7. Примеры

П р и м е р 1. Рассматривается дискретная модель, описывающая боевые действия двух армий - аналог непрерывного случая, представленного в ([14, стр. 175]). Главной характеристикой соперников являются численности сторон $x_1(k)\ge 0$ и $x_2(k)\ge 0.$ В случае действий между регулярными частями динамика их численности определяется тремя факторами:

1) темпом потерь, обусловленных боевыми действиями противоборствующей стороны, который определяется качеством ее стратегии и тактики, вооружениями и т.д.;

2) скоростью уменьшения состава из-за причин, непосредственно не связанных с боевыми действиями (болезни, травмы, дезертирство);

3) скоростью поступления подкреплений, которая зависит от момента времени $k$ и в дальнейшем трактуется как управляющее воздействие.

При сделанных предположениях для $x_1(k), x_2(k)$ получаем систему первых разностей

$$\left\{ \begin{array}{l} x_1(k+1)-x_1(k)=-\alpha_1 x_1(k)-\beta_... ...2(k+1)-x_2(k)=-\alpha_2 x_2(k)-\beta_1 x_1(k)+\gamma_2(k) \end{array} \right.$$ (7.1)

$$(k=0, 1,\ldots, N-1).$$

В (7.1) коэффициенты $\alpha_1, \alpha_2 \ge 0$ характеризуют скорости потерь в силу причин, непосредственно не связанных с боевыми действиями, $\beta_1, \beta_2 \ge 0$ - темпы потерь из-за действий соперника, $\gamma_1, \gamma_2(k)$ - скорости поступления подкреплений.

Положим $\alpha_1=0{,}1 , \alpha_2=0{,}05 , \beta_1=0{,}2 , \beta_2=0{,}3$ и возьмем $\gamma_1(k)=u(k), \gamma_2(k)=0{,}5 u(k),$ где $u(k)\in {\Bbb R}.$ Тогда (7.1) примет вид

$$\left\{ \begin{array}{l} x_1(k+1)=0{,}9 x_1(k)-0{,}3 x_2(k)+u(k),\ [2ex] x_2(k+1)=-0{,}2 x_1(k)+0{,}95 x_2(k)+0{,}5 u(k) \end{array} \right.$$ (7.2)

$$(k=0, 1,\ldots, N-1).$$

Пусть также заданы: начальный момент времени $k_0=0,$ численности сторон в момент $k_0$

$$x(0)\equiv x_0= \left[ \begin{array}{c} 5\cdot 10^3 \ [1ex]... ...t[ \begin{array}{c} x_1(0) \ [1ex] x_2(0) \end{array}\right],$$

конечный момент $k=N=10$ и соответствующие численности

$$x(10)\equiv x_1= \left[ \begin{array}{c} 1\cdot 10^3 \ [1ex... ... \begin{array}{c} x_1(10) \ [1ex] x_2(10) \end{array}\right].$$

Рассмотрим решение задач 1.1 и 1.2 при указанных исходных данных. Для этого систему (7.2) запишем в матричном виде

$$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k),$$ (7.3)

где

$$A_{2\times 2}= \left[ \begin{array}{cc} 0{,}9 & -0{,}3 \ [1... ...(k) \ [1ex] x_2(k) \end{array}\right],\quad u(k)\in {\Bbb R}.$$

Оптимальное управление $u^0(k), 0\le k\le 9$ находим по формуле (3.3): $u^0(k)=S^T(k){\cal D}^+(k) c(k),$ где $S(k)=A^{10-k-1}B, {\cal D}(k)=\sum_{i=k}^9 S(i)S^T(i)$, $c(k)=x_1-A^{10-k}x(k).$ Заметим, что $m=1<n=2,$ значит, согласно ([4, стр. 139]), $k^*=N-n=8$ и ${\cal D}^+(k)={\cal D}^{-1}(k)$ при $k=0,1,\ldots,8;$ кроме того, ${\cal D}^{- 1}(0) c(0)=\ldots={\cal D}^{-1}(8) c(8)=c=\mbox{const},$ что облегчает вычисления. Счет будем вести с точностью до третьего знака с масштабированием. Имеем

$$c={\cal D}^{-1}(0) c(0)={\cal D}^{-1}(0)\left(x_1-A^{10}x_0\right)=$$

$$=\left[ \begin{array}{cc} 3{,}711 & -0{,}24 \ -0{,}24 & 1{,... ... \begin{array}{c} 5 \ 6 \end{array}\right] \right)\cdot 10^3=$$

$$=\left[ \begin{array}{cc} 0{,}273 & 0{,}062 \ -0{,}062 & 0{... ...n{array}{c} 1{,}842 \ -3{,}666 \end{array}\right] \cdot 10^3.$$

При $k=9$ матрица ${\cal D}(9)=BB^T$ имеет вид

$${\cal D}(9)= \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0{,}5 \ 0{,}5 & 0{,}25 \end{array}\right],$$

rank ${\cal D}(9)=1.$ Для вычисления ${\cal D}^+(9)$ пользуемся формулой (2.7).

В нашем случае $\lambda_1=1{,}25\ne 0,$ соответствующий собственный вектор $v_1=\frac{2}{\sqrt{5}} \{ 1, 0{,}5\}^T$. Таким образом, $${\cal D}^+(9)=\lambda_1^{-1}\cdot v_1 v_1^T= \left[ \begin{array}{cc} 0{,}64 & 0{,}32 \ 0{,}32 & 0{,}16 \end{array}\right].$$ Заметим, что на последнем шаге ${\cal D}^+(9) c(9)={\cal D}^+(9)\bigl(x_1-Ax(9)\bigr)={}$
$\{ 0{,}015, 0{,}007\} \ne c.$ Поскольку при счете имеет место некоторая погрешность вычислений, наибольший интерес представляют управления по принципу обратной связи $u^0(k, x)$ (3.3) и соответствующие состояния системы (7.3). Для удобства результаты вычислений при заданных начальных условиях представлены в следующей таблице.

Таблица 1

Момент	Оптимальное	Численности
времени	управление	каждой из армий
$k$	$u^0(k, x)$	$x_1^0(k)$	$x_2^0(k)$
0	$3{,}069\cdot 10^3$	$5\cdot 10^3$	$6\cdot 10^3$
1	$2{,}599\cdot 10^3$	$5{,}769 \cdot 10^3$	$6{,}235\cdot 10^3$
2	$2{,}206\cdot 10^3$	$5{,}921\cdot 10^3$	$6{,}069\cdot 10^3$
3	$1{,}833\cdot 10^3$	$5{,}714 \cdot 10^3$	$5{,}684\cdot 10^3$
4	$1{,}534\cdot 10^3$	$5{,}270\cdot 10^3$	$5{,}174\cdot 10^3$
5	$1{,}291\cdot 10^3$	$4{,}725 \cdot 10^3$	$4{,}628\cdot 10^3$
6	$0{,}927\cdot 10^3$	$4{,}155\cdot 10^3$	$4{,}097\cdot 10^3$
7	$0{,}647\cdot 10^3$	$3{,}437 \cdot 10^3$	$3{,}525\cdot 10^3$
8	$0{,}405\cdot 10^3$	$2{,}683\cdot 10^3$	$2{,}985\cdot 10^3$
9	$0{,}019\cdot 10^3$	$1{,}924 \cdot 10^3$	$2{,}502\cdot 10^3$
10	- -	$1\cdot 10^3$	$2{,}002\cdot 10^3$

З а м е ч а н и е. Погрешность вычислений можно рассматривать как помеху $p(k),$ ее наличием и объясняется небольшое отклонение (в 2 человека) полученного $x_2^0(10)=2{,}002\cdot 10^3$ от требуемого $x_2(10)=2\cdot 10^3.$

П р и м е р 2. Рассмотрим задачу оптимального управления запасами ([15, стр. 13]). Пусть $x(k)=\bigl\{ x_1(k),\ldots, x_n(k)\bigr\}$ - вектор количества $n$ видов товаров, выпускаемых некоторой фирмой и имеющихся на складе в наличии к концу $k$-го периода, $B$ - технологическая матрица, $u(k)=\bigl\{ u_1(k),\ldots,u_m(k)\bigr\}$ - вектор интенсивностей (скорость производства),
$w(k)=\bigl\{ w_1(k),\ldots,w_n(k)\bigr\}$ - вектор количества товаров, поставленных со склада в $k$-й период. Тогда уравнения, описывающие процесс, имеют вид:

$$x(k+1)=x(k)+Bu(k)-w(k), \quad k=0, 1,\ldots,N-1.$$ (7.4)

Далее будем считать, что количество поставленных со склада товаров зависит от количества имеющихся в наличии следующим образом:

$$w_i(k)=\alpha_i x_i(k), \quad 0\le \alpha_i \le 1;$$

тогда система (7.4) в матричном виде может быть записана так:

$$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k),$$ (7.5)

где

$$A=\begin{bmatrix} 1-\alpha_1 & 0 & 0 & \cdots & 0\ 0 & 1-\alpha_... ...\ \hdotsfor[2]{5} \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1-\alpha_n\\ \end{bmatrix}_{n\times n}.$$

Качество работы системы за плановый период $N$ оценивается величиной

$$I[u]=\sum_{k=0}^{N-1} u^T(k) u(k).$$

Решению подобных задач посвящена, в частности, работа [16].

Рассмотрим задачу 1.2 для системы (7.5) при следующих условиях: $n=3,\ m=2, N=5, \alpha_1=0{,}2 , \alpha_2=0{,}3 , \alpha_3=0{,}1 ,$

$$B=\left[ \begin{array}{cc} -0{,}1 & 0{,}2 \ 0{,}4 & -0{,}2 \ 0{,}6 & 0{,}5 \end{array}\right],$$

$$x_0\equiv x(0)= \left[ \begin{array}{c} 3\cdot 10^3 \ 0{,}1... ...1 \cdot 10^3 \ 3\cdot 10^3 \ 5\cdot 10^3 \end{array}\right].$$

Заметим, что по смыслу задачи количество каждого товара в каждый момент времени должно быть неотрицательным, т.е. $x_i(k)\ge 0 (i=1, 2, 3$; $k=0, 1,\ldots,5),$ поэтому $x_0$ и $x_1$ взяты таким образом, чтобы в процессе вычислений оба неравенства выполнялись. Вычисление проводим с точностью до 3-й цифры после запятой, учитывая масштабирование, чтобы избежать дробления товара.

Р е ш е н и е задачи 1.2. Как и в примере 1, $m<n,$ поэтому $k^*=2>k_0,$ и ${\cal D}^+(k)={\cal D}^{-1}(k)$ для $k=0, 1, 2.$

$${\cal D}^{-1}(0) c(0)=\left( \sum_{i=0}^4 S(i)S^T(i)\right)... ...,}335 \ 18{,}396 \ -2{,}555 \end{array}\right] \cdot 10^3=c.$$

Таблица 2

Период времени $k$	Количество товаров каждого вида $$x(k)= \left[ \begin{array}{c} x_1(k) \ x_2(k) \ x_3(k) \end{array}\right]$$	Вектор интенсивностей $$u^0(k, x)= \left[ \begin{array}{c} u_1^0(k, x) \ u_2^0(k, x)\\ \end{array}\right]$$
	$3\cdot 10^3$	$0{,}131\cdot 10^3$
0	$0{,}1\cdot 10^3$
	$0{,}01\cdot 10^3$	$0{,}165\cdot 10^3$
	$2{,}436\cdot 10^3$	$0{,}622\cdot 10^3$
1	$0{,}089\cdot 10^3$
	$0{,}17\cdot 10^3$	$0{,}16\cdot 10^3$
	$1{,}935\cdot 10^3$	$1{,}382\cdot 10^3$
2	$0{,}279\cdot 10^3$
	$0{,}606\cdot 10^3$	$0{,}107\cdot 10^3$
	$1{,}442\cdot 10^3$	$3{,}188\cdot 10^3$
3	$0{,}727\cdot 10^3$
	$1{,}428\cdot 10^3$	$-0{,}137\cdot 10^3$
	$0{,}794\cdot 10^3$	$4{,}042\cdot 10^3$
4	$1{,}812\cdot 10^3$
	$3{,}13\cdot 10^3$	$-0{,}487\cdot 10^3$
	$0{,}085\cdot 10^3$
5	$2{,}983\cdot 10^3$	-
	$4{,}999\cdot 10^3$

Матрицы ${\cal D}^+(3)$ и ${\cal D}^+(4)$ вычисляются по формуле (2.7), при этом
rank ${\cal D}(3)=$ rank ${\cal D}(4)=2.$

В табл. 2 представлены значения $u^0(k, x)$ (3.3) и изменяющееся состояние системы при $k=0, 1,\ldots,5.$ Как и в примере 1, погрешность вычислений может трактоваться как случайная помеха, вследствие которой конечное состояние $x^0(N)$ немного отклоняется от $x_1.$ Кроме того, наличие отрицательных управлений $u_2^0\bigl(3, x(3)\bigr), u_2^0\bigl(4, x(4)\bigr)$ означает, что при данном способе организации производства затраты соответствующего продукта заменяются выпуском и наоборот.

Оптимальные траектория и управления представлены в табл. 2.

Автор выражает признательность научному руководителю
Э.Г.Альбрехту за постановку задачи и обсуждение работы.

Поступила 7.11.98