5. Условия для нахождения левосторонних решений

Приведем условия, при выполнении которых множество $\mathrm{Sol}$ не пусто, и далее определим конструкцию, которая позволит определить функцию $c_{0}(\cdot): G^{*} \rightarrow R^1 ,$ заданную соотношением (4.2).

Обозначим

$$N=\{ (x, \alpha) \in R^n \times R^1 : Z (0;\theta, x, \alpha) \subset \mathrm{epi}\ \sigma (\cdot) \}$$ (5.1)

Поскольку функция $\sigma(\cdot) : R^n \rightarrow R^1$ непрерывна, то нетрудно установить, что множество $N$ замкнуто.

Теорема 2   Предположим, что множество $N\subset R^n \times R^1,$ определенное соотношением $(\ref{5.1})$, не пусто и выполняется соотношение

$$\mathrm{epi}\ \sigma (\cdot) = Z (0;\theta, N).$$ (5.2)

Пусть функция $s(\cdot):G^{*} \rightarrow R^1$ определена соотношением

$$s(t, x)=\inf \,\{ \alpha \in R^1 :(t, x, \alpha )\in \tilde{H}_{-}(\theta, N) \} .$$ (5.3)

Тогда $s(\cdot)\in \mathrm{Sol},$ т.е. $\mathrm{Sol}\neq \hbox{\O} ,$ $s(t, x)=c_{0}(t, x)$ при всех $(t, x)\in G^{*},$ где функция $c_{0}(\cdot)$ определена соотношением $(\ref{4.2})$, и, более того, в соотношении $(\ref{5.3})$ инфимум можно заменить минимумом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из соотношений (5.1)-(5.3) следует, что $s(0, x)=\inf \{ \alpha \in R^1 :(x, \alpha )\in \tilde{X}_{-}(0;\theta, N) \} =... ...{ \alpha \in R^1 :(x, \alpha )\in \mathrm{epi}\ \sigma (\cdot) \} = \sigma (x).$ Значит, функция $s(\cdot)$ удовлетворяет начальному условию (3.1).

Можно показать, что

$$s(t, x) \geq \omega (\theta -t, x) \quad \hbox{при всех} \quad G^{*} ,$$ (5.4)

где функция $\omega (\cdot): G^{*} \rightarrow R^1$ определена соотношением (4.3).

Поскольку функция $\omega_{*}(\cdot):G^{*} \rightarrow R^1$ непрерывна, и $\omega_{*}(t, x)>-\infty$ при всех $(t, x)\in G^{*},$ то

$$s(t, x)>-\infty \quad \hbox{при всех} \quad (t, x)\in G^{*}.$$ (5.5)

Обозначим

$$B(t, x)=\{ \alpha \in R^1 :(t, x, \alpha)\in \tilde{H}_{-}(\theta, N)\} ,$$

$$A(t, x)=\{ \alpha \in R^1 :(t, x, \alpha)\in \mathrm{epi}\ \omega (\cdot)\} .$$

Нетрудно установить, что множества $A(t, x)$, $B(t, x)$ замкнуты и $A(t, x)\neq \hbox{\O}$, $B(t, x)\neq \hbox{\O}$ при всех $(t, x) \in G^{*}.$ Тогда

$$s(t, x)=\inf \,\{ \alpha \in R^1 :\alpha \in B(t, x)\} .$$ (5.6)

Учитывая, что $B(t, x)\neq \hbox{\O}$ при всех $(t, x)\in G^{*},$ из соотношения (5.6) имеем $s(t, x) \leq \infty$ при всех $(t, x) \in G^{*}.$

Очевидно, что $B(t, x)\subset A(t, x)$ при всех $(t, x) \in G^{*}.$ Поскольку множество $A(t, x)$ при любых фиксированных $(t, x) \in G^{*}$ ограничено снизу, то, множество $B(t, x)$ тоже ограничено снизу при любых фиксированных $(t, x) \in G^{*}.$ Тогда из замкнутости множества $B(t, x)$ следует, что в соотношениях (5.3) и (5.6) инфимум можно заменить минимумом, т.е.

$$s(t, x)=\min \ \{ \alpha \in R^1 :(t, x, \alpha )\in \tilde{H}_{-}(\theta, N) \} .$$ (5.7)

Теперь покажем, что функция $s(\cdot):G^{*} \rightarrow R^1,$ определенная соотношением (5.7), полунепрерывна снизу.

Пусть $(t_{*}, x_{*})\in G^{*}.$ Возьмем произвольную последовательность $\{ (t_{k}, x_{k})\}_{k=1}^{\infty}$ такую, что $(t_{k}, x_{k})\rightarrow (t_{*}, x_{*})$ при $k\rightarrow \infty .$ Пусть $s(t_{k}, x_{k})=\alpha_{k},$ $k=1, 2, ...$ Согласно соотношению (5.4),

$$\alpha_{k}\geq \omega (\theta -t_{k}, x_{k}) \quad \hbox{при всех} \quad \ k=1, 2, ...$$ (5.8)

Поскольку функция $\omega (\cdot): G^{*} \rightarrow R^1$ непрерывна, а $(t_{k}, x_{k})\rightarrow (t_{*}, x_{*})$ при $k\rightarrow \infty ,$ то можно утверждать, что последовательность $\{ \alpha_{k}\}_{k=1}^{\infty}$ ограничена снизу. Не нарушая общности, положим, что $\alpha_{k}\rightarrow \alpha_{*}$ при $k\rightarrow \infty ,$ где $\alpha_{*}>-\infty,$ $\alpha_{k}>-\infty$ при всех $k=1, 2, ...$

Пусть $\alpha_{*}=+\infty.$ Поскольку $s(t_{*}, x_{*})<+\infty,$ то

$$\displaystyle {\lim_{k\rightarrow \infty}}s(t_{k}, x_{k})>s(t_{*}, x_{*}).$$ (5.9)

Теперь пусть $\alpha_{*}<+\infty.$ Так как $s(t_{k}, x_{k})=\alpha_{k},$ то согласно (5.7) $(t_{k}x_{k}, \alpha_{k}) \in \tilde{H}_{-}(\theta, N)$ при всех $k=1, 2, ...$ Поскольку $(t_{k}, x_{k}, \alpha_{k})\rightarrow (t_{*}, x_{*}, \alpha_{*})$ при $k\rightarrow \infty$ множество $\tilde{H}_{-}(\theta, N)$ замкнуто, то $(t_{*}, x_{*}, \alpha_{*})\in \tilde{H}_{-}(\theta, N).$ Отсюда и из соотношения (5.4) вытекает, что $s(t_{*}, x_{*}) \leq \alpha_{*},$ и, следовательно, $${\lim_{k\rightarrow \infty}} s(t_{k}, x_{k})\geq s(t_{*}, x_{*}).$$ Поскольку $\{ (t_{k}, x_{k})\}_{k=1}^{\infty}$ - произвольная последовательность, которая сходится к $(t_{*}, x_{*}),$ то, учитывая соотношения (5.9), можно заключить, что $${\liminf_{(t, x)\rightarrow (t_{*}, x_{*})}}s(t, x) \geq s(t_{*}, x_{*}).$$ А это означает, что функция $s(\cdot):G^{*} \rightarrow R^1$ полунепрерывна снизу.

Теперь покажем, что

$$\mathrm{epi}\ s(\cdot) =\tilde{H}_{-}(\theta, N).$$ (5.10)

Пусть $(t_{*}, x_{*}, \alpha_{*})\in \mathrm{epi}\ s(\cdot).$ Тогда $s(t_{*}, x_{*}) \leq \alpha_{*}.$ Обозначим $s(t_{*}, x_{*})=\alpha_{0}.$ Согласно (5.7) $(t_{*}, x_{*}, \alpha_{0})\in \tilde{H}_{-}(\theta, N).$ Нетрудно установить, что $(t_{*}, x_{*}, \alpha)\in \tilde{H}_{-}(\theta, N)$ при всех $\alpha\geq \alpha_{0}.$ Так как $\alpha_{*}\geq \alpha_{0},$ то $(t_{*}, x_{*}, \alpha_{*})\in \tilde{H}_{-}(\theta, N).$ Итак, мы доказали, что

$$\mathrm{epi}\ s(\cdot) \subset\tilde{H}_{-}(\theta, N).$$ (5.11)

Докажем, что

$$\tilde{H}_{-}(\theta, N) \subset \mathrm{epi}\ s(\cdot)$$ (5.12)

Пусть $(t_{*}, x_{*}, \alpha_{*})\in \tilde{H}_{-}(\theta, N).$ Тогда, согласно (5.7), $s(t_{*}, x_{*}) \leq \alpha_{*}$ и, следовательно, $(t_{*}, x_{*}, \alpha_{*})\in \mathrm{epi}\ s(\cdot).$ Итак, справедливость включения (5.12) доказана. Из (5.11) и (5.12) следует справедливость равенства (5.10).

Пользуясь соотношением (5.10), можно проверить, что $N = \mathrm{epi}\ s(\theta, \cdot).$ Отсюда и из (5.10) получаем, что

$$\mathrm{epi}\ s(\cdot)=\tilde{H}_{-}(\theta, \mathrm{epi}\ s(\theta, \cdot)).$$ (5.13)

Итак, доказали, что функция $s(\cdot):G^{*} \rightarrow R^1,$ определенная соотношением (5.3) (или же (5.7)), полунепрерывна снизу, удовлетворяет начальному условию (3.1) и соотношению (5.13).Тогда, согласно определению 3.1, $s(\cdot) \in \mathrm{Sol}$, т.е. функция $s(\cdot)$ является ЛР задачи (2.1)-(3.1).

Для полного доказательства теоремы осталось показать, что $s(t, x)=c_{0}(t, x)$ при всех $(t, x)\in G^{*},$ где функция $c_{0}(\cdot):G^{*} \rightarrow R^1$ определена соотношением (4.2).

Пусть $c_{1}(\cdot)\in \mathrm{Sol}$ - произвольное ЛР задачи (2.1)-(3.1). Покажем, что

$$s(t, x) \leq c_{1}(t, x) \quad \hbox{при всех} \quad (t, x)\in G^{*}.$$ (5.14)

Обозначим $N_{1}=\mathrm{epi}\ c_{1}(\theta, \cdot).$ Тогда из определения 3.1 ЛР следует, что

$$\mathrm{epi}\ c_{1}(\cdot)=\tilde{H}_{-}(\theta , N_{1}).$$ (5.15)

Поскольку $c_{1}(0, x)=\sigma(x)$ при всех $x\in R^n ,$ то из (5.15) получаем, что $\mathrm{epi}\ \sigma (\cdot)=Z(0, \theta , N_{1}).$ Тогда согласно соотношениям (5.1) и (5.2) имеем $N_{1}\subset N$ и, следовательно, $\tilde{H}_{-}(\theta , N_{1}) \subset \tilde{H}_{-}(\theta , N).$ Тогда из соотношений (5.10) и (5.15) следует, что $\mathrm{epi}\ c_{1}(\cdot) \subset \mathrm{epi}\ s(\cdot).$ Поскольку функции $c_{1}(\cdot):G^{*} \rightarrow R^1$ и $s(\cdot):G^{*} \rightarrow R^1$ полунепрерывны снизу, то получаем справедливость соотношения (5.14).

Так как $c_{1}(\cdot)\in \mathrm{Sol}$ - произвольное, то соотношение (5.14) справедливо для любого $c(\cdot)\in \mathrm{Sol}.$ А поскольку функция $s(\cdot)$ полунепрерывна снизу, то отсюда и из определения (4.2) функции $c_{0}(\cdot)$ вытекает, что $s(t, x)=c_{0}(t, x)$ при всех $(t, x) \in G^{*}.$

Итак, теорема доказана.