3. В этом пункте изучены циклы уравнения (11) и системы (1). Предварительно выведена удобная формула вычисления натуральной степени матрицы $F\in M.$

Используя общую формулу (16), аналогично ( $\ref{eq15}_1$), находим

$$F^{n}=b_{n}F-\Delta b_{n-1}E\, ,$$ (22)

где $b_{n}=b_{n}(s,\Delta)=\sum_{k=1}^{n}\lambda_{1}^{n-k}\lambda_{2}^{k-1}$(при $\lambda_{1}=\lambda_{2}$ приходим также к (22)). Иногда полезно представление Fⁿ в виде

$$F^{n}=\left( \begin{array}{ccc} a_{n} & bb_{n}\\ cb_{n} & d_{n} \end{array}\right)\, ,$$ (23)

где $a_{n}=ab_{n}-\Delta b_{n-1},\;d_{n}=db_{n}-\Delta b_{n-1}.$

Из (17) следует, что $b_{2k}(0,\Delta)=0,\;b_{2k+1}(0,\Delta)= (-\Delta) ^{k},$ поэтому $F^{2k}=(-\Delta)^{k}E,\;F^{2k+1}=(-\Delta)^{k}F,$если s=0.

Cчитая $s\not= 0,$ введем $\beta_{n}=b_{n}s^{1-n},$ тогда

$$\beta_{1}=\beta_{2}=1\, ,$$ (24)

а уравнение (17), где t=n, принимает вид

$$\beta_{n+2}=\beta_{n+1}-{\omega}\beta_{n}\, .$$ (25)

Значит, $\beta_{n}$ - многочлен от одной переменной ${\omega},$ его степень $\nu_{n}=[\frac{n-1}{2}].$ Наряду с рекуррентным представлением многочленов $\beta_{n}({\omega}),$ укажем явные их задания

$$\beta_{n}({\omega})= \sum_{k=0}^{\nu_{n}}(-1)^{k}C_{n-1-k}^{k}{\omega}^{k}\, ,$$ (26)

$$\beta_{n}({\omega})=2^{1-n}\sum_{k=0}^{\nu_{n}} C_{n}^{2k+1}(1-4{\omega})^{k}\, .$$ (27)

Из (24)-(27) следует, что $\beta_{n}(0)=1,\;\beta_{n} (4^{-1})=n2^{1-n},\;\beta_{n}(-1)$ - последовательность чисел Фибоначчи. Итак, при $s\not= 0$ матрица Fⁿ представима в виде

$$F^{n}=s^{n-1}(\beta_{n}({\omega})F-{\omega}\,s\beta_{n-1}({\omega})E)\, .$$ (28)

Отметим попутно, что в случае $\Delta\not= 0$ формулы (23),  (28) справедливы для $n\in \Bbb{Z},$ здесь $b_{-n}= -\Delta^{-n}b_{n},\;\beta_{n}=-{\omega}^{-n}\beta_{n}.$

Найдем циклы уравнения (11) при ${\omega}\not= 0$ (ситуация, когда ${\omega}=0,$ описана в п. 2). Точки n-цикла $(n\in \Bbb{N})$ суть неподвижные точки отображения fⁿ. Обозначим через $\Lambda(f^{n})$множество неподвижных точек fⁿ. При ${\omega}>4^{-1}\;\;\Lambda(f)= \emptyset,$ при ${\omega}<4^{-1}\;\;\Lambda(f)=\{h_{1,2}\},\;h_{1}\not= h_{2}.$ При ${\omega}=4^{-1}$ все множества $\Lambda(f^{n})$ совпадают: $\Lambda(f^{n})={\Bbb R}^{'},$ если $F\in M_{2}(4^{-1}),\;\;{\mathrm card} \Lambda(f^{n}) =1,$ если $F\in M_{1}(4^{-1}).$ Так как $\Lambda(f^{nk})\supset\Lambda(f^{n}),\; k\in \Bbb{N},$ а fⁿ, как и f -дробно-линейное отображение, то в случае ${\omega}\not= 0$ или 1) $\Lambda(f^{n})=\Lambda(f),$ или 2) существует наименьшее q>1 такое, что $\Lambda(f^{k})=\Lambda(f)$ при k<q,но $\Lambda(f^{q})={\Bbb R}^{'}.$ Ситуация 1) наблюдается, в частности, при ${\omega}=4^{-1}.$ Обозначим символом K_q множество значений параметра ${\omega},$ отвечающих ситуации 2). Иначе говоря, при $F\in M({\omega}),\;{\omega}\in K_{q}$ каркасы решений системы  (1) состоят из q различных O-прямых, за исключением решений на инвариантных 0-прямых h=h_1,2 (такие решения возникают, когда $-\infty<{\omega}<4^{-1}$ ).

Найдем множества K_q. Условие

$$\Lambda(f^{n})={\Bbb R}^{'}$$ (29)

(n>1) означает,что $F^{n}\in M_{2}(4^{-1}),$ т.е. что Fⁿ - скалярная ненулевая матрица. Тогда $\lambda_{1}^{n}-\lambda_{2}^{n}=(\lambda_{1}- \lambda_{2})b_{n}=0,$ поэтому (29) эквивалентно равенству

$$b_{n}=0\, .$$ (30)

Так как b₂=s, то $K_{2}=\{\pm\infty\}.$ Пусть теперь $s\not= 0,$ $n\geq 3,$тогда $b_{n}=s^{n-1}\beta_{n}$ и (30) выполняется лишь при тех ${\omega},$ что являются вещественными корнями многочленов $\beta_{n} ({\omega}).$ При ${\omega}\leq 4^{-1}$ из (27) следует неравенство $\beta_{n}({\omega})>0,$ поэтому корни $\beta_{n}$ - точки луча $(4^{-1}, +\infty).$ Для их отыскания введем при ${\omega}>4^{-1}$ еще одно представление многочленов $\beta_{n}.$ Поскольку они одинаковы для любой матрицы $F\in M({\omega}),$ рассмотрим матрицу $S(\alpha)\in M({\omega}),$здесь $\alpha=\arccos(2^{-1}{\omega}^{-\frac{1}{2}}),\;0<\alpha< \frac{\pi}{2}.$Используя простую формулу $S^{n}(\alpha)=S(n\alpha),$ находим

$$\beta_{n}({\omega})={\omega}^{\frac{n-1}{2}}\sin^{-1}\alpha\sin\, n\alpha \;\;\;, \ \ \ \;\;{\omega}>4^{-1}\, .$$ (31)

В дальнейшем понадобится связь между углами $\varphi,\alpha:\;\varphi=\alpha$при $s\geq 0,$ $\varphi=\pi-\alpha$ при s<0. В силу (31) условие $\beta_{n}({\omega})=0$ принимает вид $\sin n\alpha=0,$ откуда $\alpha= \frac{\pi m}{n},\;1\leq m\leq\nu_{n}$ (неравенство $\alpha<\frac{\pi}{2}$ выполняется именно при $m\leq\nu_{n}$ ). Значит, многочлен $\beta_{n}$ имеет $\nu_{n}$ вещественных корней

$${\omega}_{nm}=4^{-1}\cos^{-2}\frac{\pi m}{n},\quad 1\leq m\leq\nu_{n}\, .$$ (32)

При этом ${\omega}_{n1}<{\omega}_{n2}<\cdots<{\omega}_{n\nu_{n}},\; {\omega}_{n1}\searrow 4^{-1}.$

Так как ${\omega}_{nk,mk}={\omega}_{nm},$ то n - наименьшее число со свойством (30) тогда и только тогда, когда (m,n) =1, т.е. m,nвзаимно просты.Поэтому

$$K_{q}=\{{\omega}_{qp},\;1\leq p\leq \nu_{q},\;(q,p)=1\},\quad q\geq 3\, .$$

Например,

$$K_{3}=\{1\},\ \ K_{4}=\{2^{-1}\},\ \ K_{5}=\{2^{-1}(3\mp\sqrt{5})\}, \ \ K_{6}=\{3^{-1}\}.$$

Множество $K=\cup_{q\geq 3}K_{q}$ всюду плотно на луче $(4^{-1},+\infty),$ поскольку оно биективно отображается на множество рациональных точек интервала (0,2^-1) посредством монотонной функции.

При ${\omega}\in (4^{-1},+\infty)\backslash K$ система (1) не имеет конечных каркасов. В случаях

$$-\infty<{\omega}<0,\quad 0<{\omega}<4^{-1},\quad F\in M_{1}(4^{-1})$$ (33)

конечные каркасы исчерпываются инвариантными O-прямыми, отвечающими собственным значениям матрицы F.

Выделим теперь циклы системы (1) при ${\omega}=0.$ Каждый цикл лежит на конечном каркасе, циклы могут существовать лишь при

$$(s,\Delta)\in\overline{P}\, .$$ (34)

Условие (34) будем предполагать выполненным. Рассмотрим вначале случаи (33). В силу (34) существует единственная инвариантная O-прямая $h=\overline{h},$ отвечающая такому собственному значению $\lambda$ матрицы F, что $\vert\lambda\vert=1.$ Если $\lambda=1,$ т.е. $\sigma(1)=0,$ то решения системы на $h=\overline{h}$ - 1-циклы; если же $\lambda =-1$ и $\sigma(-1)=0,$ то эти решения - 2-циклы, симметричные относительно O. Решения системы, не попадающие на O-прямую $h=\overline{h},$ непериодичны.

В остальных случаях существования циклов (при ${\omega}\not= 0$) периодичны уже все решения системы (1). Соответствующие этим случаям точки $(s,\ \Delta)$ лежат на множестве $u\cup(0,1)\subset\partial V,$ тогда $\vert \lambda_{1,2}\vert=1.$

Если $F\in M_{2}(4^{-1}),$ то $F=\lambda E,\;\lambda=\pm1,\;(s,\Delta)= (\pm2,1)$ и решения системы - 1-циклы при $\lambda =1$ и 2-циклы, симметричные относительно O, при $\lambda=-1.$

Пусть теперь $F\in M({\omega}),\;{\omega}\in K_{q},\;q\geq 2.$ Тогда $F^{q}\in M_{2}(4^{-1})$ и, значит, F^q=a_qE (см. (23)). Так как $\Delta(F^{q})=\Delta^{q},$ то $a_{q}={\mathrm sgn}\, a_{q}\vert\Delta\vert ^{\frac{q}{2}}$ и $F^{q}={\mathrm sgn}\,a_{q}\vert\Delta\vert^{\frac{q}{2}}E,\; F^{2q}=\vert\Delta\vert^{q}E.$ В силу (34) $\vert\Delta\vert=1.$Поэтому решения, которые расположены на каркасах, состоящих из q 0-прямых, суть r-циклы, где r=q при a_q>0 и r=2q при a_q<0.Во втором случае F^q=-E и, значит, 2q-циклы симметричны относительно $O\;(x^{n+q}=-x^{n}).$ Уточним период r циклов в зависимости от $q,s, \Delta.$

Пусть q=2, тогда ${\omega}=\pm\infty$ и ${\mathrm sgn}\,a_{2}=-{\mathrm sgn} \,\Delta.$Если ${\omega}=-\infty,$ то $(s,\Delta)=(0,-1),\;\Delta<0,$ поэтому r=2 и решения, не начинающиеся на O-прямой $h=\overline{h},$ отвечающей $\lambda=1,$ суть 2-циклы; точки 0-прямой - положения равновесия системы. О таких системах типа "плоскость 2- и 1-циклов" речь уже шла в п. 2. Если же ${\omega}=+\infty,$ то $(s,\Delta)=(0,1)\in u$ и приходим к системе типа ``центр'', решения которой - 4-циклы.

Пусть теперь $q\geq 3$ и, значит, $F\in M({\omega}_{qp}),\; p\leq\nu_{q},\;(p,q)=1.$ Зафиксируем любое p с указанными свойствами. Тогда $(s,\Delta)\in u,\;\Delta=1,\;\vert s\vert= {\omega}_{qp}^{-\frac{1}{2}}=2\vert\cos{\frac{\pi p}{q}}\vert,$ поэтому рассматриваем cистемы типа ``центр'' с матрицами F из двух семейств $M(\vert s\vert,1)$ и $M(-\vert s\vert,1).$ Для нахождения периода rциклов, учитывая свойство 2⁰, выберем матрицы $S(\varphi),$содержащиеся в каждом семействе. Для матрицы из первого и второго семейств $\varphi=\alpha=\frac{\pi p}{q}$ и $\varphi=\pi-\alpha=\pi(1-\frac{p}{q})$соответственно. Решения системы с матрицей $S(\alpha)$ за q шагов совершают поворот вокруг O на угол $\pi p,$ в результате чего попадание в исходную точку происходит лишь при четных p. Поэтому решения системы (1) с матрицей $F\in M(\vert s\vert,1)$ - q-циклы при четных p и 2q-циклы при нечетных p. Аналогично, в случае $F\in M(-\vert s\vert,1)$ имеем r=q, если q-p четно, и r=2q, если q-p нечетно.

Итак, решения системы (1) суть q- или 2q-циклы ($q\geq 3$), если $F\in M(\pm2\cos\frac{\pi p}{q},1),$ т.е. $\lambda_{1,2}=e^{\pm\frac{\pi pi} {q}}.$ Решения являются q-циклами в случаях $\lambda_{1,2}= e^{\pm\frac{2\pi mi}{q}},\;(m,q)=1,\;1\leq m\leq q$ [10, cтр. 103], т.е. при $F\in M(2\cos\frac{2\pi m}{q},1).$

Поступила 11.06.97