3. Построение особой поверхности, метод сингулярных характеристик

3.1 Полная система необходимых условий на особой поверхности

С особой поверхностью можно соотнести следующие две $(n-1)$-мерные поверхности в пространстве $R^{2n+1}$ векторов $(x,u,p)$:

$$\Sigma^-= \{(x,u,p)\in R^{2n+1}:\;u=u^-(x),\; p={ \partial u^-(x)\over \partial x},\;x\in\Gamma\}, \eqno (20)$$

$$\Sigma^+= \{(x,u,p)\in R^{2n+1}:\;u=u^+(x), \;p={ \partial u^+(x)\over \partial x},\;x\in\Gamma\}.$$

По построению поверхности $\Sigma^{\pm}$ проектируются в поверхность $\Gamma$ и являются интегральными поверхностями $1$-формы $\alpha=du-p\,dx$, т.е. касательные к $\Sigma^{\pm}$ векторы обращают в нуль форму $\alpha$. Подобные поверхности могут быть построены с помощью метода сингулярных характеристик [10, 11], необходимые сведения из которого приводятся в следующем разделе.

Предварительно преобразуем условия Вейерштрасса-Эрдмана, используя более удобные обозначения. Условия (19) симметричны относительно обеих гладких ветвей решения $u^+(x)$, $u^-(x)$. Однако при построении решения (численном или аналитическом) одна из ветвей может быть найдена до построения поверхности $\Gamma$, а для построения другой ветви требуется знание поверхности $\Gamma$. В обозначении ветви $u^+(x)$ опустим знак плюс, а ветвь $u^-(x)$ будем обозначать через $v(x)$, используя для градиентов обозначе-
ния $p, q$.

Для определенности будем полагать известной ветвь $v(x)$, $q(x)$, точнее, некоторое ее гладкое расширение на область $G$. Подставив значения $v(x), q(x)$ в левую часть равенств (19), будем рассматривать эти части как функции величин $(x,u,p)$, обозначаемые соответственно через $H(x,u,p)$, $R(x,u,p)$. Искомым объектом будем считать поверхность $\Sigma^+$ в (20). На ней оказываются выполненными следующие три необходимых условия оптимальности:

$$H(x,u,p)=F(x,u,p)-F(x,v(x),q(x)) -{}$$

$${}-\left<F_q(x,v(x),q(x)),p-q(x)\right>=0,$$

$$R(x,u,p)=\left<F_p(x,u,p)-F_q(x,v(x),q(x)),p-q(x)\right>=0, \eqno (21)$$

$$F_1(x,u)=u-v(x)=0.$$

Первые два равенства представляют собой модифицированные условия Вейерштрасса-Эрдмана, а последнее равенство выражает собой просто условие непрерывности на $\Gamma$ решения задачи (1). Это условие выглядит тривиальным, но оно является необходимым дополнением к условиям
Вейерштрасса-Эрдмана для применения метода сингулярных характеристик.

Другое наблюдение состоит в том, что второе условие Вейерштрас-
са-Эрдмана выражается через первое условие в терминах скобок Якоби следующим образом:

$$R(x,u,p)=\{F_1H\}=\left<H_p(x,u,p),p-q\right> \,\,(H_p=F_p-F_q), \eqno (22)$$

где $\{FG\}=\left<F_x+pF_u,G_p\right>-\left<G_x+pG_u,F_p\right>$ - скобки Якоби, которые превращаются в скобки Пуассона при отсутствии зависимости от $u$. Подобная зависимость обязательно присутствует в условии непрерывности $F_1(x,u)=0$, если даже лагранжиан $F$ в (1) не зависит от $u$.

Соотношение (22) предлагает инвариантную интерпретацию условий Вейерштрасса-Эрдмана.

Таким образом, условия (21) определяют в $R^{2n+1}$ следующее многообразие $W_3$, вообще говоря, коразмерности $3$:

$$W_3:\quad H(x,u,p)=0,\, R(x,u,p)=\{F_1H\}=0,\, F_1(x,u)=0. \eqno (23)$$

Это многообразие составляет необходимый компонент метода постро-
ения $\Gamma$.

3.2 Метод сингулярных характеристик

Некоторые задачи в теории нелинейных уравнений в частных производных первого или второго порядка на геометрическом языке сводятся к отысканию интегральных поверхностей $\Sigma$ $1$-формы $\alpha=du-p\,dx$ или их проекций $\Gamma$ на подпространство $R^n_x$. При этом общая размерность $\Sigma$ и $\Gamma$ может быть равна $n, n-1,...,1$. Поверхности (20), в частности, имеют размерность $n-1$. Задача Коши для уравнения первого порядка формулируется в терминах $n$-мерной поверхности $\Sigma_0$, причем начальные условия определяют $(n-1)$-мерную поверхность $\Sigma_1\subset \Sigma_0$ (начальную полоску). Известно, что построение $\Sigma_0$, а вместе с ней и гладкого решения уравнения $H(x,u,p)=0$, сводится к интегрированию системы регулярных (классических) характеристик

$$\dot x = H_p, \qquad \dot u = \langle p, H_p \rangle,\qquad \dot p = - H_x - pH_u \eqno (24)$$

с многообразием $\Sigma_1$ в качестве начальных условий.

Метод сингулярных характеристик состоит в том, что система (24) обобщается для построения поверхностей $\Sigma$ меньшей размерности. Приведем описание метода для случая коразмерности $1$. В этом случае искомая $(n-1)$-мерная поверхность $\Sigma_1$ и начальная $(n-2)$-мерная поверхность $\Sigma_2$ должны принадлежать подмногообразию $W_3\subset R^{2n+1}$ коразмерности $3$:

$$W_3:\quad F_0(x,u,p)=0,\qquad F_1(x,u,p)=0,\qquad F_{-1}(x,u,p)=0, \eqno (25)$$

где функции $F_i(x,u,p)$ определяются условиями задачи, как это имеет место в (23). Модифицированная характеристическая система имеет тот же вид (24), однако вместо $H$ используется сингулярный гамильто-
ниан $H^{\sigma}$:

$$\mu H^{\sigma} = \{F_1F_0\}F_{-1} + \{F_0F_{-1}\}F_1 + \{F_{-1}F_1\}F_0. \eqno (26)$$

Здесь $\mu$ - ненулевой множитель однородности, выбираемый из соображений удобства. Ограничение подобной системы на $W_3$ представляет собой касательное поле, именно оно используется в построениях.

Полную формулировку теоремы, гарантирующей единственность (в малом) искомой поверхности $\Sigma$, можно найти в [10, 11]. Основное требование к функциям $F_i(x,u,p)$ сводится к тому, чтобы вектор $H^{\sigma}_p$ был трансверсален (не касался) проекции $\Gamma_2$ начальной поверхности $\Sigma_2$. Из этого, в частности, следует, что все коэффициенты линейной комбинации (26) (скобки Якоби) не могут одновременно обратиться в ноль.

Используя в (25), (26) функции (23), приняв $\mu=\{\{F_1F\}F_1\}$ и записав систему (24) в терминах полученного $H^{\sigma}$, придем к следующей системе сингулярных характеристик:

$$\dot x=H_p,\quad \dot u=\left< p,H_p \right>, \quad \dot p=-... ...pH_u-\frac{\{\{HF_1\}H\}}{\{\{F_1H\}F_1\}}(p-q(x)). \eqno (27)$$

Начальным многообразием $\Sigma_2$ для системы (27), в частности, может служить некоторая надстройка над подмногообразием $\Gamma_2\subset \partial G$, $\mathrm{dim}\,\Gamma_2=n-2$, на котором имеет место негладкость граничных условий.

Система (27) описывает один из типов сингулярных характеристик нелинейного уравнения в частных производных первого порядка
$H(x,u,p)=0$. Роль системы (27) для уравнения второго порядка (3) заключается в том, что она описывает распространение возмущений (негладкости) решения; с ее помощью, в частности, можно находить область границы $\partial G$, которая влияет на значение решения в данной точке облас-
ти $G$.

В теории дифференциальных игр система (27) является сингулярной характеристикой уравнения Беллмана-Айзекса и описывает так называемые особые экивокальные траектории.

3.3 Квадратичный лагранжиан

В некоторых задачах математической физики лагранжиан является квадратичной функцией вектора $p$:

$$F(x,u,p)={1\over 2}\left<A(x,u)p,p\right>. \eqno (28)$$

Здесь $A$ - симметричная квадратная матрица, элементы которой $a_{ij}$ могут зависеть лишь от $x,u$. Вычисления показывают, что гамильтониан $H(x,u,p)$, функция $R(x,u,p)$ и скобки Якоби в соотношениях (21), (27) в случае квадратичного лагранжиана принимают вид

$$H(x,u,p)\equiv{1\over 2}\left<A(x,u)(p-q(x)),p-q(x)\right>\equiv F(x,u,p-q(x)),$$

$$R(x,u,p)\equiv\{F_1H\}\equiv 2H(x,u,p), \eqno (29)$$

$$\{\{F_1H\}F_1\}\equiv -4H,\qquad \{\{HF_1\}H\}\equiv 0.$$

При этом две из трех функций $F_i(x,u,p)$ в (25), (23) совпадают, многообразие $W_3$ имеет коразмерность не более двух, тем самым нарушаются условия единственности поверхности $\Sigma_1$. В самом деле, выбрав произвольно недостающее третье условие в (25), (23), можно получать различные поверхности $\Sigma_1$. Можно показать, однако ([11]), что проекция $\Gamma_1$ при этом будет одной и той же, а для построений можно использовать систему регулярных характеристик (24) с гамильтонианом (29). Последняя система после дальнейшего упрощения приводится к виду

$$\dot x=F_{\xi}, \qquad \dot \xi =-F_x -qF_u,\qquad \dot u = \left<q,F_{\xi}\right> \qquad (\xi=p-q), \eqno (30)$$

где $q=q(x)$ - известная функция. Поскольку на поверхности $\Gamma$ решение задачи непрерывно, то последнее уравнение можно отделить от первых двух, положив в них $u=v(x)$.