7. Некоторые классы статистически неопределенных систем

Опишем в заключение некоторые классы систем (1.1)-(1.3), удовлетворяющие предположению 5.1.

Прежде всего, рассмотрим многошаговые включения

$$x_t\in F(x_{t-1},\xi_t),\quad y_t\in G(x_{t-1},\xi_t),\quad t\in 1\!:\!N,$$ (7.1)

где $F,G$ суть многозначные отображения с компактными значениями. Система (7.1) сводится к (1.1)-(1.3), если положить

$$x_t=v_t,\quad y_t=w_t,$$

$$h(x,v,w,\xi)=\left\{\begin{array}{cl}0,&v\in F(x,\xi)\mbox{ и } w\in G(x,\xi),\\ [2ex]+\infty,&\mbox{в противном случае}.\end{array}\right.$$

Определим многозначные отображения

$$J(y,\xi)=\{x:y\in G(x,\xi)\},\quad H(X,y,\xi)=F(X\cap J(y,\xi),\xi).$$ (7.2)

Тогда случайные информационные множества для системы (7.1) определятся рекуррентными соотношениями

$$X_t(y^t,\xi^t)=H (X_{t-1}(y^{t-1},\xi^{t-1}),y_t,\xi_t),\quad t\in 1\!:\!N,\quad X_0=X.$$ (7.3)

Кроме того, для сигнала должны выполняться включения

$$y_t\in G(X_{t-1}(y^{t-1},\xi^{t-1}),\xi_t).$$ (7.4)

В том случае, когда отображения $F,G$ системы (7.1) непрерывны по Хаусдорфу, а пространство $X$- компакт, в качестве пространства $K$ берем множество непустых компактных подмножеств с хаусдорфовой метрикой. В этом случае предположение 5.1 выполняется. Случай, когда $X\subseteq R^n$ и не компактно, рассмотрен в работе [7].

Пусть теперь $X,Y$ суть вещественные сепарабельные гильбертовы пространства, а $\Xi=R^s$. Задана линейная система

$$x_t=Fx_{t-1}+Hv_t+B\xi_t,\quad y_t=Gx_{t-1}+w_t+C\xi_t,$$ (7.5)

где $F,G,H$ - ограниченные линейные операторы, а $B,C$- конечномерные линейные операторы, причем оператор $F$ имеет ограниченный обратный. Ограничения типа (1.3) заданы в виде

$$\sum_{t=1}^N(\vert\vert v_t\vert\vert^2_V+\vert\vert w_t\vert\vert^2_Y)<1.$$ (7.6)

Для этой квадратичной задачи функции (3.1) подсчитываются непосредственно. Они имеют вид:

$$W_t(x_t,y^t,\xi^t)=\langle x_t,P_tx_t\rangle -2\langle b_t,x_t\rangle +c_t,$$ (7.7)

где $\langle\cdot,\cdot\rangle$- скалярное произведение в пространстве $X$, а параметры определяются рекуррентным образом:

$$\begin{array}{c} P_t=F^{*-1}(P_{t-1}+G^*G-(P_{t-1}+G^*G)T_t(P... ...1}+\\ [2ex] +G^*G) F^{-1}B\xi_t\rangle,\quad c_0=0. \end{array}$$ (7.8)

Следовательно, множества (3.4) допустимых неопределенных факторов можно описать неравенством

$$\mathcal{H}_t(y^{t-1},\xi^t)=\{(x_{t-1}, v_t,w_t):\langle x_{t-1},P_{t-1}x_{t-1}\rangle -2\langle b_{t-1},x_{t-1}\rangle +$$

$$+c_{t-1}+\vert\vert v_t\vert\vert^2_V+\vert\vert w_t\vert\vert^2_Y<1\}.$$ (7.9)

В качестве параметра $\kappa _t$ берем пару $\{b_t,c_t\}$. Тогда предположение 5.1, очевидно, выполнено.

Мы описали два простых класса систем, удовлетворяющих предположению 5.1. Достаточно жесткие предположения об указанных классах могут быть сняты. В частности, может быть снято требование об обратимости оператора $F$ в уравнениях (7.5) при условии полной наблюдаемости (см. [1]) системы (7.5).

Поступила 13.03.00