1. Введение

Многие прикладные и теоретические проблемы приводят к необходимости рассматривать неклассические решения уравнений в частных производных (УЧП). Активные исследования обобщенных решений таких УЧП велись начиная с 50-70-х годов [2,15,18,29,30,32,44,27]. Особый вклад в изучение обобщенных решений УЧП первого порядка внесли пионерские работы С.Н.Кружкова ([26] и др.), активно привлекавшего к исследованиям уравнений Гамильтона-Якоби с выпуклым гамильтонианом (уравнений Беллмана) новый аппарат выпуклого анализа. Тогда же были заложены основы проксимальной концепции обобщенного решения УЧП первого порядка [10].

Начиная с конца 70-х - начала 80-х годов параллельно формируются два новых направления в теории обобщенных решений УЧП первого порядка. Это - теории вязкостных и минимаксных решений, базирующиеся на понятиях и методах развитого к этому времени неклассического математического анализа: субдифференциального исчисления, выпуклого и негладкого анализа, теории дифференциальных включений и теории инвариантности (выживаемости).

Концепция вязкостного решения, предложенная М.Дж.Крэндаллом и П.Л.Лионсом [12,13], базируется на описании обобщенного решения с помощью его локальных аппроксимаций: сверху - с помощью выпуклых гладких тестовых функций и снизу - с помощью вогнутых гладких тестовых функций.

Концепция минимаксного обобщенного решения была введена
А.И.Субботиным [36]. В основе этой концепции лежит свойство слабой инвариантности графика решения относительно траекторий характеристических включений (обобщенных характеристик Коши). Термин "минимаксное решение" отражает объективное присутствие минимаксных операций в структуре и методах построения тех обобщенных решений УЧП, которые имеют содержательный смысл для исходных прикладных и теоретических задач.

Важным результатом в теории обобщенных решений УЧП стало доказательство нетривиального факта эквивалентности понятий минимаксного и вязкостного решений (А.И.Субботин, В.Н.Ушаков [38]).

Термин "вязкостные решения" связан с одним из первых способов доказательства существования этих решений. Это доказательство базировалось на анализе функций, полученных с помощью известного метода исчезающей вязкости, т.е. предельного перехода в последовательности гладких решений УЧП второго порядка параболического типа с малыми коэффициентами при операторе Лапласа (с малой вязкостью) при стремлении этих коэффициентов к нулю. Следуя терминологии теории возмущений, этот метод можно трактовать как регулярную аппроксимацию вязкостного (и/или) минимаксного решения УЧП первого порядка, т.к. малый параметр входит в числители коэффициентов перед старшими производными в регулярно возмущенном УЧП.

В настоящей работе изучается возможность построения обобщенного решения УЧП первого порядка с помощью сингулярной аппроксимации. Сингулярно возмущенные УЧП рассматриваютя в расширенном фазовом пространстве, а малый параметр входит в знаменатели коэффициентов тех слагаемых возмущенного УЧП первого порядка, которые содержат дополнительные импульсные переменные. Для таких УЧП получены достаточные условия сходимости их минимаксных решений к минимаксному решению невозмущенного УЧП (асимптотики). Алгоритмизирована процедура нахождения асимптотики.

Сингулярно возмущенные УЧП первого порядка возникают в многочисленных задачах механики, физики, техники, экономики, биологии и т.д., где исследуются динамические системы с медленными (регулярными) и быстрыми (сингулярно возмущенными) компонентами (подсистемами). В описании динамики быстрых переменных малый параметр является коэффициентом при производной в соответствующем обыкновенном дифференциальном уравнении или дифференциальном включении. Таким образом, скорость быстрой переменной обратно пропорциональна величине малого параметра.

Существует обширная литература по сингулярно возмущенным задачам в теории динамических систем, теории оптимального управления и по соответствующим им сингулярно возмущенным УЧП Гамильтона-Якоби-Беллмана (см., например, [31,21,3,25,9,22,6,20,28] и ссылки в этих работах).

Классический метод построения асимптотик для этих УЧП в фазовом пространстве медленных переменных предполагает наличие следующих основных этапов [43,45,33]:

$\bullet$ приравнивание малого параметра к нулю в обыкновенном дифференциальном уравнении (ОДУ), описывающем динамику быстрых движений;

$\bullet$ разрешение результирующего алгебраического уравнения относительно быстрой переменной;

$\bullet$ подстановка полученного выражения для быстрой переменной в уравнения для динамики медленной переменной, в функционал качества и в соответствуюшее (линейное или выпуклое по импульсной переменной) УЧП Гамильтона-Якоби-Беллмана;

$\bullet$ использование предположения о линейности динамики быстрых движений и отрицательности вещественной части характеристических чисел для матрицы коэффициентов фазовых переменных в соответствующем ОДУ.

В настоящей работе обобщается этот метод и дополняются предыдущие исследования автора [39,40] по асимптотикам минимаксных решений для нелинейных сингулярно возмущенных УЧП Гамильтона-Якоби-Айзекса в теории дифференциальных игр с быстрыми и медленными движениями. Как известно [19,7,15], в уравнении Айзекса гамильтониан нелинеен и определяется с помощью операций минимакса или максимина. Более того, минимаксное решение уравнения Айзекса совпадает с функцией цены соответствующей дифференциальной игры [36].

Предлагаемое обобщение классического метода построения асимптотик нелинейного УЧП Гамильтона-Якоби общего вида состоит из следующих основных шагов:

$\bullet$ приравнивание к нулю малого параметра в сингулярно возмущенном (СВ-) характеристическом дифференциальном включении, описывающем динамику быстрой компоненты обобщенных СВ-характеристик Коши;

$\bullet$ нахождение предполагаемого сильно инвариантного подмножества "корней" полученного алгебраического включения в подпространстве быстрых компонент СВ-характеристик Коши;

$\bullet$ подстановка полученного подмножества "корней" вместо быстрой переменной в формулы дифференциальных включений, описывающие динамику медленных компонент для обобщенных СВ-характеристик Коши;

$\bullet$ построение нижнего и верхнего гамильтонианов для преобразованной динамики медленных компонент СВ-характеристик Коши и переход к общему пределу в гамильтонианах, когда малый параметр стремится к нулю.

Отметим, что для сингулярно возмущенного уравнения Айзекса достаточные условия сходимости вязкостных решений были получены
В.Г.Гайтцгори [17] в рамках метода декомпозиции (см., например, [34]).

Следует упомянуть также работы ([4] и др.) по сингулярно возмущенным задачам оптимального управления с фазовыми ограничениями на быстрые координаты и по асимптотикам для соответствующих сингулярно возмущенных уравнений Беллмана. В этих исследованиях существенную роль играет условие полной управляемости для быстрой подсистемы и используются вязкостные обобщенные решения УЧП.

Ключевую роль в полученных ниже достаточных условиях сходимости играет существование множеств притяжения (или, короче, аттракторов) для обобщенных СВ-характеристик Коши в подпространстве быстрых переменных, а техника доказательства опирается на конструкции слабых пределов [5], применяющиеся в оценках сходимости вязкостных решений.

Исследования настоящей работы выполнены в рамках теории минимаксных решений УЧП [37,38] и являются данью памяти и глубокой признательности А.И.Субботину, инициировавшему и стимулировавшему эти исследования своим вниманием и советами.