2. Вариационная задача в области

2.1 Негладкие решения уравнения Эйлера-Лагранжа

Рассмотрим следующую вариационную задачу в области относительно неизвестной (искомой) скалярной функции $u(x)$, $x \in G \subset R^n$:

$$J = \int\limits_G{F(x, u(x), p(x))dx}\;\to\; \mathrm{extr} \qquad (p = \partial u/ \partial x),\eqno (1)$$

$$B[u(x)]\Big\vert _{x\in \partial G} = 0.$$

Конкретный вид граничных условий $B[u(x)] = 0$, который зависит от типа задачи и включает задание на различных частях границы значений самой функции или её частных производных, для дальнейших рассмотрений не существенен. Функционал (1) рассматривается на множестве

$$U=\{u^*(x),G_*\},\eqno (2)$$

элементами которого являются пары $(u^*(x),G_*)$, состоящие из непрерывной функции $u^*(x)$, определенной и дважды кусочно-непрерывно дифференцируемой в области $G_*$. Для краткости это будем обозначать как $u^*(x)\in PC^2(G_*)$. Область $G_*$, вообще говоря, своя для каждой функции. Таким образом, рассматривается задача с нефиксированной (варьируемой) границей. Лагранжиан $F$ предполагается непрерывно дифференцируемым достаточное число раз.

Известно, что дважды дифференцируемое решение задачи (1) удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа - квазилинейному дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка

$$F_u - \mathrm{div} F_p = 0, \qquad x \in G \qquad \left(\mat... ...^n_{i=1}{ \partial \over \partial x_i}F_{p_i}\right).\eqno (3)$$

Решением вариационной задачи (1), вообще говоря, может быть негладкая функция класса (2). Такие функции удовлетворяют уравнению Эйлера только в точках дифференцируемости. Без дополнительных требований на поверхностях потери гладкости решение, вообще говоря, может быть неединственным. Для того чтобы рассматривать решения уравнения (3) в классе кусочно гладких функций (2), определим решение как функцию класса $PC^2(G)$, удовлетворяющую равенству

$$\delta J[u(x);\delta u(x)]=0 \eqno (4)$$

для всех допустимых вариаций $\delta u(x)$ функции $u(x)$. Здесь $\delta J$ - первая вариация функционала (1), соответствующая вариации функции $\delta u(x)$. Класс допустимых вариаций $\delta u(x)$ будет уточнен ниже. Таким образом, обобщенное решение в точках гладкости удовлетворяет уравнению (3), а в точках потери гладкости - некоторым другим следствиям из соотно-
шения (4).

Отметим, что для уравнений в частных производных второго порядка вида (3), т.е. являющихся уравнением Эйлера-Лагранжа, можно определить обобщенное решение на основе вариационного принципа. Для уравнений другого вида обобщенное решение определяется с привлечением других свойств математического или физического характера.

2.2 Формула первой вариации

Область определения функционала (1), множество $U$ в (2), не является линейным пространством, поскольку область $G$ подвижна. Поэтому первая вариация определяется не как производная по направлению, а с помощью дифференцирования вдоль кривой на многообразии $U$, которая представляет собой однопараметрическое семейство допустимых функций вида: $(u(x, \varepsilon ),G_{ \varepsilon })$, $\vert \varepsilon \vert\le \varepsilon _0$. Рассмотрим семейство обратимых преобразований друг в друга $n$-мерных пространств $R^n_x$, $R^n_y$ (однопараметрическую группу)

$$R^n_x\to R^n_y:\quad y=\Phi(x, \varepsilon ),\qquad \Phi(x,0)=x, \eqno (5)$$

$$R^n_y\to R^n_x:\quad x=\Psi(y, \varepsilon ),\qquad \Psi(y,0)=y,$$

$$\Phi(\Psi(y, \varepsilon ), \varepsilon )=y,\qquad \Psi(\Phi... ...repsilon )=x,\qquad \vert \varepsilon \vert\le \varepsilon _0,$$

где $\Phi=(\Phi_1,\dots,\Phi_n)$, $\Psi=(\Psi_1,\dots,\Psi_n)$ - гладкие вектор-функции.

Определим также вектор-функцию $\phi(x)=(\phi_1,\dots,\phi_n)$ и область
$G_{ \varepsilon }\subset R^n_y$

$$\phi(x)={ \partial \Phi(x,0)\over \partial \varepsilon } =-{ \partial \Psi(x,0)\over \partial \varepsilon }, \eqno (6)$$

$$G_{ \varepsilon }=\{y\in R^n_y:\;y=\Phi(x, \varepsilon ),\;x\in G_0\}.$$

Зафиксируем два элемента множества $U$: $(u(x),G)$, $(h(x),G)$, где $u(x)$, $h(x)$ - гладкие функции, причем $G=G_0$. Определим однопараметрическое семейство допустимых функций соотношением

$$(w(y, \varepsilon ),G_{ \varepsilon }):\;w(y, \varepsilon )=... ...Psi(y, \varepsilon )),\qquad y\in G_{ \varepsilon }, \eqno (7)$$

где $G_{ \varepsilon }$ задано в (6). При $\varepsilon =0$ получаем $G_{ \varepsilon }=G_0=G$ и $w(y,0)=w(x,0)=u(x)$, поскольку $y=x$. Для функции $w(x,0)$ будем использовать также обозначение $u_0(x)$, с тем чтобы рассматриваемая точка многообразия $U$ имела вид $(u_0(x),G_0)$. Таким образом, семейство (7) представляет собой некоторую кривую на многообразии $U$, проходящую через точку $(u_0(x),G_0)$.

Первая вариация функционала (1), соответствующая допустимой функции $(u_0(x),G_0)$ и вариации $\delta u(x)$ (уточняемой ниже) этой функции, определяется равенством

$$\delta J[u(x);\delta u(x)]=\left. {dJ( \varepsilon )\over d \varepsilon }\right\vert _{ \varepsilon =0}, \eqno (8)$$

$$J( \varepsilon ) = \int\limits_{G_{ \varepsilon }}F\Big(y, w... ...lon ), { \partial w(y, \varepsilon )\over \partial y}\Big)dy.$$

Для вычисления производной по $\varepsilon$ удобно привести кратный интеграл по переменной $y$ в области $G_{ \varepsilon }$ путем замены переменных к интегралу по переменной $x$ в стандартной области $G_0$, не зависящей от $\varepsilon$,

$$J( \varepsilon ) = \int\limits_{G_0}F\Big(\Phi(x, \varepsilo... ...g\vert{ \partial \Phi\over \partial x}\Big\vert\,dx, \eqno (9)$$

где $\vert \partial \Phi/ \partial x\vert$ - якобиан преобразования (5). Дифференцирование по $\varepsilon$ в (8) сводится к дифференцированию подынтегрального выражения в (9):

$$\left. {d\over d \varepsilon }\Big(F\Big\vert{ \partial \Phi... ...ver d \varepsilon }F\right\vert _{ \varepsilon =0}, \eqno (10)$$

$$\begin{eqnarray*} \left.{d\over d \varepsilon }F\right\vert _{ \varepsilon =0}= ... ... \partial ^2 w(x,0)\over \partial y \partial \varepsilon }\Big>. \end{eqnarray*}$$

Преобразуя это выражение, используя свойства группы (5), можно получить следующую формулу для первой вариации:

$$\delta J = \int\limits_{G_0}\bigg[(F_u- \mathrm{div} F_p){ \... ...er \partial \varepsilon }F_p+F\phi(x)\Big)\bigg]dx. \eqno (11)$$

Производная ${ \partial w(x,0)/ \partial \varepsilon }$ выражается через функции $\phi(x)$, $u(x)$ и $h(x)$ следующим образом:

$${ \partial w(x,0)\over \partial \varepsilon }=\bar h(x)\equi... ...)- \Big<{ \partial u(x)\over \partial x},\phi\Big>. \eqno (12)$$

Функция $h(x)$, вообще говоря, не исчезает на границе $\partial G$ и должна быть согласована с граничными условиями в (1). Таким образом, первая вариация (11) представляет собой линейный функционал от двух функций: скалярной функции $h(x)$ и векторной функции $\phi(x)$, которые, по определению, в совокупности составляют вариацию номинальной функции

$$\delta u(x)=(h(x),\phi(x))=(h(x),\phi_1(x),\dots,\phi_n(x)). \eqno (13)$$

Используя формулу Остроградского-Гаусса и соотношение (12), можно привести формулу (11) для первой вариции к виду

$$\delta J = \int\limits_G[(F_u- \mathrm{div} F_p)\bar h(x)+ \mathrm{div} (\bar h(x)F_p+F\phi(x))]dx \eqno (14)$$

$$=\int\limits_G(F_u- \mathrm{div} F_p)\bar h(x)dx +\int\limits_{ \partial G}\left<\bar h(x)F_p+F\phi(x),n(x)\right>d\sigma,$$

где $n(x)$ - внешняя нормаль к границе области $G$ в точке $x\in \partial G$, $d\sigma$ - элемент площади поверхности. Здесь предполагается, что функция $u(x)$ дважды гладкая, а поверхность $\partial G$ - кусочно-гладкая. Из формулы (14) видно, что для первой вариации функционала существенны значения функции $\phi(x)$ лишь в граничных точках области $G$.

Для вариаций (13) с фиксированной границей и граничными значениями, т.е. когда функция $\phi(x)$ исчезает во всей области, а функция $h(x)$ - лишь на границе $\partial G$, равенство нулю первой вариации (14) влечет за собой уравнение Эйлера (3) (основная лемма вариационного исчисления).

2.3 Необходимые условия для поверхности негладкости решения

Пусть пара $(u(x),G)$ является решением задачи (1) и существует гладкая поверхность $\Gamma\subset G$, разделяющая область $G$ на две открытые подобласти $G^-$, $G^+$: $G=G^-+\Gamma+G^+$. Предположим, что функция $u(x)$ является непрерывной в области $G$ и дважды гладкой в каждой из областей $G^-$, $G^+$, а ее градиент терпит разрыв на $\Gamma$. Через $u^-(x), u^+(x)$ будем обозначать ограничение функции $u(x)$ на области $G^-$, $G^+$, а для их градиентов введем обозначение

$$p={ \partial u^-(x)\over \partial x},\quad x\in G^-; \qquad q={ \partial u^+(x)\over \partial x},\quad x\in G^+. \eqno (15)$$

Итак, $u^-(x)\in C^2(G^-)$, $u^+(x)\in C^2(G^+)$, причем векторы $p(x)$, $q(x)$, по предположению, имеют непрерывное продолжение из области $G^-$, $G^+$
вплоть до поверхности $\Gamma$.

Для вывода необходимых условий оптимальности представим функционал $J$ как сумму двух функционалов $J^-,J^+$, определенных в областях $G^-,G^+$ соответственно. Таким образом, $\delta J=\delta J^-+\delta J^+$, причем вариации $\delta J^-$, $\delta J^+$ соответствуют вариациям

$$\delta u^-(x)=(h^-(x),\phi(x)),\qquad \delta u^+(x)=(h^+(x),\phi(x)), \eqno (16)$$

$$h^-(x)=h^+(x)=h(x),\qquad x\in \Gamma.$$

Последние два равенства здесь следуют из непрерывности решения $u(x)$ в области $G$. Предположим, что граница $\partial G$ исходной области фиксирована, функции $u^-(x), u^+(x)$ удовлетворяют уравнению Эйлера в областях $G^-,G^+$, их значения на $\partial G$ фиксированы, а варьируются только общая часть $\Gamma$ границ областей $G^-,G^+$ и общее значение этих функций на $\Gamma$. Первая вариация функционала, которая должна обращаться в нуль на всех допустимых вариациях (16), принимает вид

$$\delta J= \int\limits_{\Gamma}\Big[h^-\left<F_p,n\right>-h^+\left<F_q,n\right>+{}$$

$${}+\big<(F(x,u,p)-F(x,u,q))n - \left<F_p,n\right>p+\left<F_q,n\right>q, \phi\big>\Big]d\sigma. \eqno (17)$$

По основной лемме вариационного исчисления из условия $\delta J=0$ следует, что скалярный множитель при $h(x)$ и векторный множитель при $\phi(x)$ исчезают на $\Gamma$:

$$\left<F_p-F_q,n\right>=0, \eqno (18)$$

$$(F(x,u,p)-F(x,u,q))n - \left<F_p,n\right>p+\left<F_q,n\right>q=0.$$

Заметим, что вследствие непрерывности функции $u(x)$ вектор $p-q$ ортогонален поверхности $\Gamma$, т.е. коллинеарен вектору $n$. Поэтому для некоторой ненулевой скалярной величины $\lambda$ имеет место равенство

$$n=\lambda(p-q),\qquad x\in \Gamma,$$

которое, в частности, приводит к соотношению

$$\left<F_q,n\right>(p-q)=\left<F_q,p-q\right>n.$$

Данное равенство вместе с первым равенством (18) позволяет привести второе равенство (18) к виду

$$[F(x,u,p)-F(x,u,q) - \left<F_q,p-q\right>]n=0,$$

означающему, что левая часть второго равенства (18) также коллинеарна вектору $n$. Поскольку $n$ - ненулевой (единичный) вектор, то должен обратиться в ноль скалярный множитель при нем. Таким образом, скалярное и векторное равенства (18) эквивалентны двум следующим скалярным равенствам, выполненным на поверхности $\Gamma$:

$$F(x,u,p)-F(x,u,q) - \left<F_q,p-q\right>=0, \eqno (19)$$

$$\left<F_p-F_q,p-q\right>=0.$$

Равенства (19) представляют собой обобщение условий Вейерштрасса-Эрдмана для угловой точки решения вариационной задачи с одной независимой переменной.