О КЛАССИФИКАЦИИ РАЗНОСТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА

В. А. Густомесов

Аннотация:

Продолжено начатое А. М. Пановым и другими исследователями изучение системы

$$x^{(n+1)}=Fx^{(n)},\quad n=0, 1, 2, ...\, ,\eqno(1)$$

где F - постоянная вещественная $2\times 2$-матрица, $x^{(n)}\in {\Bbb R}^2.$ Системе сопоставлено разностное уравнение с дробно-линейной функцией последования, что позволило установить новые свойства системы, обнаружить связь систем с различными матрицами F.Системе (1) при ${\mathrm det}\, F\ne 0$ соотнесена также система дифференциальных уравнений

$$\dot x=Ax \eqno(2)$$

такая, что каждое решение системы (1) находится на фазовой траектории (или двух фазовых траекториях) системы (2) Дана полная классификация типов системы (1), указано разбиение плоскости существенных параметров ${\mathrm tr}\, F,$ ${\mathrm det}\, F$ системы на множества, отвечающие различным типам.

Рассматривается система

$$x^{(n+1)}=Fx^{(n)},\quad n\in {\Bbb Z}_0 =\{0, 1, 2, ...\}\, ,$$ (1)

где $F=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d \end{array}\right)$ - постоянная матрица, $x^{(n)}=\left( \begin{array}{c}x_1^{(n)}\\ x_2^{(n)} \end{array}\right) \in {\Bbb R}^2.$

Классификации типов (нулевого положения равновесия) системы в зависимости от собственных значений $\lambda _{1,2}=\lambda _{1,2}(F)$ матрицы Fпосвящены работы [1-5]. Значительное внимание в них уделено связи между системами (1) и системами линейных дифференциальных уравнений второго порядка

$$\dot x=Ax\, .$$ (2)

В настоящей статье применен подход [6], сопоставляющий системе (1) некоторое разностное уравнение с дробно-линейной функцией последования, что позволило установить новые свойства системы, обнаружить связь различных систем (1). Дана полная классификация типов системы (1), основными параметрами системы взяты $s(F)={\mathrm tr}\, F,\ \ \Delta(F)={\mathrm det}\, F$ (аналогичный выбор применительно к (2) сделан в [7, cтр. 301-302]).