1. Введение

В теории гарантированного оценивания [1,2] основополагающую роль играет понятие информационного множества. Для многошаговых детерминированных систем оно подробно изучено в работе [3]. В задачах оценивания статистически неопределенных систем, где предлагались различные подходы для решения [4,5,6,7], ранее не вводилось такое понятие информационного множества, которое бы сводилось к известному при отсутствии статистических составляющих. В настоящей работе делается попытка определить аналоги информационных множеств для статистически неопределенных систем так, чтобы в детерминированном случае они совпадали с введенными ранее. Предлагается два возможных определения, для каждого из которых приводятся определяющие соотношения, изучаются некоторые частные случаи и примеры. При некоторых предположениях о системе для функций от случайных множеств, служащих аналогом фазового состояния системы, приведены рекуррентные соотношения, обобщающие процедуру нелинейной фильтрации в чисто стохастическом случае. Изложение носит теоретический характер и ведется в абстрактных пространствах с целью охватить в дальнейшем ряд приложений к бесконечномерным системам, в частности, к системам с запаздываниями.

В данной работе будем придерживаться обозначений и определений, принятых в монографии [8]. В частности, запись $AB$ будет означать декартово произведение $A\times B$ множеств $A,\,B$, причем считается, что данная операция имеет приоритет перед другими теоретико-множественными операциями. Например, $AB\cup C=(AB)\cup C$ и так далее.

Пусть заданы борелевские пространства $X,Y$, $\Xi$ и $V$, называемые далее пространствами состояний, наблюдений, случайных возмущений и неопределенных возмущений в системе соответственно. Напомним [8], что топологическое пространство $Q$ называется борелевским, если оно гомеоморфно [9] борелевскому множеству, то есть множеству из борелевской $\sigma$-алгебры, некоторого полного сепарабельного метрического пространства. В пространстве $X$ предполагается заданной многошаговая система

$$x_t=f(x_{t-1},v_t,\xi_t)$$ (1.1)

и уравнение наблюдения

$$y_t=g(x_{t-1},v_t,\xi_t),\quad t\in 1\!:\!N.$$ (1.2)

Здесь и далее $1\!:\!N$= $\{1,\ldots,N\}$ - отрезок в множестве натуральных чисел; $x_t\in X, y_t\in Y$; $f:XV\Xi\to X$ и $g:XV\Xi\to Y$ суть заданные борелевские функции. Элементы последовательности $\{\xi_t\}$ распределены независимо и одинаково с заданной вероятностной мерой $P_{\Xi}$ на борелевских подмножествах $B_{\Xi}$ пространства ${\Xi}$. Элементы $\{v_t\}$ и начальное состояние $x_0$ системы (1.1) предполагаются неопределенными, стесненными ограничениями

$$\sum^N_{t=1}h(x_{t-1},v_t,\xi_t)<1,$$ (1.3)

где $h:XV\Xi\to [0,+\infty]$ - полуаналитическая снизу функция, принимающая, возможно, бесконечные значения. Согласно [8] мы называем функцию $f$ полуаналитической снизу на борелевском пространстве $Z$, если множество $\{z\in Z:f(z)<c\}$ является аналитическим [12] для всех действительных $c$.

Проблема, обсуждаемая в настоящей работе, называется задачей фильтрации [2,10] и состоит в оценке неизвестного текущего состояния $x_t$ по данным измерений $y^t=\{y_1,\ldots,y_t\}$, которые запоминаются. Здесь и далее используем обозначения $x_m^n=\{x_m,\ldots,x_n\}$, $m\le n$, $x_1^n=x^n$. Особенностью задачи фильтрации для системы (1.1)-(1.3) является одновременное присутствие как случайных, так и неопределенных возмущений, для которых нет подходящего статистического описания. Как уже отмечалось выше, такие системы рассматривались в ряде указанных работ, где можно найти дальнейшую библиографию. Тем не менее решение проблемы далеко от окончательного завершения, в отличие от чисто статистического случая. Отметим, что развитие многошагового процесса в системе протекает следующим образом. Вначале реализуется случайный элемент $\xi_1$, затем - неопределенным образом пара $(x_0,v_1)$, для которой выполняется неравенство $h(x_0,v_1,\xi_1)<1$. Тем самым система уже перешла в состояние $x_1$. После реализации $\xi_2$ происходит неконтролируемый выбор $v_2$ из условия $h(x_0,v_1,\xi_1)+h(x_1,v_2,\xi_2)<1$ и так далее. Сумма в (1.3) характеризует издержки воздействия неопределенных факторов.

З а м е ч а н и е 1.1. Неравенства (1.3) обобщают, вообще говоря, геометрические ограничения на возмущения $v_t$, если в качестве функции $h$ взять индикаторную функцию [11]. Наличие строгого неравенства в (1.3) особой роли не играет и принято по техническим соображениям.

З а м е ч а н и е 1.2. Формулы (1.1)-(1.3) без потери общности описывают стационарную модель , так как в нестационарном случае можно ввести новую переменную $\widetilde {x}=(x^0,x)\in R_+X=\widetilde {X}$ и положить

$$\widetilde {f}(\widetilde {x},v,\xi)=([x^0]+1,f_{[x^0]+1} (x,v,\xi)),$$

$$\widetilde {g}(\widetilde {x},v,\xi)=g_{[x^0]+1} (x,v,\xi),$$

$$\widetilde {h}(\widetilde {x},v,\xi)=h_{[x^0]+1} (x,v,\xi),$$

где $[x^0]$ - целая часть числа $x^0$. Несколько сложнее оправдать стационарность распределения случайных элементов $\xi_t$. Однако для многих распределений, зависящих от конечного числа параметров, в частности, для гауссовского распределения, данное предположение вполне естественно.