1. Введем в рассмотрение множество M $2\times 2$-матриц с вещественными злементами, класс $M(s,\Delta )$ - совокупность матриц $F\in M$ с фиксированным значением следа s и определителя $\Delta.$ Формулы $\lambda_{1,2}=2^{-1}(s\pm \sqrt{s^2-4\Delta})$ устанавливают биекцию между парами $\{s,\Delta\},\;\{\lambda_{1,2}\},$ при этом $s=\Delta =0\Leftrightarrow \lambda _1 =\lambda _2 =0.$ Выбор в качестве основных параметров системы (1) именно $s,\ \Delta$продиктован, в частности, удобством трактовки пары $(s,\ \Delta)$ как точки плоскости P.

Парабола $s^2=4\Delta$ разбивает плоскость P на области $s^2<4\Delta,$ $s^2>4\Delta,$ отвечающие матрицам $F\in M$ с комплексными и различными вещественными собственными значениями соответственно. Точкам параболы отвечают матрицы с кратными собственными значениями.

Введем еще один параметр ${\omega}\in \bar{\Bbb R}$ системы, связанный с $s,\ \Delta$ :

$${\omega}(F)=\left\{ \begin{array}{ll} \Delta s^{-2}&, \ \ \ s... ...\, ,\\ -\infty&, \ \ \ s=0,\ \ \Delta<0\, .\end{array}\right.$$

Символом $M({\omega})$ обозначим семейство матриц $F\in M$ с фиксированным значением параметра ${\omega}.$ В частности, M(4^-1) - семейство матриц с кратными собственными значениями, M(0) - семейство особых матриц с одним нулевым собственным значением $(\lambda_1=0,\;\lambda_2\ne0).$Матрицам семейства $M({\omega})$ соответствуют на плоскости P множества $P({\omega})$: при ${\omega}\in \Bbb R$$\setminus$ $\{0,4^{-1}\}$ - парабола $\Delta={\omega}s^2$ с исключенной точкой (0,0); при ${\omega}=0$ - ось абсцисс с исключенной точкой (0,0); при ${\omega}=4^{-1}$ - парабола $\Delta=4^{-1}s^2$; при ${\omega}=+\infty$ - луч $s=0,\;\Delta >0$; при ${\omega}=-\infty$ - луч $s=0,\;\Delta <0.$

Пусть $F\in M({\omega}),$ тогда 1)  $\mu F\in M({\omega}),$$\mu\ne 0,$ 2)  $F_1\in M({\omega}),$ где $F_1\sim F,$3)  $F^{-1}\in M({\omega})$ при $\Delta \ne 0.$Свойство 1) следует из равенств

$$s(\mu F)=\mu s(F),\quad \Delta(\mu F)=\mu^2\Delta (F)\, ,$$ (3)

свойство 3) - из равенств $s(F^{-1})=s(F)\Delta^{-1}(F),$ $\Delta (F^{-1})=\Delta^{-1}(F).$

Изучим структуру множеств $M(s,\Delta),$ $M({\omega})=\bigcup\limits_{(s,\Delta)\in P({\omega})}M(s,\Delta).$

При ${\omega}\ne 4^{-1}$ $M(s,\Delta )$ - семейство подобных матриц. Если ${\omega}=4^{-1},$ то $\lambda_1=\lambda_2=\lambda$ и $M(s,\Delta )$ - объединение двух семейств подобных матриц: одно образовано матрицами, подобными жордановой клетке $J(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}\lambda& 1\\ 0& \lambda \end{array}\right),$другое содержит лишь скалярную матрицу $\lambda E.$Из (3) следует, что при $s\ne 0$

$$M(-s,\Delta)=\{-F\mid F\in M(s,\Delta)\}\, .$$ (4)

Зафиксировав ${\omega}\in \overline{\Bbb R}$ и произвольную матрицу $\overline F\in M({\omega})$ со следом $\overline s$ и определителем $\overline \Delta,$ введем множество

$$\Phi (\overline F)=\{\mu F\mid F\sim\overline F,\quad \mu \ne 0 \}\, .$$ (5)

При этом $\Phi(E)=\{\mu E\mid\mu\ne 0\}.$ Из свойств 1), 2) вытекает, что $\Phi (\overline F)\subset M({\omega}).$Докажем, что при ${\omega}\ne 4^{-1}$

$$M({\omega})\subset \Phi(\overline F)$$ (6)

и, значит, в этом случае

$$M({\omega})=\Phi(\overline F)\, .$$ (7)

Для проверки (6) укажем для матрицы $F\in M({\omega})$ такое число $\nu\ne 0,$ что $s(\nu F)=\overline s,$ $\Delta(\nu F)=\overline\Delta,$ тогда ${\omega}(\nu F)={\omega}(F)={\omega}(\overline F).$Приходим к равенствам

$$\nu s=\overline s,\quad \nu^2\Delta =\overline\Delta\, .$$ (8)

Если ${\omega}=\pm\infty,$ то $s=\overline s=0$ и $\nu =\sqrt{\overline\Delta\Delta^{-1}}.$ Если же ${\omega}\in\Bbb R,$то выберем $\nu =\overline ss^{-1},$ второе условие в (8) также выполнено, ибо $\overline s^2\Delta=s^2\overline\Delta.$

Структура семейства M(4^-1) сложнее: $M(4^{-1})=M(0,0)\cup M_1(4^{-1})\cup M_2(4^{-1}),$здесь $M_1(4^{-1}) =\Phi (J(1)),$ $M_2(4^{-1})=\Phi (E).$

Перейдем к свойствам решений системы (1). Любая из систем имеет тривиальное решение x⁽ⁿ⁾=0. В дальнейшем, говоря о решениях системы, предполагаем их нетривиальными.

В случаях ${\omega}<4^{-1},$ $F\in M_2(4^{-1})$ матрица F обладает собственным базисом e₁, e₂, образованным из ее собственных векторов, поэтому все точки каждого решения Fⁿx, $n\in{\Bbb Z}_0$ раскладываются по этому базису:

$$F^nx=\lambda_1^nc_1e_1+\lambda_2^nc_2e_2\, .$$ (9)

Хотя качественно различных ситуаций в названных случаях достаточно много, все они - следствия известных свойств линейного разностного уравнения первого порядка

$$y^{(n+1)}=\lambda y^{(n)}$$ (10)

$(y^{(n)}\in \Bbb R)$ с положением равновесия y=0. Пусть $y^{(0)}\ne 0.$Тогда $y^{(n)}\to 0$ в случае $\vert\lambda\vert<1,$ $y^{(n)}\to\infty$ в случае $\vert\lambda\vert>1$; все рассмотренные решения (строго) монотонны при $\lambda >0$; если же $\lambda <0,$ то y⁽ⁿ⁾y⁽ⁿ⁺¹⁾<0 и монотонны подпоследовательности $\{ y^{(2k)}\},$ $\{ y^{(2k+1)}\}.$ В cлучае $\lambda =1$ все точки прямой - положения равновесия. Наконец, в случае $\lambda =-1$ все нетривиальные решения уравнения (10) - 2-циклы, симметричные относительно y=0(k-циклом разностного уравнения называем его периодическое решение с наименьшим периодом k). Из сказанного следует, что в случаях ${\omega}<4^{-1},$ $F\in M_2(4^{-1})$ все решения системы (1) непериодичны $\Leftrightarrow \vert\lambda_{1,2}\vert\ne 1.$

Назовем решение x⁽ⁿ⁾ системы обнуляющимся (на шаге с номером n₀), если $x^{(n_0-1)}\ne 0,$ но x⁽ⁿ⁾=0 при $n\ge n_0.$ Система (1) имеет обнуляющиеся решения $\Leftrightarrow \Delta (F)=0.$ Рассмотрим этот особый случай подробнее.

При $F=\theta$ решения системы обнуляются на первом шаге, при $F\in M(0,0)\, \setminus\, \{\theta\}$ - не позднее чем на втором шаге (это вытекает из теоремы Кэли-Гамильтона). Здесь $\theta$ - нулевая матрица. Как следует из (9), при ${\omega}=0$ обнуляются решения, начинающиеся на O-прямой l₁, а остальные решения, начиная с первого шага, лежат на O-прямой l₂ (здесь O-прямая - прямая, проходящая через начало координат O, l_k - O-прямая с направляющим вектором e_k). Поэтому изучение системы (1) при ${\omega}=0$ сводится к рассмотрению уравнения вида (10). В дальнейшем основное внимание уделено неособому случаю $\Delta (F)\ne 0.$

Так как $F^n(\alpha x)=\alpha F^n(x),$ то все необнуляющиеся решения системы (1), начинающиеся на одной O-прямой, гомотетичны с центром O. Найдем закон изменения O-прямых вдоль таких решений. Обозначим ${\Bbb R}^{'} =\Bbb R\cup\{\infty\}$ и введем отображение $h:{\Bbb R}^2\setminus\{ 0\}\to{\Bbb R}^{'}$

$$h(x)=\left\{ \begin{array}{cl} -x_2x_1^{-1}&, \ \ \ x_1\ne 0\, ,\\ \infty&, \ \ \ x_1=0\, . \end{array}\right.$$

Тем самым каждой O-прямой сопоставляется координата $h\in{\Bbb R}^{'}.$

Пусть $F\not\in M(0,0).$ Укажем функцию f, задающую изменение координаты hпри переходе от точки $x\ne 0$ к точке Fx.

Если ${\omega}\ne 0,$ то f - дробно-линейный гомеоморфизм множества ${\Bbb R}^{'}$ на себя: f(h)=(dh-c)(-bh+a); предполагается, что при $b\ne 0$ $f(a/b)=\infty,$ $f(\infty)=-d/b.$ Если b=0, то функция f - линейна: f(h)=a^-1(dh-c), $f(\infty)=\infty$ и, значит, $\infty$ - ее неподвижная точка. Вообще, при ${\omega}<4^{-1}$ f имеет две различные неподвижные точки h_1,2, являющиеся координатами O-прямых с направляющими векторами e_1,2. Эти O-прямые инвариантны относительно F(ради краткости матрица F и отображение $x\to Fx$ отождествляются). Решения системы на O-прямых h=h_1,2 определяются уравнениями типа (10),где $\lambda=\lambda_{1,2},$ y - линейная комбинация фазовых координат. При $F\in M_2(4^{-1})$ f - тождественное отображение и все точки $h\in {\Bbb R}^{'}$ неподвижные точки для f. При $F\in M_1(4^{-1})$ существует одна неподвижная точка f, а при ${\omega}>4^{-1}$ отображение не имеет неподвижных точек.

Если ${\omega}=0,$ то существует одно нулевое собственное значение $\lambda_1=0$ матрицы F. Как следует из сказанного выше, функция fпостоянна и не определена в точности в одной точке ${\Bbb R}^{'} : f(h)=h_2, h\in {\Bbb R}^{'} \setminus\{h_1\}.$

Нами построено отображение G,сопоставляющее матрице $F\in M\setminus M(0,0)$ функцию f.

Изменение координаты h вдоль необнуляющихся решений системы (1) описывается разностным уравнением

$$h^{(n+1)}=f(h^{(n)}), \quad n\in {\Bbb Z}_0\, ,$$ (11)

где h⁽ⁿ⁾=h(x⁽ⁿ⁾). Так как $G(\mu F)=G(F)$ для $\mu\ne 0,$ то уравнение (11) сопоставляется не только системе (1), но и целому классу систем

$$x^{(n+1)}=\mu Fx^{(n)}, \quad \mu\ne 0\, .$$ (12)

Пусть h⁽ⁿ⁾ - решение уравнения (11). Семейство O-прямых h=h⁽ⁿ⁾ назовем h⁽⁰⁾-каркасом системы (12). Решения любой из систем (12), начинающиеся в точках $x\ne 0$O-прямой h=h⁽⁰⁾, принадлежат каркасу, попадая на n-ом шаге на O-прямую h=h⁽ⁿ⁾. Эти решения связаны свойством

$1^{\circ}.$Если x⁽ⁿ⁾ - решение системы (1), то $\mu^nx^{(n)}$ - решение системы (12).

В частности, при $\mu=-1$ точки обоих решений с четными номерами nсовпадают, а точки с нечетными номерами симметричны относительно O.Такому переходу от F к (-F) отвечает, согласно (4), переход на плоскости P от точки $(s,\Delta)\in P({\omega})$ к точке $(-s,\Delta)\in P({\omega}).$ Если же $\vert\mu\vert$ увеличивается, то, как видно из $1^{\circ},$ система (12) ``ухудшается''. При указанном изменении $\mu$ точка $(s(\mu F),\Delta(\mu F))$ движется по линии $P({\omega})$ от начала координат (см. (3)). Критерий $\vert\lambda_{1,2}\vert<1$ асимптотической устойчивости в целом нулевого положения равновесия выделяет на плоскости P треугольник $V : \vert s\vert-1<\Delta<1,$ ограниченный отрезками прямых $\sigma(1)=0,$ $\sigma(-1)=0$ и отрезком $u : \vert s\vert\leq 2$прямой $\Delta=1$ [8, cтр. 111-112] (рис. 1). Здесь $\sigma(\lambda)= \lambda^2-s\lambda+\Delta$ - характеристический многочлен матрицы F.

Пусть $F\in M(s,\Delta),\ (s,\Delta)\in V.$ Укажем типичные бифуркации, происходящие в системе (12) с ростом $\mu>0.$ При ${\omega}\geq4^{-1}~:$ устойчивость $\to$ негрубый случай $(\vert\lambda_{1,2}(\mu F)\vert=1,\ \mbox{т.е.}\ (s(\mu F),\Delta(\mu F))\in u)\to$неустойчивость ( $\vert\lambda_{1,2}(\mu F)\vert>1,$ тогда $x^{(n)}\to\infty$ при $x^{(0)}\in {\Bbb R}^2\setminus\{0\}$). При $-\infty<{\omega}<4^{-1}$ : устойчивость $\to$ негрубый случай $(\vert\lambda_{i}(\mu F)\vert=1,\ \vert\lambda_{j}(\mu F)\vert<1,\ \{i,j\}=\{1,2\})\to$ система типов ``седло'' $((1-\vert\lambda_{1}(\mu F)\vert)(1-\vert\lambda_{2}(\mu F)\vert)<0)\to$негрубый случай $(\vert\lambda_{i}(\mu F)\vert>1,\ \vert\lambda_{j}(\mu F)\vert=1)\to$неустойчивость. При ${\omega}=-\infty$ : устойчивость $\to$ негрубый случай $(\lambda_{1,2}(\mu F)=\pm 1)\to$ неустойчивость. Негрубым случаям на плоскости P отвечает множество $\overline P=u\cup\{\sigma(\pm 1)=0\}.$Нетривиальные периодические решения (циклы) в системе (1) возможны лишь при $(s,\Delta)\in \overline P$ .

Если $\overline h$ - неподвижная точка f, то $\overline h$-каркас состоит лишь из одной O-прямой $h=\overline h.$В особом случае ${\omega}=0$ и все h-каркасы $(h\ne h_1)$ состоят не более чем из двух O-прямых: h⁽ⁿ⁾=h₂ при $n\geq 1.$ Другие случаи систем (1) с конечными каркасами рассмотрены в п. 3, циклы системы могут находится лишь на конечных каркасах.

В свойствах $2^{\circ}$ и $3^{\circ}$ отмечена связь систем (1) с матрицами из одного класса $M(s,\Delta )$и из одного семейства $M({\omega})$ (простые случаи ${\omega}=0,$ $F\in M_2(4^{-1})$ здесь опущены).

$2^{\circ}.$ Если F₁, F₂ - неособые нескалярные матрицы класса $M(s,\Delta),$ то системы x⁽ⁿ⁺¹⁾=F₁x⁽ⁿ⁾, x⁽ⁿ⁺¹⁾=F₂x⁽ⁿ⁾ линейно эквивалентны.

$3^{\circ}.$ Если F₁, F₂ - неособые нескалярные матрицы семейства $M({\omega}),$ то разностные уравнения (11) с функциями преследования f₁=GF₁, f₂=GF₂ топологически эквивалентны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. $2^{\circ}.$ Поскольку F₁, F₂ - подобные матрицы, то F₂=T^-1F₁T. Перейдем в системе x⁽ⁿ⁺¹⁾=F₁x⁽ⁿ⁾ к переменной z, полагая x=Tz. Тогда Tz⁽ⁿ⁺¹⁾=F₁Tz⁽ⁿ⁾ и z⁽ⁿ⁺¹⁾=T^-1F₁Tz⁽ⁿ⁾.

$3^{\circ}.$ Так как $F_{1,2}\in \Phi(\overline F),$ где $\overline F\in M({\omega}),$ то в силу (5) $\mu F_1\sim F_2$($\mu\ne 0$) и

$$\mu TF_1=F_2T$$ (13)

( $\Delta(T)\ne 0$). Пусть t=GT. Поскольку $G(\mu TF_1)=t\circ f_1,$ $G( F_2T)=f_2\circ t$ [6], то (13) влечет $t\circ f_1=f_2\circ t,$ а это и означает топологическую эквивалентность уравнений h⁽ⁿ⁺¹⁾=f_1,2(h⁽ⁿ⁾).

Фазовая плоскость системы (1) переходит в фазовую плоскость линейно ей эквивалентной системы посредством аффинного преобразования с неподвижной точкой O.

При ${\omega}\geq 4^{-1},$ $F\not\in M(0,0)$ собственные значения матрицы F удобно представлять в тригонометрической форме: $\lambda_{1,2}=re^{\pm i\varphi},$ $0\leq\varphi\leq\pi.$ В частности, при $\varphi=0$ и $\varphi=\pi$ получаем равные собственные значения $\lambda_{1,2}=\lambda,$ где $\lambda=r$ и $\lambda=-r.$