4. Пример

4.1 Формулировка задачи

Рассмотрим двумерную задачу (1) с квадратичным лагранжианом вида

$$F(x,u,p)={1\over 2}(-\alpha(u)p_1^2+p_2^2)={1\over 2}\left<A(u)p,p\right>. \eqno (31)$$

Матрица $A$ здесь является диагональной, а ее элементы имеют следующие свойства:

$$\alpha_{11}=\mathrm{det}(A(u))=-\alpha(u)<0,\qquad \alpha_{12}=\alpha_{21}=0,\qquad \alpha_{22}=1, \eqno (32)$$

т.е. функция $\alpha(u)$ положительна для всех значений $u$.

Для точек множества $G$ введем покомпонентное обозначение: $x=x_1$, $y=x_2$. Область $G$ представляет собой прямоугольник, лежащий в полуплоскости $y> 0$, причем нижняя сторона лежит на оси абсцисс, а ее середина совпадает с началом координат. Более точное описание области не требуется, поскольку рассмотрения носят локальный характер и относятся к окрестности начала координат. Уравнение Эйлера (3) с учетом (31) и соответствующие граничные условия имеют вид

$${ \partial ^2 u\over \partial y^2}=\alpha(u){ \partial ^2 u\... ...alpha'(u)\Big({ \partial u\over \partial x}\Big)^2, \eqno (33)$$

$$u(x,0)=w(x),\qquad { \partial u(x,0)\over \partial y}=\psi(x).$$

Функции $w(x),\psi(x)$ являются дифференцируемыми всюду, за исключением точки $x=0$, в которой функция $w(x)$ может иметь угловую точку, а функция $\psi(x)$ - разрыв первого рода.

Уравнение (33) является квазилинейным волновым уравнением со скоростью звука $a(u)=\sqrt{\alpha(u)}$, зависящей от решения $u$. Его также называют вариационным волновым уравнением. Использование коэффициента $\alpha$ вместо традиционного $a^2$ несколько упрощает дальнейшие выкладки.

4.2 Начальные условия

Особенности функций $w(x),\psi(x)$ в начале координат могут быть причиной негладкости решения, т.е. породить несколько слабых волн, распространяющихся из точки $(0,0)$ в область $G$.

Предположим, что число волн равно $m$ и что они трансверсальны оси абсцисс и не касаются друг друга в начале координат. Эти волны делят верхнюю полуплоскость на $m+1$ секторов. В каждом из секторов по предположению решение является дважды гладким и в линейном приближении имеет вид

$$u_i(x,y)=a_ix+b_iy+c,\qquad i=1,\dots,m+1, \eqno (34)$$

$$a_i={ \partial u_i(0,0)\over \partial x},\qquad b_i={ \partial u_i(0,0)\over \partial y},\qquad c=u_i(0,0)=w(0).$$

Здесь постоянная $c=w(0)$ - общее для всех ветвей значение в начале координат. Пусть $k_i$ означает угловой коэффициент касательной к $i$-й волне в начале координат. В силу непрерывности решения две соседние ветви (34) равны друг другу на общей линии слабого разрыва. Отсюда следует, что параметры $k_i$ связаны с величинами $a_i,b_i$ соотношениями

$$a_{i+1}-a_i+ k_i(b_{i+1}-b_i)=0, \qquad i=1,\dots,m. \eqno (35)$$

Из общего числа $3(m+1)$ параметров

$$c,\quad k_1,\dots,k_m,\qquad a_1,\dots,a_{m+1},\qquad b_1,\dots,b_{m+1}$$

5 параметров заданы:

$$c=w(0),\qquad a_1={ \partial w(+0)\over \partial x},\qquad b_1=\psi(+0),\quad$$

$$a_{m+1}={ \partial w(-0)\over \partial x},\qquad b_{m+1}=\psi(-0).$$

Число параметров, подлежащих определению, равно $3(m+1)-5=3m-2$. Эти параметры удовлетворяют $m$ уравнениям (35) и $m$ равенствам, вытекающим из условия Вейерштрасса-Эрдмана (в силу тождества $R\equiv 2H$ для квадратичного лагранжиана первые два равенства в (21) идентичны). Приравнивая число уравнений к числу неизвестных, $2m=3m-2$, находим возможное число волн $m=2$. Таким образом, искомыми величинами оказываются $k_1,k_2$, $a_2,b_2$.

Два совпадающих условия Вейерштрасса-Эрдмана

$$R(x,u,p)=2H(x,u,p)=\left<A(x,u)(p-q),p-q\right>=0$$

приводят к следующему квадратному уравнению относительно $k$:

$$\alpha_{11}k^2-2\alpha_{12}k+\alpha_{22}=0\qquad \left(k=-{a_i-a_{i+1}\over b_i-b_{i+1}}\right),$$

$$k_1=\frac{\alpha_{12}-\sqrt{\alpha_{12}^2-\alpha_{11}\alpha_... ...2}+\sqrt{\alpha_{12}^2-\alpha_{11}\alpha_{22}}} {\alpha_{11}}.$$

Элементы матрицы $A$ здесь рассматриваются в начале координат: $\alpha_{ij}=\alpha_{ij}(0,0,c)$. Коль скоро величины $k_1>k_2$ известны, коэффициенты $a_2,b_2$ могут быть найдены из уравнений

$$k_1=-{a_2-a_1\over b_2-b_1},\qquad k_2=-{a_3-a_2\over b_3-b_2}.$$

При этом

$$a_2={k_1a_3-k_2a_1\over k_1-k_2}+{k_1k_2\over k_1-k_2}(b_3-b_1),$$

$$b_2={a_1-a_3\over k_1-k_2}+{k_1b_1+k_2b_3\over k_1-k_2}.$$

Подставив в полученные формулы элементы матрицы (32), получим следующие выражения:

$$k_1={1\over\sqrt{\alpha_0}},\qquad k_2=-k_1=-{1\over\sqrt{\alpha_0}}\qquad (\alpha_0=\alpha(c)),$$

$$a_2={a_3+a_1\over 2}-{1\over 2\sqrt{\alpha_0}}(b_3-b_1),\eqno (36)$$

$$b_2={b_3+b_1\over 2}-{\sqrt{\alpha_0}\over 2}(a_3-a_1).$$

4.3 Уравнения сингулярных характкристик

Далее для определенности будем рассматривать одну из слабых волн $\Gamma$, соответствующую коэффициенту $k_1$, и сектор $G^+$ (один из трех) полуплоскости $y\ge 0$, ограниченный этой волной и положительной полуосью $y= 0$, $x\ge 0$. Через $v(x,y)$ будем обозначать гладкую ветвь решения $u(x,y)$ в этом секторе. Гамильтониан (29) для рассматриваемой задачи имеет вид

$$H(x,y,u,p_1,p_2)=F(x,y,u,\xi_1,\xi_2)={1\over 2}(-\alpha(u)\xi_1^2+\xi_2^2),$$

$$\xi_1=p_1-q_1(x,y),\qquad \xi_2=p_2-q_2(x,y),\qquad q_1={ \p... ...al v\over \partial x},\quad q_2={ \partial v\over \partial y}.$$

Используя покомпонентное обозначение $\xi=\xi_1$, $\gamma=\xi_2$, можно записать уравнения сингулярных характеристик, определяющих кривую $\Gamma$, в виде

$$\dot x=-\alpha(u)\xi,\qquad \dot y=\gamma,\qquad \dot u=-q_1\alpha(u)\xi+q_2\gamma, \eqno (37)$$

$$\dot\xi={1\over 2}q_1\alpha'(u)\xi^2,\quad \dot\gamma={1\over 2}q_2\alpha'(u)\xi^2.$$

Начальные условия для системы (37) с использованием (36) принимают вид

$$x(0)=0,\qquad y(0)=0,\qquad u(0)=c, \eqno (38)$$

$$\xi(0)=\xi_0=a_2-a_1={a_3-a_1\over 2}-{1\over 2\sqrt{\alpha_0}}(b_3-b_1),$$

$$\gamma(0)=\gamma_0=b_2-b_1={b_3-b_1\over 2}-{\sqrt{\alpha_0}\over 2}(a_3-a_1) =-\xi_0\sqrt{\alpha_0}.$$

Для интегрирования системы (37) необходимо предварительно найти и подставить в нее градиент

$$q_1(x,y)={ \partial v\over \partial x},\qquad q_2(x,y)={ \partial v\over \partial y}$$

гладкой ветви решения $v(x,y)$, определенной в некотором расширении сектора $G^+$.

4.4 Асимптотика решения в окрестности начала координат

В окрестности начала координат кривая $\Gamma$ является графиком некоторой функции $y=g_1(x)$, ряд Тейлора которой с точностью до нескольких первых членов разложения имеет вид:

$$y=Y_1x+Y_2{x^2\over 2}+Y_3{x^3\over 6}. \eqno (39)$$

По определению величины $k_1$ для первого коэффициента в (39) имеем $Y_1=k_1$ $=1/\sqrt{\alpha_0}$. Целью дальнейших рассмотрений является нахождение второго коэффициента $Y_2$.

Рассмотрим разложения с точностью до кубических членов для граничных функций

$$\begin{array}{c} w(x)=c+a_1x+A_1{x^2\over 2}+D_1{x^3\over 6}... ... [2ex] \psi(x)=b_1+B_1x+E_1{x^2\over 2} \end{array} \eqno (40)$$

для первичного решения $v(x,y)$:

$$v(x,y)=c+a_1x+b_1y+{1\over 2}(A_1x^2+2B_1xy+C_1y^2)+{}$$

$${}+{1\over 6}(D_1x^3+3E_1x^2y+3F_1xy^2+G_1y^3) \eqno (41)$$

и для функции $\alpha(u)=\alpha(v)$, поскольку на $\Gamma$ имеет место $u=v$:

$$\alpha(v)=\alpha_0+\alpha_1(v-c)+\alpha_2{(v-c)^2\over 2}+ \alpha_3{(v-c)^3\over 6}. \eqno (42)$$

В некоторых разложениях использованы одинаковые параметры
$c,a_1,b_1$,$A_1,B_1$ ,$D_1,E_1$, что вытекает из граничных условий. Остальные коэффициенты $C_1,F_1,G_1$ могут быть найдены путем подстановки рядов (40)-(42) в уравнение Эйлера (33):

$$C_1=A_1\alpha_0+a_1^2{\alpha_1\over 2},\qquad F_1=D_1\alpha_0+2a_1A_1\alpha_1+a_1^3{\alpha_2\over 2}, \eqno (43)$$

$$G_1=E_1\alpha_0+(b_1A_1+a_1B_1)\alpha_1+a_1^2b_1{\alpha_2\over 2}.$$

Подставим также в систему (37) разложения

$$x=x_1t+x_2{t^2\over 2}+x_3{t^3\over 6},\qquad y=y_1t+y_2{t^2\over 2}+y_3{t^3\over 6}, \eqno (44)$$

$$\xi=\xi_0+\xi_1t+\xi_2{t^2\over 2}+\xi_3{t^3\over 6},\qquad ... ...=\gamma_0+\gamma_1t+\gamma_2{t^2\over 2}+\gamma_3{t^3\over 6},$$

используя для $u$ значение $u=v$.

Первые два равенства в (44) дают параметрическое представление кривой (39). Поэтому

$$Y_1={y_1\over x_1},\qquad Y_2={x_1y_2-x_2y_1\over x_1^3},\qq... ..._3={x_1y_3-x_3y_1\over x_1^4}-3Y_2{x_2\over x_1^2}. \eqno (45)$$

Используя разложения (40)-(44) в системе (37), можно найти следующие коэффициенты рядов (44):

$$x_1=-\xi_0\alpha_0,\qquad x_2=-\alpha_0\xi_1 -\alpha_1\xi_0(a_1x_1+b_1y_1),$$

$$y_1=\gamma_0,\qquad y_2=\gamma_1,\qquad \xi_1={1\over 2}a_1\alpha_1\xi_0^2, \qquad \gamma_1={1\over 2}b_1\alpha_1\xi_0^2,$$

с помощью которых выражение для $Y_2$ в (45) принимает вид

$$Y_2= \ -{1\over 2}\ {{\alpha_1(b_1+a_1\sqrt{\alpha_0})}\over\alpha^2_0}.$$

В зависимости от знака $Y_2$ кривая $\Gamma$ может быть выпуклой или вогнутой в окрестности начала координат. Анализ ее поведения в большом требует численных расчетов.

Поступила 1.09.2000