2. Предварительное обсуждение

Введем некоторые обозначения. Пусть $R^n$ - $n$-мерное пространство, $\theta >0$ - некоторое положительное число. $T= [0, \theta]$. Положим $G=(0, \theta)\times R^n,$ $G^{*}=[0, \theta] \times R^n.$ Символами $< \cdot , \cdot >$ и $\parallel \cdot \parallel$ обозначим скалярное произведение и евклидову норму в $R^n.$

Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка

$$\frac{\partial c(t, x)}{\partial t} + \xi(t, x, \frac{\partial c(t, x)}{\partial x}) =0,$$ (2.1)

где $(t, x)\in G.$ В дальнейшем будем полагать, что гамильтониан $\xi(\cdot) : G^{*} \times R^n \rightarrow R^1$ уравнения (2.1) удовлетворяет следующим условиям:

2a) функция $\xi(\cdot) : G^{*} \times R^n \rightarrow R^1$ непрерывна по совокупности аргументов;

2b) для любой ограниченной области $D\subset G^{*}$ существует $\lambda (D)>0$ такое, что

$$\mid \xi(t, x_{1}, s)-\xi(t, x_{2}, s)\mid \leq \lambda(D) \parallel x_{1}-x_{2}\parallel$$

при всех $(t, x_{1})\in D,$ $(t, x_{2})\in D,$ $s\in R^n ;$

2c) $${\max_{s_{1}, s_{2}\in R^n}} \ [\mid \xi(t, x, s_{1})-\xi(t, x, s_{2})\mid - L(t, x) \parallel s_{1}-s_{2}\parallel]\leq 0,$$ где $L(\cdot):G^{*} \rightarrow R^1$ непрерывна по совокупности аргументов, $L(t, x) \leq c(1+\parallel x \parallel )$ при всех $(t, x)\in G^{*},$ где $c=$const;

2d) $\xi(t, x, \alpha s)=\alpha \xi(t, x, s)$ при всех $(t, x, s)\in G^{*} \times R^n ,$ $\alpha \geq 0;$

2e) $\xi(t, x, \alpha s_{1}+(1-\alpha)s_{2}) \geq \alpha \xi(t, x, s_{1})+ (1-\alpha) \xi(t, x, s_{2})$ при всех $(t, x)\in G^{*},$ $s_{1}, s_{2}\in R^n$ и $\alpha \in [0, 1].$

Обозначим

$$F(t, x)= \{ f\in R^n: \displaystyle {\min_{s\in R^n}} \ [<s, f> -\xi(t, x, s)] \geq 0\}.$$ (2.2)

Рассмотрим дифференциальное включение (ДВ)

$$\dot{x}(t) \in F(t, x(t)),$$ (2.3)

где $t\in T,$ $x\in R^n ,$ а множество $F(t, x)$ определено соотношением (2.2). В силу условий 2.a)-2.e) нетрудно установить, что правая часть ДВ (2.3) удовлетворяет следующим условиям:

2A) $F(t, x) \subset{R^n}$ - выпуклый компакт при всех $(t, x) \in G^{*}$;

2B) многозначное отображение $(t, x) \rightarrow F(t, x)$ непрерывно по совокупности аргументов и локально липшицево по $x;$

2C) для любой $(t, x) \in G\times R^n$ выполняется

$$\max \parallel f\parallel \leq c(1 +\parallel x\parallel) \quad \hbox{при} \quad f\in F(t, x);$$

2D) для любой $(t, x) \in G^{*}$ справедливо

$$\min \{ <s, f> : f\in F(t, x) \} = \xi(t, x, s).$$

Решением ДВ (2.3) (см. [20]) будем называть абсолютно непрерывную вектор-функцию $x(\cdot):T \rightarrow R^n$, удовлетворяющей включению $\dot{x}(t)\in F(t, x(t))$ почти всюду на отрезке $[0, \theta ].$

Пусть $t_{0}\in [0, \theta ],$ $X_{0}\subset R^n.$ Совокупность решений ДВ (2.3) (на отрезке $[t_{0}, \theta ]$), удовлетворяющую условию $x(t_{0})\in X_{0},$ обозначим символом $X(t_{0}, X_{0}).$ Полагаем

$$X(t;t_{0}, X_{0})= \{ x(t) \in R^n : x(\cdot)\in X(t_{0}, X_{0}) \},$$

$$H_{+}(t_{0}, X_{0})= \{ (t, x(t)) \in [t_{0}, \theta ] \times R^n : x(\cdot)\in X(t_{0}, X_{0}) \} ,$$

$$H_{-}(t_{0}, X_{0})= \{ (t, x(t)) \in [0, t_{0}] \times R^n : x(\cdot)\in X(t_{0}, X_{0}) \} .$$

Теперь рассмотрим ДВ

$$\dot{z}(t)\in \Phi (t, z(t)),$$ (2.4)

где $z=(x, x_{n+1})\in R^{n+1},$ $\Phi (t, z)=\{ F(t, x), \{0\} \} .$

Пусть $t_{0}\in [0, \theta ],$ $Z_{0}\subset R^{n+1}.$ Совокупность решений ДВ (2.4) (на отрезке $[t_{0}, \theta ]$), удовлетворяющих условию $z(t_{0})\in Z_{0},$ обозначим символом $Z(t_{0}, Z_{0}).$ Положим

$$Z(t;t_{0}, Z_{0})= \{ z(t) \in R^{n+1} : z(\cdot)\in Z(t_{0}, Z_{0}) \},$$

$$\tilde{H}_{+}(t_{0}, Z_{0})= \{ (t, z(t))\in [t_{0}, \theta ]\times R^{n+1} : z(\cdot)\in Z(t_{0}, Z_{0}) \},$$

$$\tilde{H}_{-}(t_{0}, Z_{0})=\{ (t, z(t))\in [0, t_{0}] \times R^{n+1} : z(\cdot)\in Z(t_{0}, Z_{0}) \}.$$

Теперь сформулируем определения положительно (отрицательно) слабой и положительно (отрицательно) сильной инвариантности множеств относительно ДВ (см. [21-23]), которые используются при изучении ЛР.

О п р е д е л е н и е 2.1. Замкнутое множество $W\subset [0, \theta] \times R^n$ называется положительно (отрицательно) слабо инвариантным относительно ДВ (2.3), если для любой точки $(t_{0}, x_{0})\in W$ существует такое решение $x(\cdot) \in X(t_{0}, x_{0}),$ что выполняется соотношение $(t, x(t)) \in W$ при всех $t \in [t_{0}, \theta ]$ (при всех $t \in [0, t_{0}]$).

О п р е д е л е н и е 2.2. Замкнутое множество $W\subset [0, \theta] \times R^n$ называется положительно (отрицательно) сильно инвариантным относительно ДВ (2.3), если для любых $(t_{0}, x_{0})\in W$ и $x(\cdot) \in X(t_{0}, x_{0})$ выполняется соотношение $(t, x(t)) \in W$ при всех $t \in [t_{0}, \theta ]$ (при всех $t \in [0, t_{0}]$).