3.1. Предварительные замечания и результаты

3.2. Доказательство теоремы 1

3.3. Пример

3. Достаточные условия сходимости

3.1. Предварительные замечания и результаты

Условия А.1 - А.11 Теоремы 1 аналогичны предположениям теоремы о достаточных условиях сходимости из работы [41]. Новым элементом в предлагаемых выше условиях А.1 - А.11 являются соотношения (2.12), (2.13), которые определяют местонахождение аттракторов сингулярно возмущенных компонент обобщенных характеристик по их динамике.

Подобные соотношения появлялись в работе [40], где исследовалось сингулярно возмущенное уравнение Айзекса для дифференциальной игры с быстрыми и медленными движениями. В этой работе в роли аттракторов выступали множества "корней" , т.е. тех аргументов из подпространства быстрых переменных, для которых правые части дифференциальных включений, описывающих динамику быстрых движений, содержат нуль. При этом свойство притяжения для множества "корней" обеспечивалось требованием проксимального прицеливания [11] быстрых переменных на это множество со скоростью, пропорциональной квадрату расстояния до множества. Такое требование обеспечивало экспоненциальные оценки скорости сближения быстрых переменных и их множеств притяжения, а также гарантировало сильную инвариантность последних. Условие А.8 является обобщением предположения о проксимальном прицеливании пропорциорально квадрату расстояния до множества корней, которое было предложено ранее для специального типа характеристических комплексов нелинейного уравнения Гамильтона-Якоби (см. условия $A^*1$ и теорему 2 в [41])

Следует сделать следующие замечания по поводу условий А.1 - А.11.

З а м е ч а н и е 3. Предположение о существовании липшиц-непрерывных многозначных отображений $(t,x,y)\mapsto M^\varepsilon (t,x,y,s')$, определяющих характеристические комплексы из условия А.5, не является экзотическим при выполнении стандартных требований А.3 и А.4. Нетрудно проверить, что примером таких комплексов могут быть пары, состоящие из множества параметров $S^\varepsilon = R^n\times R^k \ni s'=(p,q)$ и многозначных отображений со значениями

$$M^\varepsilon (t,x,y,s') = \{ (f,h,g)\in R^n\times R^k\times R : \$$

$$\Vert f\Vert\le \lambda^\varepsilon (x,y), \ \Vert h\Vert\le... ...arepsilon }\langle h,q \rangle - H^\varepsilon (t,x,y,p,q) \},$$ (3.1)

где $\lambda^\varepsilon (x,y)= \mu^\varepsilon (1+\Vert x\Vert+\Vert y\Vert)$ (см. условие A.3).

З а м е ч а н и е 4. Используя предположения А.5, А.9 о непрерывной зависимости от параметра $\varepsilon$ исходных данных задачи ${\bf s-P^\varepsilon }$, получаем, что при всех $(t,x) \in [0,\th ]\times R^n, \ s_+ \in S_+, \ s_- \in S_-$ сходятся при $\varepsilon \downarrow 0$ в метрике Хаусдорфа множества

$$Y^\varepsilon _{up}(t,x,s_+) \mapsto Y^0_{up}(t,x,s_+), \qquad Y^\varepsilon _{lo}(t,x,s_-) \mapsto Y^0_{lo}(t,x,s_-),$$

$$\bar {\mathrm{co}}\, {\rm pr}_{x,z} M^\varepsilon _{up}(t,x,Y^\varepsilon _{up}(t,x,s_+),s_+) \ \mapsto M^0_+(t,x,s_+),$$

$$\bar {\mathrm{co}}\, {\rm pr}_{x,z} M^\varepsilon _{lo}(t,x,Y^\varepsilon _{lo}(t,x,s_-),s_-) \ \mapsto M^0_-(t,x,s_-) .$$

Вследствие этого, а также вследствие предположения A.7, при любых $s_\pm \in S_\pm$ многозначные отображения $(t,x) \mapsto M^0_\pm(t,x,s_\pm)$ являются выпукло- и компактнозначными и удовлетворяют условию Липшица с константой $L^0 = \lim_{\varepsilon \downarrow o} L^\varepsilon (1 + K^\varepsilon )$. Из условия A.10 вытекает, что комплексы $(S_+,M^0_+), \ (S_-,M^0_-)$ являются соответственно верхним и нижним характеристическими комплексами в предельной невозмущенной задаче Коши ${\bf P^0}$ $(\ref{Pasimpt1}),(\ref{Pasimpt2})$, где гамильтониан $H^0(t,x,p)$ имеет представление

$$H^0(t,x,p) = \max_{s_+\in S_+}\min \{\langle f,p\rangle - g : \ (f,g) \in M^0_+(t,x,s_+)\} \ = \$$

$$= \ \min_{s_-\in S_-}\max \{\langle f,p\rangle - g : \ (f,g) \in M^0_-(t,x,s_-)\}.$$ (3.2)

З а м е ч а н и е 5. Используя вид (3.1) и следуя определениям верхних и нижних характеристических комплексов, в условиях А.8 - А.10 можно выбрать пары:

$\bullet$ $( S,M^\varepsilon _{up} ) =$
$\quad =( \{(p,0)=s'\} \in R^n\times R^k, \ \ \bar {\mathrm{co}}\, {\rm pr}_{x,z} M^\varepsilon _{up}(t,x,Y^\varepsilon _{up}(t,x,(p,0) ), (p,0)) );$

$$M^\varepsilon _{up}(t,x,s') = \{ (f,g)\in R^n\times R^k : \ ... ...Vert\le \mu^\varepsilon (1+\chi^\varepsilon )(1+\Vert x\Vert),$$

$$g\in \langle f,p\rangle + \bar {\mathrm{co}}\, H^\varepsilon (t,x,Y^\varepsilon _{up} (t,x,(p,0)),p,0) \}$$

- в качестве верхних характеристических комплексов для верхнего гамильтониана $H^\varepsilon _{up}(t,x,p)$ (2.21);

$\bullet$ $( S,M^\varepsilon _{lo} ) =$
$\quad =( \{(p,0)=s'\} \in R^n\times R^k, \ \ \bar {\mathrm{co}}\, pr_{x,z} M^\varepsilon _{lo}(t,x,Y^\varepsilon _{lo}(t,x, (p,0)), (p,0)) );$

$$M^\varepsilon _{lo}(t,x,s') = \{ (f,g)\in R^n\times R^k : \ ... ...Vert\le \mu^\varepsilon (1+\chi^\varepsilon )(1+\Vert x\Vert),$$

$$g\in \langle f,p\rangle + \bar {\mathrm{co}}\, H^\varepsilon (t,x,Y^\varepsilon _{lo} (t,x, (p,0)),p,0) \}$$

- в качестве нижних характеристических комплексов для нижнего гамильтониана $H^\varepsilon _{lo}(t,x,p)$ (2.22).

З а м е ч а н и е 6. Для гамильтониана $H^0(t,x,p)$ (2.24) в качестве верхнего и нижнего характеристических комплексов соответственно могут выступать пары

$\bullet$ $( S,M^0_{up} ) =$
$\quad =( \{(p,0)=s'\} \in R^n\times R^k, \ \ \bar {\mathrm{co}}\, {\rm pr}_{x,z}M^0_{up}(t,x,Y^0_{up}(t,x,(p,0)), (p,0) ) ) ;$

$$M^0_{up}(t,x,s') = \{ (f,g)\in R^n\times R^k : \ \Vert f\Vert\le \mu^0 (1+\chi^0)(1+\Vert x\Vert),$$

$$g\in \langle f,p\rangle + \bar {\mathrm{co}}\, H^0(t,x,Y^0_{up} (t,x,(p,0)),p,0) \};$$

$\bullet$ $( S,M^0_{lo}) =$
$\quad =( \{(p,0)= s'\} \in R^n\times R^k, \ \ \bar {\mathrm{co}}\, {\rm pr}_{x,z}M^0_{lo}(t,x,Y^0_{lo}(t,x,(p,0)), (p,0) ) ) ;$

$$M^0_{lo}(t,x,s') = \{ (f,g)\in R^n\times R^k : \ \Vert f\Vert\le \mu^0 (1+\chi^0)(1+\Vert x\Vert),$$

$$g\in \langle f,p\rangle + \bar {\mathrm{co}}\, H^0(t,x,Y^0_{lo} (t,x,(p,0)),p,0) \}.$$

В этом случае хорошо известные свойства характеристических комплексов вида (3.1), замечание 5 и условия A.7 - A.10 влекут выполнение усло-
вия A.11.

Учитывая вид этих характеристических комплексов, можно конкретизировать представление (3.2) предельного гамильтониана $H^0$ следующим образом:

$$H^0(t,x,p) = \max\limits_{s_+ \in S_+}\ \ \min\limits_{y^* \in Y^0(t,x,s_+)} \ H^0(t,x,y^*,p,0) =$$

$$= \min\limits_{s_- \in S_-}\ \ \max\limits_{y_* \in Y^0(t,x,s_-)} \ H^0(t,x,y_*,p,0),$$ (3.3)

где $H^0(t,x,y,p,0) = \lim\limits_{\varepsilon \downarrow 0} H^\varepsilon (t,x,y,p,0)$.

В дальнейшем понадобится следующий факт теории дифференциальных включений (см. [8,14]).

Пусть $(t,x,z) \mapsto F_i(t,x,z) \subset R^n\times R: \ [t_0,\th ]\times R^n\times R \mapsto 2^{R^n\times R}, i=1,2$ - два многозначных отображения с выпуклыми компактными непустыми значениями, полунепрерывные сверху по включению. Пусть $x^0_i\in R^n, z^0_i\in R, \ i=1,2$. Рассмотрим дифференциальные включения

$$(\dot x_i(t),\dot z_i(t))\in F_i(t,x_i(t),z_i(t)), \quad t\in [t_0,\th ];$$

$$(x_i(t_0),z_i(t_0)) = (x_i^0,z_i^0), \quad i=1,2.$$ (3.4)

Множество решений $(x_i(\cdot),z_i(\cdot)) \ i$-го дифференциального включения (3.4), обозначим символом ${\rm Sol\ }_i(t_0,x^0_i,z^0_i)$. Справедливо (см.[14]) следующее

Утверждение 1. Для любого решения $(x_1(\cdot),z_1(\cdot))\in {\rm Sol\ }_1(t_0,x_1^0,z_1^0)$ существует такое решение $(x_2(\cdot),z_2(\cdot))\in {\rm Sol\ }_2(t_0,x_2^0,z_2^0)$, что при всех $t\in [t_0,\th ]$ справедливы оценки

$$\Vert w_1(t)-w_2(t)\Vert \le \Vert w_1(t_0)-w_2(t_0)\Vert +$$

$$+ \int\limits_{t_0}^t{\rm dist\ }(F_1(\tau,x_1(\tau),z_1(\tau)), F_2(\tau,x_2(\tau),z_2(\tau)))d\tau, \quad w = x,z.$$ (3.5)

3.2. Доказательство теоремы 1

Для наглядности все дальнейшие рассуждения проводятся для верхних характеристических комплексов и соответствующих множеств притяжения, фигурирующих в условии ${\bf A.8}$. Аналогичные конструкции и утверждения для нижних характеристических комплексов получаются с помощью формальной замены индексов ``$up$'' и ``+'' на ``$lo$'' и ``-''.

Пусть $(t_0,x_0,y_0)\in D\times D_0, \ z_0\in R^1, \ \varepsilon \in (0,1]$ и, согласно A.8, для $s_+\in S_+$ множества $Y^\varepsilon _{up}(t,x,s_+)$ - есть множества притяжения быстрых
компонент характеристических комплексов $(S_+, M^\varepsilon _{up})$. И пусть
$(x^\varepsilon (\cdot),y^\varepsilon (\cdot),z^\varepsilon (\cdot))\in {\rm Sol\ }(t_0,x_0,y_0,z_0,s_+), \quad s_+\in S_+$, т.е.

$$(\dot x^\varepsilon (t),\varepsilon \dot y^\varepsilon (t),\... ...\varepsilon _{up} (t,x^\varepsilon (t),y^\varepsilon (t),s_+),$$

$$(x^\varepsilon (t_0),y^\varepsilon (t_0),z^\varepsilon (t_0))=(x_0,y_0,z_0).$$ (3.6)

Используя предположения А.5, А.7 о липшицевости в метрике Хаусдорфа многозначных отображений

$$(t,x,y)\mapsto M^\varepsilon _{up}(t,x,y,s_+), \quad (t,x)\mapsto Y^\varepsilon _{up}(t,x,s_+) \quad \forall s_+\in S_+,$$

легко получим, что при всех $t\in [t_0,t_0+\delta(\varepsilon )]$ справедливо включение

$$M^\varepsilon _{up}(t,x^\varepsilon (t),y^\varepsilon (t),s_... ...ilon _{up}(t,x^\varepsilon (t),s_+),s_+) + B_{n+k+1}^{\rho_1},$$ (3.7)

где, согласно условию А.8 (2.19),

$$\rho_1 \le L^\varepsilon \cdot{\rm dist\ }(y^\varepsilon (t)... ...n _{up}(t,x^\varepsilon (t),s_+)) \le L^\varepsilon \cdot d_0,$$ (3.8)

а символ $B_{n+k+1}^{\rho_1}$ означает шар в пространстве $R^n\times R^k\times R$ радиуса $\rho_1$.

Из (3.7), (3.8) следует, что динамика компонент $x^\varepsilon (\cdot)$, $z^\varepsilon (\cdot)$ обобщенных характеристик (3.6) описывается с помощью дифференциальных включений

$$(\dot x^\varepsilon (t), \dot z^\varepsilon (t)) \in \bar {\... ...psilon _{up}(t,x^\varepsilon (t),s_+),s_+) + B_{n+1}^{\rho_1},$$

$$(x^\varepsilon (t_0), z^\varepsilon (t_0))=(x_0, z_0).$$ (3.9)

Рассмотрим теперь некоторое решение $x^\varepsilon _+(\cdot), z^\varepsilon _+(\cdot)$ дифференциального
включения

$$(\dot x^\varepsilon _+(t), \dot z^\varepsilon _+(t)) \in \ba... ...lon _+(t), Y^\varepsilon _{up}(t,x^\varepsilon _+(t),s_+),s_+)$$

$$(x^\varepsilon _+(t_0), z^\varepsilon _+(t_0))=(x_0, z_0).$$ (3.10)

Обозначим множество всех решений $x^\varepsilon _+(\cdot),z^\varepsilon _+(\cdot) : \ [t_0,\th ]\mapsto R^n\times R$ символом ${\rm Sol\ }^\varepsilon _+(t_0,x_0,z_0,s_+)$.

Используя снова предположения А.5, А.7 о липшицевости многозначных отображений $M^\varepsilon _{up}(\cdot)$ и $Y^\varepsilon _{up}(\cdot)$ в метрике Хаусдорфа, получаем соотношения, аналогичные (3.7),(3.8) :

$$M^\varepsilon _1(t) = \bar {\mathrm{co}}\, {\rm pr}_{x,z}M^\... ...), Y^\varepsilon _{up}(t,x^\varepsilon _+(t),s_+),s_+) \subset$$

$$\subset \bar {\mathrm{co}}\, {\rm pr}_{x,z}M^\varepsilon _{u... ...) + B_{n+1}^{\rho_2} = M^\varepsilon _2(t) + B_{n+1}^{\rho_2},$$ (3.11)

где

$$\rho_2 \le L^\varepsilon [\Vert x^\varepsilon (t)-x^\varepsi... ...+ {\rm dist\ }(M^\varepsilon _1(t), M^\varepsilon _2(t)) ] \le$$

$$\le L^\varepsilon (1 + K^\varepsilon )(\Vert x^\varepsilon (t) - x^\varepsilon _+(t)\Vert).$$ (3.12)

Оценим теперь расстояние между решениями $x^\varepsilon (\cdot),z^\varepsilon (\cdot)$ дифференциального включения (3.9) и решениями $x^\varepsilon _+(\cdot), z^\varepsilon _+(\cdot)$ дифференциального включения (3.10). Используем для этого приведенное выше утверждение 1, где, с учетом (3.7),(3.11),(3.12), полагаем

$$(x_1(\cdot), z_1(\cdot)) = (x^\varepsilon (\cdot),z^\varepsi... ...2(\cdot)) = (x^\varepsilon _+(\cdot),z^\varepsilon _+(\cdot));$$

$$F_1(t,x,z) = \bar {\mathrm{co}}\, {\rm pr}_{x,z}M^\varepsilo... ...up} (t,x,Y^\varepsilon _{up}(t,x,s_+),s_+) + B_{n+1}^{\rho_1};$$

$$F_2(t,x,z) = \bar {\mathrm{co}}\, {\rm pr}_{x,z}M^\varepsilon _{up} (t,x,Y^\varepsilon _{up}(t,x,s_+),s_+);$$

$$F_1(t,x^\varepsilon (t),z^\varepsilon (t)) = M^\varepsilon _2(t) + B_{n+1}^{\rho_1};$$

$$F_2(t,x^\varepsilon _+(t),z^\varepsilon _+(t)) = M^\varepsilon _1(t) \subset M^\varepsilon _2(t) + B_{n+1}^{\rho_2}$$

и выбираем $x^\varepsilon _+(\cdot),z^\varepsilon _+(\cdot)\in {\rm Sol\ }_+(t_0,x_0,z_0,s_+)$ так, чтобы выполнялись неравенства

$$\Vert x^\varepsilon (t) - x^\varepsilon _+(t)\Vert\le \int\l... ...), \ F_2(t,x^\varepsilon _+(t),z^\varepsilon _+(t)) )d\tau \le$$

$$\le \int\limits^{t}_{t_0}{\rm dist\ }(M^\varepsilon _2(\tau)... ...{\rho_1}, \ M^\varepsilon _2(\tau)+B_{n+1}^{\rho_2}) d\tau \le$$

$$\le \int\limits^{t}_{t_0} C_1\Vert x^\varepsilon (\tau)-x^\varepsilon _+(\tau)\Vert + C_2 d\tau,$$ (3.13)

где $C_1>0$ и $C_2 \ge 0$ - константы. Применяя лемму Гронуола [46] и неравенство (3.8), получаем, что на отрезке $[t_0,t_0+\delta(\varepsilon )]$ для оцениваемого расстояния справедливы неравенства

$$\Vert x^\varepsilon (t) - x^\varepsilon _+(t)\Vert\le \frac{... ...{C_1 \delta(\varepsilon )} - 1\right) = \varphi(\varepsilon ),$$ (3.14)

где $C_1 = L^\varepsilon (1 + K^\varepsilon ) >0, \ C_2 = \rho_1 > 0$ и $\varphi(\varepsilon )\to 0$, когда $\varepsilon \to 0$.

Следовательно, для разности компонент $z$ решений дифференциальных включений (3.9) и (3.10) имеем на отрезке $[t_0,t_0+\delta(\varepsilon )]$ оценку

$$\Vert z^\varepsilon (t) - z^\varepsilon _+(t)\Vert\le \int\l... ...), \ F_2(t,x^\varepsilon _+(t),z^\varepsilon _+(t)) )d\tau \le$$

$$\le \int\limits^{t}_{t_0} C_1\Vert x^\varepsilon (\tau)-x^\v... ...C_2 ) \cdot \delta(\varepsilon ) \ = \ \varphi_1(\varepsilon )$$ (3.15)

Используя предположение А.8 (2.20), получаем, что при $t\in [t_0+\delta(\varepsilon ),\th ]$ в дифференциальном включении (3.9), описывающем динамику $x^\varepsilon (t),z^\varepsilon (t)$, величина $\rho_1 = 0$. Теперь, согласно утверждению 1, подберем решение $x^\varepsilon _+(t),z^\varepsilon _+(t)$ дифференциального включения (3.10) на отрезке $[t_0+\delta(\varepsilon ),\th ]$ таким образом, чтобы

$$\Vert x^\varepsilon (t) - x^\varepsilon _+(t)\Vert\le \Vert ... ...epsilon )) - x^\varepsilon _+(t_0+\delta(\varepsilon ))\Vert +$$

$$+ \int\limits^{t}_{t_0}{\rm dist\ }( F_1(t,x^\varepsilon (t)... ...), \ F_2(t,x^\varepsilon _+(t),z^\varepsilon _+(t)) )d\tau \le$$

$$\le \Vert x^\varepsilon (t_0+\delta(\varepsilon )) - x^\vare... ..._2(\tau), \ M^\varepsilon _2(\tau)+B_{n+1}^{\rho_2}) d\tau \le$$

$$\le \Vert x^\varepsilon (t_0+\delta(\varepsilon )) - x^\vare... ...1\Vert x^\varepsilon (\tau)-x^\varepsilon _+(\tau)\Vert d\tau.$$ (3.16)

Применяя снова лемму Гронуола, получаем следующую оценку:

$$\Vert x^\varepsilon (t) - x^\varepsilon _+(t)\Vert\le \Vert ... ...epsilon ))\Vert \cdot e^{C_1 (t-t_0+\delta(\varepsilon ))} \le$$

$$\le \varphi(\varepsilon ) \cdot e^ {C_1 \th } = \psi(\varepsilon ),$$ (3.17)

где $\psi(\varepsilon )\to 0$, когда $\varepsilon \to 0$. А компоненты $z$ оцениваем неравенствами

$$\Vert z^\varepsilon (t) - z^\varepsilon _+(t)\Vert\le \Vert ... ...epsilon )) - z^\varepsilon _+(t_0+\delta(\varepsilon ))\Vert +$$

$$+ \int\limits^{t}_{t_0}{\rm dist\ }( F_1(t,x^\varepsilon (t)... ...), \ F_2(t,x^\varepsilon _+(t),z^\varepsilon _+(t)) )d\tau \le$$

$$\le \varphi_1(\varepsilon ) + \int\limits^{t}_{t_0} C_1\Vert x^\varepsilon (\tau)-x^\varepsilon _+(\tau)\Vert d\tau \ ;$$

$$\Vert z^\varepsilon (t) - z^\varepsilon _+(t)\Vert\le \varph... ...phi_1(\varepsilon ) \psi(\varepsilon ) = \psi_1(\varepsilon ),$$ (3.18)

где $\psi_1(\varepsilon )\downarrow 0$, когда $\varepsilon \downarrow 0$.

Суммируя вышесказанное, и в частности замечание о том, что приведенные выше рассуждения годятся как для верхних, так и для нижних характеристических комплексов, фигурирующих в условии A.8, приходим к выводу о справедливости следующего утверждения, где величина $\rho(\varepsilon )$ равна $\psi_1(\varepsilon )$ из предыдущих оценок (3.17), (3.18).

Лемма 1. Для любых компактов $D, D_0, D^0$ из условия A.8 существуют такие отображения

$$(0,1] \mapsto R_{+}\times R_{+} : \ \varepsilon \mapsto (\alpha(\varepsilon ),\rho(\varepsilon )),$$

что

$\bullet$ $\alpha(\varepsilon ) \downarrow 0, \ \ \rho(\varepsilon ) \downarrow 0$ при $\varepsilon \downarrow 0$;

$\bullet$ при любых $(t_0,x_0)\in D, \ y_0\in D_0\cup D^0, \ z_0\in R\ \forall s'= s_\pm \in S_\pm, \quad \varepsilon \in(0,1]$, и при таких      $(x^\varepsilon (\cdot),y^\varepsilon (\cdot),z^\varepsilon (\cdot))\in {\rm Sol\ }(t_0,x_0,y_0,z_0,s')$, что

$$z^\varepsilon (t)\ge u^\varepsilon (t,x^\varepsilon (t),y^\v... ...t)) \ \ \ \ \forall t\ge t_0, \quad \mbox{если} \quad s'= s_+,$$

$$z^\varepsilon (t)\le u^\varepsilon (t,x^\varepsilon (t),y^\v... ...t)) \ \ \ \ \forall t\ge t_0, \quad \mbox{если} \quad s'= s_-,$$

существуют

$$(x_\varepsilon (t),z_\varepsilon (t)) = (x^\varepsilon _\pm(... ...pm(\cdot))\in {\rm Sol\ }^\varepsilon _\pm(t_0,x_0,z_0,s_\pm),$$

для которых справедливы оценки

$$\begin{array}{c} \Vert x^\varepsilon (t) - x_\varepsilon (t)... ...при} \quad t\in [t_0 + \delta(\varepsilon ), \th ]. \end{array}$$ (3.19)

З а м е ч а н и е 7. Обозначим через $G_\varepsilon (t_0,\tau,x_0,y_0,z_0,s')$ область достижимости системы (3.6) в момент времени $t = \tau$, а через $G_\varepsilon ^{\rho(\varepsilon )}(t_0,\tau,x_0,z_0,s')$ - замкнутую $\rho(\varepsilon )$-окрестность области достижимости системы (3.10). Тогда условие (3.19) можно переписать в виде

$${\rm pr}_{x,z}G_\varepsilon (t_0,\tau,x_0,y_0,z_0,s') \cap G... ...ilon ^{\rho(\varepsilon )}(t_0,\tau,x_0,z_0,s') \ne \emptyset,$$ (3.20)

где величина $\rho(\varepsilon )$ одна и та же для всех $(t_0,x_0) \in D, \ y_0 \in D_0\cup D^0, \ z_0 \in R$.

Введем в рассмотрение функции

$$v^0_\varepsilon (t,x) = \inf_{s_+\in S_+} \ \ \min_{y\in Y^\... ...n _{up}(t,x,s_+) + B^\varepsilon _k} \ v^\varepsilon (t,x,y) ,$$

$$w^0_\varepsilon (t,x) = \sup_{s_-\in S_-} \ \ \max_{y\in Y^\... ...on _{lo}(t,x,s_-) + B^\varepsilon _k} \ w^\varepsilon (t,x,y),$$ (3.21)

где $v^\varepsilon (t,x,y)$ - верхнее минимаксное решение сингулярно возмущенной задачи ${\bf s-P^\varepsilon }$, $w^\varepsilon (t,x,y)$ - нижнее минимаксное решение задачи ${\bf s-P^\varepsilon }$.

Конструкции типа (3.21) были введены в работе [5] и широко используются при исследовании вязкостных решений (см. [16]).

Лемма 2. Для любых $(t_0,x_0)\in D, \ y_0\in D_0\cup D^0, \ s_\pm\in S_\pm, \quad z^0_+ \ge v^0_\va... ...- \le w^0_\varepsilon (t_0,x_0), \ \ \tau\in [t_0 + \delta(\varepsilon ), \th ]$ существует точка $(x^*_+,z^*_+) \in G_\varepsilon ^{\rho(\varepsilon )}(t_0,\tau,x_0,z^0_+,s_+)$ и точка $(x^*_-,z^*_-) \in G_\varepsilon ^{\rho(\varepsilon )}(t_0,\tau,x_0,z^0_-,s_-)$ такие, что

$$(\tau,x^*_+,z^*_+) \in \rm epi\ v^0_\varepsilon , \qquad (\tau,x^*_-,z^*_-) \in \rm hypo\ w^0_\varepsilon .$$

Доказательство этого утверждения проводится по той же схеме, что и доказательство утверждения 1 из [39].

Полагаем теперь

$$v^\varepsilon (t,x,y) = w^\varepsilon (t,x,y) = u^\varepsilon (t,x,y),$$ (3.22)

где $u^\varepsilon (t,x,y)$ - минимаксное решение задачи ${\bf s-P^{\varepsilon }}$ (2.3),(2.4).

Модифицируя схему доказательства утверждения 2 из [39] с учетом нестационарности множеств притяжения и условия A.8 (см. (2.18)), ослабляющего предположения из работы [41], получаем, что справедлив следующий факт.

Лемма 3. Функция

$$v^{\char93 }(t,x) = \liminf_{\varepsilon \downarrow 0, \ (t',x')\mapsto (t,x)} v^0_\varepsilon (t',x')$$ (3.23)

является верхним минимаксным решением задачи ${\bf P^0}$, а функция

$$w^{\char93 }(t,x) = \limsup_{\varepsilon \downarrow 0, \ (t',x')\mapsto (t,x)} w^0_\varepsilon (t',x')$$ (3.24)

является нижним минимаксным решением задачи ${\bf P^0}$ $(\ref{Hasimpt})$- $(\ref{Pasimpt2}).$

Из свойств верхних и нижних минимаксных решений задачи ${\bf P^0}$ вытекает, что при всех $(t,x)$

$$v^{\char93 }(t,x) \ge w^{\char93 }(t,x),$$

а из условия (3.22) и построений (3.21), (3.23)-(3.24) следует

$$v^{\char93 }(t,x) \le w^{\char93 }(t,x).$$

Таким образом, для всех $(t,x,y)\in D\times D_0\cup D^0$ имеем равенство

$$v^{\char93 }(t,x) = w^{\char93 }(t,x) = u(t,x) = \lim\limits_{\varepsilon \downarrow 0} u^\varepsilon (t,x,y).$$ (3.25)

Из оценок, полученных в лемме 1, вытекает, что сходимость в условии (3.25) равномерна на любых выбранных компактах $D \subset [0,\th ]\times R^n$ и $D_0\cup D^0 \subset R^k$.         

3.3. Пример

Рассмотрим сингулярно возмущенную задачу Коши ${\bf s-P^\varepsilon }$, где гамильтониан $H^\varepsilon$ имеет вид

$$H^\varepsilon (t,x,y_1,y_2,s,\zeta_1,\zeta_2) = \langle f(t,... ...c1 \varepsilon [ \langle k_1(y_1) \cdot y_1, \zeta_1 \rangle +$$

$$+ \langle k_2(y_2) \cdot y_2, \zeta_2 \rangle + \min\limits_... ... + \max\limits_{\beta \in B} \langle \zeta_2, \beta \rangle ];$$ (3.26)

$$x\in R, \ y = (y_1,y_2)\in R^2; \quad s\in R, \ \zeta = (\zeta_1,\zeta_2)\in R^2;$$

$$k_1(y_1) = \left \{ \begin{array}{l} -1, \quad \mbox{если} \... ...\ [1ex] -2, \quad \mbox{если} \quad y_1 < 0 \end{array}\right.$$ (3.27)

$$k_2(y_2) = \left\{ \begin{array}{l} -4, \quad \mbox{если} \q... ...\ [1ex] -1, \quad \mbox{если} \quad y_2 < 0 \end{array}\right.$$ (3.28)

$$A = [\alpha_0,\alpha^0]; \quad B = [\beta_0,\beta^0].$$

Здесь верхний и нижний характеристические комплексы могут быть выбраны следующим образом

$$S^* = B, \ s^* = \beta, \quad S_* = B, \ s_* = \alpha,$$

$$M^\varepsilon _{up}(t,x,y_1,y_2,\beta) = \bar {\mathrm{co}}\... ...t,x,y_1,y_2), \ \frac{1}{\varepsilon }[k_1(y_1)\cdot y_1 + A],$$

$$\frac{1}{\varepsilon }[k_2(y_2)\cdot y_2 + \beta], \ g(t,x,y_1,y_2) \};$$

$$M^\varepsilon _{lo}(t,x,y_1,y_2,\alpha) = \bar {\mathrm{co}}... ..._1,y_2), \ \frac{1}{\varepsilon }[k_1(y_1)\cdot y_1 + \alpha],$$

$$\frac{1}{\varepsilon }[k_2(y_2) \cdot y_2 + B], \ g(t,x,y_1,y_2) \}.$$ (3.29)

Соответствующие множества притяжения (аттракторы) $Y^\varepsilon _{up}$ и $Y^\varepsilon _{lo}$ имеют вид

$$Y^\varepsilon _{up}(t,x,\beta) = \{ (y_1,y_2): y_1\in (\xi_1... ...a)\cdot A + B^{\varepsilon }), \ y_2\in \xi_2(\beta)\beta \} ;$$

$$Y^\varepsilon _{lo}(t,x,\alpha) = \{ (y_1,y_2): y_1\in \xi_1... ...)\alpha, \ y_2\in (\xi_2(\beta)\cdot B + B^{\varepsilon }) \},$$ (3.30)

где $B^{\varepsilon }= \{\xi: \vert\xi\vert\le \varepsilon \}$ и

$$\xi_1(\alpha) = \left \{ \begin{array}{l} 1, \quad \mbox{есл... ...1}{2}, \quad \mbox{если} \quad \alpha \le 0 \end{array}\right.$$ (3.31)

$$\xi_2(\beta) = \left \{ \begin{array}{l} \frac{1}{4}, \quad ... ...1ex] 1, \quad \mbox{если} \quad \beta \le 0 \end{array}\right.$$ (3.32)

Непосредственная проверка позволяет получить экспоненциальные оценки скорости сближения быстрых компонент обобщенных характеристик $(\ref{M-e})$ и их множеств притяжения $(\ref{Y-e})$, а также доказать сильную инвариантность аттракторов $(\ref{Y-e})$.

Гамильтониан $H^0$ в предельной невозмущенной задаче Коши описывается формулой

$$H^0(t,x,s) = \min\limits_{\xi_1 \in P} \max\limits_{\xi_2 \i... ...\langle f(t,x,\xi_1,\xi_2), s \rangle + g(t,x,\xi_1,\xi_2) ] =$$

$$\max\limits_{\xi_2\in Q} \min\limits_{\xi_1 \in P} [\langle f(t,x,\xi_1,\xi_2), s \rangle + g(t,x,\xi_1,\xi_2) ].$$ (3.33)

Верхний и нижний характеристические комплексы в невозмущенной задаче могут быть выбраны следующим образом:

$$s^* = \xi_2(\beta)\beta = q, \ \ S^* = \xi_2(\beta)\cdot B =... ...= \xi_1(\alpha)\alpha = p, \ \ S_* = \xi_1(\alpha)\cdot A = P;$$

$$M^0_{up}(t,x,q) = \bar {\mathrm{co}}\, \{ (f(t,x,\xi_1,q), \ g(t,x,\xi_1,q)): \ \xi_1 \in P \},$$ (3.34)

$$M^0_{lo}(t,x,p) = \bar {\mathrm{co}}\, \{ (f(t,x,p,\xi_2), \ g(t,x,p,\xi_2)):\ \xi_2 \in Q \}.$$ (3.35)

Поступила 1.12.1999