepsilon _{lo}$ непусты, замкнуты и ограничены, т.е.

$$\forall y\in Y^\varepsilon _{up}(t,x,s^*) \quad \Vert y\Vert\leq \chi^\varepsilon (1+\Vert x\Vert),$$ (2.14)

$$\forall y\in Y^\varepsilon _{lo}(t,x,s_*) \quad \Vert y\Vert\leq \chi^\varepsilon (1+\Vert x\Vert),$$ (2.15)

где $\chi^\varepsilon$ - константы, $\chi^\varepsilon \in (0,\mu^\varepsilon ]$. Множества $Y^\varepsilon _{up}$, $Y^\varepsilon _{lo}$ непрерывно зависят от параметра $\varepsilon \in [0, 1]$.

A.7 Для любого $(t',x'),(t'',x'')\in [0,\th ]\times R^n$, $s^*\in S^*$, $s_*\in S_*$ имеют место следующие условия Липшица

$${\rm dist\ }(Y^\varepsilon _{up}(t',x',s^*),Y^\varepsilon _{... ...,s^*))\le K^\varepsilon (\mid t'-t''\mid + \Vert x'-x''\Vert),$$ (2.16)

$${\rm dist\ }(Y^\varepsilon _{lo}t',x',s_*),Y^\varepsilon _{l... ...,s_*))\le K^\varepsilon (\mid t'-t''\mid + \Vert x'-x''\Vert),$$ (2.17)

где $K^\varepsilon$ - константы, $K^\varepsilon \in (0,L^\varepsilon ]$. Символ ${\rm dist\ }(Y^1,Y^2)$ обозначает хаусдорфово расстояние между множествами $Y^1$ и $Y^2$ .

A.8 Существуют такие множества параметров $\{s_+\}=S_+\in S^*$ и $\{s_-\}=S_-\in S_*$, что для любого компакта $D\subset [0,\theta]\times R^n$ и компактов $D^0\subset R^k$,      $D_0\subset R^k$, стесненных требованиями

$$D^0\supset D^\varepsilon _{up} = \bigcup\limits_{\begin{arra... ...rray}} Y^\varepsilon _{up}(t_0,x_0,s_+) + B^\varepsilon _{k} ,$$

$$D_0\supset D^\varepsilon _{lo} = \bigcup\limits_{\begin{arra... ...-) + B^\varepsilon _{k} \ \quad \forall \varepsilon \in [0,1],$$

можно указать величины $\delta(\varepsilon ) > 0$, удовлетворяющие условиям:

$\bullet$ $\delta(\varepsilon )\downarrow 0$, когда $\varepsilon \downarrow 0$ ;

$\bullet$ при любых $(t_0,x_0,y_0)\in D^1\times (D_0\cup D^0) \quad \forall s_\pm\in S_\pm$ и при всех таких $(x^\varepsilon _\pm(\cdot),y^\varepsilon _\pm(\cdot),z^\varepsilon _\pm(\cdot))\in {\rm Sol\ }(t_0,x_0,y_0,z_0,s_\pm)$, для которых

$$\begin{array}{c} z^\varepsilon _+(t)\ge u^\varepsilon (t,x^\... ... _-(t),y^\varepsilon _-(t)) \quad \forall t\ge t_0, \end{array}$$ (2.18)

справедливы следующие, играющие ключевую роль, соотношения

$${\rm dist\ }(y^\varepsilon _\pm(t),Y^\varepsilon _\pm(t,x^\v... ...e {\rm diam\ }D_0\cup D^0 = d_0 \quad \mbox{для} \ \ t\ge t_0,$$ (2.19)

$$y^\varepsilon _\pm(t)\in Y^\varepsilon _\pm(t,x^\varepsilon ... ...k} \quad \mbox{для}\ \ t\in [t_0+\delta(\varepsilon ),\theta],$$ (2.20)

где

$$Y^\varepsilon _+=Y^\varepsilon _{up}, \quad Y^\varepsilon _-... ...R^k: \Vert y\Vert\le \varepsilon \} \quad D^1 = D + B^1_{n+1},$$

$$B^1_{n+1} = \{ (t,x)\in R\times R^n: \Vert(t,x)\Vert\le 1\}.$$

A.9 Все константы в А.1 - A.8 и величины $H^\varepsilon (t,x,y,p,0)$, зависящие от малого параметра $\varepsilon \in [0, 1]$, зависят от него непрерывно.

Введем в рассмотрение "верхний" $H^\varepsilon _{up}$ и "нижний" $H^\varepsilon _{lo}$ гамильтонианы

$$H^\varepsilon _{up}(t,x,p)=$$

$$\quad =\max_{s_+\in S_+} \min\{\langle f,p\rangle - r : (f,r... ...} M^\varepsilon _{up}(t,x,Y^\varepsilon _{up}(t,x,s_+),s_+)\},$$ (2.21)

$$H^\varepsilon _{lo}(t,x,p)=$$

$$\quad = \max_{s_-\in S_-} \min\{\langle f,p\rangle - r : (f,... ...} M^\varepsilon _{lo}(t,x,Y^\varepsilon _{lo}(t,x,s_-),s_-)\},$$ (2.22)

где символом ${\rm pr}_{x,z} M$ обозначена проекция множества $M$ из пространства переменных $(x,y,z)\in R^n\times R^k\times R$ на подпространство $R^n\times R$ переменных $(x,z)$. Символом $\bar {\mathrm{co}}\, Q$ обозначается выпуклая замкнутая оболочка множества $Q$.

A.10 Пусть для любых $(t,x,p)\in [0,\th ]\times R^n\times R^n$, $\varepsilon \in (0,1]$, имеют место следующие неравенства

$$\vert H^\varepsilon _{up}(t,x,p) - H^\varepsilon _{lo}(t,x,p)\vert \le \alpha(\varepsilon ),$$ (2.23)

где $\alpha(\varepsilon ) \downarrow 0$, когда $\varepsilon \downarrow 0$.

Обозначим символом $H^0(t,x,p)$ следующий предел

$$H^0(t,x,p) = \lim_{\varepsilon \downarrow 0} H^\varepsilon _... ...) = \lim_{\varepsilon \downarrow 0}H^\varepsilon _{lo}(t,x,p),$$ (2.24)

который будет играть роль гамильтониана в предельной невозмущенной задаче ${\bf P}^0$ (асимптотике):

$${\partial u(t,x) \over \partial t} + H^0(t,x,D_{x}u)=0,$$ (2.25)

$$(t,x)\in (0,\th )\times R^n,$$

$$u(\th ,x)=\sigma(x),\qquad x\in R^n.$$ (2.26)

A.11 Предположим, что для любых $(t,x)\in [0,\th ]\times R^n$, $s_+\in S_+$, $s_-\in S_-$ справедливо

$$Y^0_{up}(t,x,s_+) \cap Y^0_{lo}(t,x,s_-) \ne \emptyset.$$ (2.27)

Основной результат данной работы - достаточные условия сходимости $u^\varepsilon (t,x,y)$ к $u(t,x)$ при $\varepsilon \to 0$ - может быть представлен в виде следующего утверждения.

Теорема 1. Пусть в сингулярно возмущенной задаче Коши ${\bf s-P^\varepsilon }$ $(\ref{s-HJE})-(\ref{s-bc}), \ \varepsilon \in (0,1]$ выполняются условия ${\bf A.1}$-${\bf A.11}$. Тогда минимаксные решения $u^\varepsilon (t,x,y)$ этой задачи сходятся к минимаксному решению $u(t,x)$ невозмущенной задачи Коши ${\bf P}^0$ (2.25) - (2.26) при ${\it\varepsilon \to 0}$. Эта сходимость равномерна на любых компактах $D\in [0,\th ]\times R^n$, $D^0\cup D_0 \in R^k$.