6. Обобщение процедуры фильтрации для статистически неопределенных систем

Как уже отмечалось выше в пункте 3, множества информационной надежности теряют свой смысл в чисто случайных системах. Однако при предположении 5.1, благодаря рекуррентному характеру случайных множеств, возможно обобщить процедуру фильтрации нелинейных систем так, чтобы она подходила и для чисто случайных, и для чисто детерминированных систем. В данном пункте считаем предположение 5.1 выполненным. Случайным состоянием нашей системы в момент $t$ является множество $X_t(y^t,\xi^t)=F(y^t_{t-1},\xi^t_{t-1},\kappa _{t-1}),\quad t\in 2\!:\!N$, согласно (5.3). Пусть $a(y^t_{t-1},\xi^t_{t-1},\kappa _{t-1})$- некоторая числовая функция от информационного множества, обладающая свойством универсальной измеримости. В частности, таковой будет функция расстояния $d(x,X_t(y^t,\xi^t))$. Набор таких функций расстояния при разных $x$ позволяет восстановить замыкание множества. Можно рассмотреть также и опорную функцию [1,11], но тогда будет восстановлена только выпуклая и замкнутая оболочка множества. Конечно, в последнем случае предполагается, что пространство $X$ является линейным и локально выпуклым.

Итак, опишем вначале условные распределения для оценки неизвестной функции $a(y^t_{t-1}$, $\xi^t_{t-1},\kappa _{t-1}),\quad t\in 2\!:\!N$. Пусть $\cal G$ - это семейство селекторов многозначного отображения (5.2), которое не пусто по предположению 5.1. Аналогично, $\mathcal{G}_1=\{g(\cdot):g(\xi)\in g(\mathcal{H}_1(\xi),\xi)\}$ - семейство универсально измеримых селекторов на первом шаге. Для выбранной последовательности селекторов $g_1(\cdot)\in\mathcal{G}_1,\;$ $g_t(\cdot,\cdot,\cdot)$ $\in \mathcal{G},\; t\in 2\!:\!N,$ рассмотрим частично наблюдаемую марковскую последовательность $(y_t,\xi_t,\kappa _t)$, порождаемую уравнениями

$$\begin{array}{rcl} \kappa _1\!\!\!&=&\!\!\!k_1(y_1,\xi_1),\qu... ...t-1},\xi^t_{t-1},\kappa _{t-1}),\quad t\in 2\!:\!N. \end{array}$$ (6.1)

Определим борелевское стохастическое ядро

$$u_t(ABC\vert y_{t-1},\xi_{t-1},\kappa _{t-1}) =P_{\Xi}\{\xi_t:y_t\in A, \ \xi_t\in B,\ k(y^t_{t-1},\xi^t_{t-1},\kappa _{t-1})\in C,$$

$$y_t=g_t(y_{t-1},\xi^t_{t-1},\kappa _{t-1})\}$$ (6.2)

на шаге $t\in 2\!:\!N$, которое однозначно продолжается на борелевскую $\sigma$-алгебру $B_{Y\Xi K}$ и задает распределение для элемента $(y_t,\xi_t,\kappa _t)$, $t\in 2\!:\!N$. На первом шаге имеем безусловное распределение

$$u_1(ABC)=P_{\Xi}\{\xi:g_1(\xi)\in A,\ \xi\in B,\ k_1(g_1(\xi),\xi)\in C\},$$ (6.3)

которое так же, как и в пункте 2, разложим по формуле

$$u_1(ABC)=\int\limits_Ar_1(BC\vert y)u_1(dy\Xi K),$$ (6.4)

где $r_1(d\xi_1d\kappa _1\vert y_1)=p_1(y^1)(d\xi_1d\kappa _1)$ - условное распределение ненаблюдаемых величин $(\xi_1,\kappa _1)$. Образуем семейство

$$\mathcal{P}_1(y^1)=\{p_1(y^1)(\cdot):g_1(\cdot)\in\mathcal{G}_1\}$$ (6.5)

всевозможных условных распределений на первом шаге. Далее совершаем прогноз на второй шаг:

$$q_2(ABC\vert p_1(y^1),y_1)=\int\limits_{\Xi K}u_2(ABC\vert y_1,\xi_1,\kappa _1)p_1(y^1) (d\xi_1d\kappa _1).$$ (6.6)

Полученное распределение снова раскладываем:

$$q_2(ABC\vert p_1(y^1),y_1)=\int\limits_Ar_2(BC\vert p_1(y^1),y^2)q_2(dy_2\Xi K\vert p_1(y^1),y_1),$$

где $r_2(d\xi_2d\kappa _2\vert p_1(y^1),y^2)=p_2(y^2)(d\xi_2d\kappa _2)$ - условная мера. Аналогично (6.5) образуем семейство

$$\mathcal{P}_2(y^2)=\{p_2(y^2)(\cdot):g_2\in \mathcal{G},\; p_1\in\mathcal{P}_1(y^1)\}$$

и так далее. На шаге $t\in 2\!:\!N$ имеем

$$\begin{array}{c} \displaystyle{ q_t(ABC\vert p_{t-1}(y^{t-1})... ...t-1})q_t(dy_t\Xi K\vert p_{t-1}(y^{t-1}),y_{t-1}),} \end{array}$$ (6.7)

где

$$r_t(d\xi_td\kappa _t\vert p_{t-1}(y^{t-1}),y^t_{t-1})=p_t(y^t) (d\xi_td\kappa _t)$$ (6.8)

- условное распределение ненаблюдаемых величин $(\xi_t,\kappa _t)$ на шаге $t$ при заданном сигнале $y^t$. Соответствующее семейство этих распределений имеет вид

$$\mathcal{P}_t(y^t)=\{p_t(y^t)(\cdot):g_t\in \mathcal{G},\; p_{t-1}\in\mathcal{P}_{t-1}(y^{t-1})\}.$$ (6.9)

Таким образом, формулы (6.2)-(6.9) описывают процедуру построения условных распределений для ненаблюдаемых величин в системе (6.1). В силу неопределенности, которая выражается здесь включениями (5.4), мы получаем семейства условных распределений (6.9). Ясно, что процедура, представленная в настоящем пункте, дает единообразное решение задачи фильтрации, охватывающее крайние случаи пункта 2 при условиях предположения 5.1. Оценкой неизвестной функции $a(y^t_{t-1},\xi^t_{t-1},\kappa _{t-1})$ будем считать множество условных средних

$$A(y^t)=\{M[a(y^t_{t-1},\xi^t_{t-1},\kappa _{t-1}) \vert y^t]\}= \... ...Xi}\int\limits_{\Xi K}a(y^t_{t-1},\xi^t_{t-1},\kappa _{t-1})p_{t-1}(d\xi_{t-1}$$

$$d\kappa _{t-1}) r_t(d\xi_tK\vert p_{t-1},y^t_{t-1}):g_t\in\mathcal{G},\; p_{t-1}\in\mathcal{P}_{t-1}(y^{t-1})\Bigr\},\quad t\in 2\!:\!N,$$ (6.10)

из которого можно получить уже конкретную точечную оценку неизвестной функции, например, взять чебышевский центр этого числового множества, то есть середину минимального отрезка, накрывающего множество. На первом шаге равенство (6.10) принимает более простой вид:

$$A(y_1)=\Bigl\{\int\limits_{\Xi}a(y_1,\xi_1)r_1 (d\xi_1K\vert y_1):g_1\in \mathcal{G}_1\Bigr\}.$$ (6.11)

Суммируем рассуждения настоящего пункта в виде утверждения.

Теорема 6.1   Пусть выполнено предположение 5.1 и задана числовая универсально измеримая функция $a(y^t_{t-1}$, $\xi^t_{t-1},\kappa _{t-1}),\; t\in 2\!:\!N,$ от случайного информационного множества (5.3). Тогда множество условных средних от указанной функции описывается равенством (6.10) или (6.11) для первого шага. Условные стохастические распределения в упомянутых соотношениях определяются рекуррентными формулами (6.2)-(6.9) и являются универсально измеримыми.