2. Построим для системы (1) при $\Delta\neq 0$ семейство попарно непересекающихся инвариантных (относительно F) ориентированных кривых, заполняющих фазовую плоскость системы, причем каждая инвариантная кривая семейства мощности континуума является объединением континуального множества решений системы. Инвариантные кривые системы (1) состоят из фазовых траекторий (одной или двух) некоторой системы дифференциальных уравнений (2), тогда тип системы (1) определяется типом найденной системы (2).

Будем говорить, что система (1) является $\tau$-дискретизацией ($\tau>0$) системы (2), если $F=e^{A\tau}.$ Впрочем, выбирая в (2) вместо A матрицу $\mu A,$ $\mu>0,$ можно добиться, чтобы $\tau=1,$ тогда

$$F=e^{A}\, .$$ (14)

Выясним, когда система (1) является 1-дискретизацией некоторой системы (2). Условие (14) означает, что A - вещественный логарифм матрицы F (оказывается матрица F может иметь бесконечное множество вещественных логарифмов). Известно [9, cтр. 221], что необходимым и достаточным условием существования вещественного ${\mathrm ln}\,F$ является невырожденность матрицы F и отсутствие у нее отрицательных собственных значений с нечетным числом элементарных делителей. Свойство (14) справедливо поэтому тогда и только тогда, когда $F\in \widehat M=\widehat M_1\cup \widehat M_2,$ где

$$\widehat M_1=\{F\in M\vert{\omega}>4^{-1}\}\cup M_2(4^{-1}),$$

$$\widehat M_2=\{F\in M\vert<{\omega}<4^{-1},s>0\}\cup \{F\in M_1(4^{-1}),\quad s>0\}.$$

Для матрицы $F\in \widehat M$ определена функция F^t, $t\in \Bbb R$:

$$F^t=\left\{ \begin{array}{ll} b_tF-\Delta b_{t-1}E &, \ \ \... ...^tS(\varphi t)&, \ \ \ F\in M_2(4^{-1})\, ; \end{array}\right.$$ (15)

здесь $b_t=\frac{\lambda_1^t-\lambda_2^t}{\lambda_1-\lambda_2},$ $S(\alpha)=\left( \begin{array}{cc} \cos\,\alpha & \sin\,\alpha \\ -\sin\,\alpha & \cos\,\alpha \end{array}\right)$ - матрица вращения вокруг O на угол $\alpha$ (при $\alpha>0$ - по часовой стрелке, при $\alpha<0$ - против часовой стрелки).

Формулы ( $\ref{eq15}_1$), ( $\ref{eq15}_2$) сразу следуют из общей формулы функции от $2\times 2$-матрицы

$$g(F)=\left\{ \begin{array}{ll} (\lambda_1-\lambda_2)^{-1}((... ...E &, \ \ \ \lambda_1=\lambda_2=\lambda\, . \end{array}\right.$$ (16)

Для вывода формулы ( $\ref{eq15}_3$) предварительно вычисляется матрица ${\mathrm ln}\,(\lambda E)$ (см. (18), k=0), а затем с учетом (16) находится $F^t=e^{{\mathrm ln}\,(\lambda E)t}.$

Формулы (15) определяют инвариантные кривые и решения системы (1) при $F\in \widehat M:F^tx,t\in\Bbb R$ - инвариантная кривая, проходящая через x, $F^nx,\; n\in{\Bbb Z}_0$ - решение с начальным условием x.

Используя теорему Кэли-Гамильтона, нетрудно доказать, что функция $b_t=b_t(s,\Delta)$ удовлетворяет при всяком $t\in \Bbb R$линейному разностному уравнению второго порядка

$$b_{t+2}=sb_{t+1}-\Delta b_t\, ,$$ (17)

причем b₀=0, b₁=1, b₂=s.

В случае ${\omega}>4^{-1}$ формула ( $\ref{eq15}_1$) уточняется: тогда

$$b_t=\Delta^{(t-1)/2}\sin^{-1}\varphi\times\linebreak \times \sin\,\varphi t$$

и

$$F^t= \Delta^{(t-1)/2}\sin^{-1}\varphi( \sin\,\varphi t\,F-\sqrt{\Delta} \sin\,\varphi(t-1)E).$$

Инвариантные кривые F^tx, $x\ne 0$ - спирали при $\Delta\ne 1$ и эллипсы при $\Delta= 1.$ Движение вдоль них с ростом t происходит по часовой стрелке, если b>0, и против часовой стрелки, если b<0 (в случае ${\omega}>4^{-1}$ обязательно bс<0, так что "указателем" направления вращения, наряду с ${\mathrm sgn}\,b,$ может служить ${\mathrm sgn}\,c$).

Однако в случае $F\in \widehat M_1$ найденное семейство инвариантных кривых $\{F^tx\}$ системы (1) не единственно. Действительно, введем функции

$$F^t_k= \left\{ \begin{array}{ll} \Delta^{\frac{t-1}{2}}\sin^{... ...rphi+2\pi k)t)&, \ \ \ F\in M_2(4^{-1})\, , \end{array}\right.$$

где $t\in {\Bbb R},$ $k\in {\Bbb Z}.$ При этом F₀^t=F^t. Так как F_kⁿ=Fⁿ, $n\in {\Bbb Z}_0,$ то все кривые F_k^tx содержат решение Fⁿx.

Докажем, что каждая из функций F_k^t, если $F\in \widehat M_1,$ а также функция F^t, определенная формулой ( $\ref{eq15}_1$) при $0<{\omega}<4^{-1},$ s>0 и формулой ( $\ref{eq15}_2$) при $F\in M_1(4^{-1}),$ s>0 является экспоненциалом $e^{{\mathrm ln}\,Ft}$вещественной матрицы ${\mathrm ln}\,F.$ Поэтому выделенные семейства инвариантных кривых - фазовые траектории соответствующих систем $\dot x={\mathrm ln}\,F,$откуда и будут следовать при $F\in \widehat M$ свойства инвариантных кривых, указанные в начале п. 2.

Убедимся, что матрица $F\in \widehat M_1$ имеет счетное множество ln_kF, $k\in \Bbb Z$ вещественных значений логарифма, тогда e^ln_kFt=F_k^t. Зададимся вначале матрицей $F\in M(s,\Delta)\subset M({\omega}),$ ${\omega}>4^{-1}.$ Укажем ${\mathrm ln}_k\overline F$ для матрицы $\overline F=rS(\varphi) \in M(s,\Delta))$:

$${\mathrm ln}_k\overline F= \left( \begin{array}{cc} {\mathrm... ... k\\ -(\varphi+2\pi k)&{\mathrm ln}\,r \end{array}\right)\, ;$$ (18)

непосредственно проверяется, что, действительно, $e^{{\mathrm ln}_k\overline F}= \overline F.$ Выбранная матрица $F\in M(s,\Delta)$ подобна $\overline F: F=T^{-1}\overline FT.$ Рассмотрим матрицы $A_k=T^{-1}{\mathrm ln}_k\overline FT,$тогда $e^{A_k}=T^{-1}e^{{\mathrm ln}_k\overline F}T$ и A_k=ln_kF. При этом

$$\lambda_{1,2}({\mathrm ln}_kF)={\mathrm ln}_k\lambda_{1,2}(F)={\mathrm ln}\,r\pm i(\varphi+2\pi k)\, .$$ (19)

Для матрицы $F=\lambda E \in M_2(4^{-1})$ значения ln_kF, $\lambda_{1,2}({\mathrm ln}_kF)$ находятся из (18), (19) при $r=\vert\lambda\vert,$ $\varphi=0$ или $\varphi=\pi.$

В случае $F\in \widehat M_2$ рассуждения такие же, как и при ${\omega}>4^{-1}$: если $0<{\omega}<4^{-1},$ s>0, то выбираем $\overline F={\mathrm diag}\{\lambda_1,\lambda_2\},$ тогда ${\mathrm ln}\,\overline F= ={\mathrm diag}\{{\mathrm ln}\,\lambda_1,{\mathrm ln}\,\lambda_2\}$; если же $F\in M_1(4^{-1}),$ s>0, то $\overline F=J(\lambda),$ ${\mathrm ln}\,\overline F=\lambda^{-1}J(\lambda)+ ({\mathrm ln}\,\lambda-1)E.$ Матрица $F\in \widehat M_2$ имеет лишь один вещественный логарифм.

Рассмотрим подробнее ситуацию $F\in \widehat M_1,$ когда система (1) является 1-дискретизацией счетного множества систем

$$\dot x={\mathrm ln}_k\, F,\quad k\in {\Bbb Z}\, .$$ (20)

Из (19) следует, что при $F\in \widehat M_1,$ $F\ne \lambda E$( $\lambda >0$) все системы (20) одинаковых типов [7]: ``фокус'' (устойчивый, когда r<1, и неустойчивый, когда r>1), ``центр'', когда r=1.Если же $F=\lambda E,$ $\lambda >0,$ $\lambda\ne 1,$ то система $\dot x={\mathrm ln}_0\, F$ имеет тип ``дикритический узел'' (устойчивый при $\lambda <1$ и неустойчивый при $\lambda >1$), ее фазовые траектории - O-лучи, т.е. открытые лучи на O-прямых, отсекаемые на них точкой O. Тогда система (1) - дискретизация систем (20) различных типов: ``дикритический узел'' (k=0), ``фокус'' $(k\ne 0).$Наконец, при F=E, т.е. в случае $(s,\Delta)=(2,1),$ система (1) оказывается дискретизацией систем (20) типов: ``плоскость положений равновесия'' (k=0), ``центр'' $(k\ne 0).$

Зафиксировав $F\in \widehat M_1,$ $x\ne 0,$ уточним, как отличаются различные инвариантные кривые F_k^tx системы (1). Переходя из положения Fⁿx в положение Fⁿ⁺¹x, кривые F_k^tx, k>0,в отличие от F₀^tx, дополнительно совершают k оборотов вокруг O.Случай k<0 различается тем, что попадание из Fⁿx в Fⁿ⁺¹xтеперь происходит во вращении в противоположном направлении, но последний из k оборотов неполный. Поэтому во многих случаях более простым представляется семейство $\{ F_0^tx\}.$ Тип системы (1) при $F\in \widehat M_1$ в таблице совпадает с типом системы $\dot x={\mathrm ln}_0\, F.$Полезно, однако, иметь в виду условность выбора конкретного семейства $\{ F_k^tx\}$; так, при F=-E (тогда $(s,\Delta)=(-2,1)$) фрагменты F₀^tx, F_-1^tx, $t\in [n,n+1],$ $x\ne 0$инвариантных кривых - дуги полуокружностей с центром O, пробегаемые в противоположных направлениях.

В случае $F\in \widehat M_2$ система (1) - дискретизация единственной системы $\dot x={\mathrm ln}\,F,$ тип которой будем считать типом исходной системы. Здесь возникают типы ``узел'' (устойчивый и неустойчивый), ``седло'' и различные негрубые случаи. Среди последних выделим типы ``аттракторы'', ``репеллеры'', ``сдвиги''. Эти термины введены здесь для обозначения ситуаций в системах (1) с особой матрицей ${\mathrm ln}\,F.$ Тогда существует $\lambda_i=\lambda_i(F)=1,$ при этом соответственно $0<\lambda_j<1$; $\lambda_j>1$; $\lambda_j=1,$ $F\sim J(1).$На фазовой плоскости наблюдаем O-прямую h=h<sub>i</sub>положений равновесия системы. В первых двух случаях инвариантные кривые, отличные от положений равновесия - лучи на прямых, параллельных O-прямой h=h<sub>j</sub>, отсекаемые прямой h=h<sub>i</sub>. Движение вдоль каждого луча происходит по направлению к соответствующему положению равновесия (тип ``аттракторы'') и от него (тип ``репеллеры''). В случае системы типа ``сдвиги'' инвариантные кривые являются прямыми, параллельными прямой h=h_i, а движение вдоль них равномерно.

Пусть теперь $F\not\in \widehat M,$ $\Delta (F)\ne 0.$ Тогда существует $\lambda_{i}<0.$ Введем матрицу B=F². Для нее $s(B)=\lambda_1^2(F)+\lambda_2^2(F)>0,$ $\Delta (B)>0,$ $0<{\omega}(B)\le 4^{-1}.$Точнее, $B\in \widehat M_1\cup M_2(4^{-1})\subset \widehat M,$ причем $B\in M_2(4^{-1})$ лишь в случае s(F)=0, ${\omega}(F)=-\infty.$Значит, для системы

x^(k+1)=Bx^(k) (21)

существует семейство $\{B^tx\}$ инвариантных кривых, единственное при $s(F)\ne 0.$ В случае s(F)=0 выберем B^t=B₀^t. Каждое решение x⁽ⁿ⁾ системы (1) принадлежит двум (возможно, совпадающим) инвариантным кривым $\Gamma,$ $\Gamma^1$ названного семейства, переходя на каждом шаге с одной из этих кривых на другую. Множество $\Gamma\cup\Gamma^1$является инвариантной кривой системы (1) ¹. Действительно, пусть $\Gamma$ - инвариантная кривая системы (21), проходящая через x⁽⁰⁾, тогда $\Gamma^1=F(\Gamma)$ - инвариантная кривая той же системы, проходящая через x⁽¹⁾, при этом и $\Gamma=F(\Gamma^1).$ В силу (21) $x^{(2k)}\in\Gamma,$ $x^{(2k+1)}\in \Gamma^1,$ $k\in\Bbb N.$ Для любой точки $x\in\Gamma\cup\Gamma^1,$ очевидно, $F^nx\in\Gamma\cup\Gamma^1,$ $n\in\Bbb N.$ Если $x^{(1)}\in\Gamma,$ то $\Gamma=\Gamma^1$; это случается лишь тогда, когда $\Gamma$ - O-луч на инвариантной O-прямой, отвечающей $\lambda_j>0.$

	Тип системы	Условия на s, $\Delta,$ ${\omega}$	Условия на $\lambda_{1,2}$
1	Устойчивый фокус	${\omega}>4^{-1},$ $\Delta<1$	$0<\varphi<\pi,$ r<1
2	Неустойчивый фокус	${\omega}>4^{-1},$ $\Delta>1$	$0<\varphi<\pi,$ r>1
3	Устойчивый узел	$0<{\omega}<4^{-1},$ $\sigma(1)>0,$	$0<\lambda_{1,2}<1$
		0<s<2
4	Устойчивый	$0<{\omega}<4^{-1},$ $\sigma(-1)>0,$	$-1<\lambda_{1,2}<0$
	узел-2	-2<s<0
5	Устойчивый	${\omega}<0,$ $\sigma(\pm 1)>0$	$\lambda_1\lambda_2<0,$
	узел-3		$0<\vert\lambda_{1,2}\vert<1$
6	Неустойчивый узел	$0<{\omega}<4^{-1},$ $\sigma(1)>0,$	$\lambda_{1,2}>1$
		s>2
7	Неустойчивый	$0<{\omega}<4^{-1},$ $\sigma(-1)>0,$	$\lambda_{1,2}<-1$
	узел-2	s<-2
8	Неустойчивый	$\sigma(\pm 1)<0$	$\lambda_1\lambda_2<0,$
	узел-3		$\vert\lambda_{1,2}\vert<1$
9	Седло	${\omega}>0,$ $\sigma(1)<0$	$\lambda_{1,2}>0,$
			$(1-\lambda_1)(1-\lambda_2)<0$
10	Седло-2	${\omega}>0,$ $\sigma(-1)<0$	$\lambda_{1,2}<0,$
			$(1+\lambda_1)(1+\lambda_2)<0$
11	Седло-3	${\omega}<0,$ $\sigma(1)\sigma(-1)<0$	$\lambda_1\lambda_2<0,$ $(1-\vert\lambda_1\vert)$
			$\cdot(1-\vert\lambda_2\vert)<0$
12	Центр	$\Delta<1,$ -2<s<2	$0<\varphi<\pi,$ r=1
13	Устойчивый дикритический узел. Устойчивый вырожденный узел	${\omega}=4^{-1},$ 0<s<2	$0<\lambda_1=\lambda_2<1$
14	Неустойчивый дикритический узел. Неустойчивый вырожденный узел	${\omega}=4^{-1},$ s>2	$\lambda_1=\lambda_2>1$
15	Устойчивый фокус. Устойчивый вырожденный узел-2	${\omega}=4^{-1},$ -2<s<0	$-1<\lambda_1=\lambda_2<0$

Таб. 1:

16	Неустойчивый фокус.	${\omega}=4^{-1},$ s<-2	$\lambda_1=\lambda_2<-1$
	Неустойчивый вырожденный узел-2
17	Плоскость положений равновесия. Сдвиги	s=2, $\Delta=1$	$\lambda_1=\lambda_2=1$
18	Центр. Сдвиги-2	s=-2, $\Delta=1$	$\lambda_1=\lambda_2=-1$
19	Аттракторы	$\sigma(1)=0,$ 1<s<2	$\lambda_i=1,$
			$0<\lambda_j<1$
20	Аттракторы-2	$\sigma(-1)=0,$ -2<s<-1	$\lambda_i=-1,$
			$-1<\lambda_j<0$
21	Аттракторы-3	$\{\sigma(1)=0,\ 0<s<1\}\cup$	$\lambda_{1,2}<0,$ $\vert\lambda_i\vert=1,$
		$\{\sigma(-1)=0,-1<s<0\}$	$0<\vert\lambda_j\vert<1$
22	Репеллеры	$\sigma(1)=0,$ s>2	$\lambda_i=1,$ $\lambda_j>1$
23	Репеллеры-2	$\sigma(-1)=0,$ s<-2	$\lambda_i=-1,$ $\lambda_j<-1$
24	Репеллеры-3	$\{\sigma(1)=0,s<0\}\cup$	$\lambda_{1,2}<0,$ $\vert\lambda_i\vert=1,$
		$\{\sigma(-1)=0,\ s>0\}$	$\vert\lambda_j\vert>1$
25	Поскость 2- и 1-циклов	s=0, $\Delta=-1$	$\lambda_{1,2}=\pm 1$
26	Устойчивый сингулярный узел	0<s<1, $\Delta=0$	$\lambda_1=0,$
			$0<\lambda_2<1$
27	Устойчивый сингулярный узел-2	-1<s<0, $\Delta=0$	$\lambda_1=0,$
			$-1<\lambda_2<0$
28	Неустойчивый сингулярный узел	s>1, $\Delta=0$	$\lambda_1=0,$ $\lambda_2>1$
29	Неустойчивый сингулярный узел-2	s<-1, $\Delta=0$	$\lambda_1=0,$ $\lambda_2<-1$
30	Прямая положений равновесия	s=1, $\Delta=0$	$\lambda_1=0,$ $\lambda_2=1$
31	Прямая 2-циклов	s=-1, $\Delta=0$	$\lambda_1=0,$ $\lambda_2=-1$
32	Обнуление	$s=\Delta=0$	$\lambda_{1,2}=0$

Рис. 1:

Если $\lambda_{1,2}(F)<0,$ то кривые $\Gamma,$ $\Gamma^1$ симметричны относительно O. Если же $\lambda_{1}\lambda_{2}<0$ и $\lambda_{1}<0$( $\lambda_{2}<0$), то эти кривые расположены по разные стороны от O-прямой h=h₂ (h=h₁); в случае диагональной матрицы F они относительно O-прямой симметричны.

Тип системы (1) определяется теперь типом системы (21) и ${\mathrm sgn}\lambda_{1,2}.$ Обозначив условно тип системы (21) символом ``Т'', при $\lambda_{1,2}<0$ будем говорить о системе (1) типа ``Т-2'', а при $\lambda_{1}\lambda_{2}<0$ - о системе (1) типа ``Т-3''. Впрочем, в случае $F\in M(0,1),$ отвечающем вершине $(s,\Delta) = (0,-1)$ треугольника устойчивости V, отойдем от названного принципа классификации: тогда $\lambda_{1,2}=\pm 1,\;B=E$ и для любого решения системы (1) $\Gamma,$ $\Gamma^1$ -точки. Как видно из (9), решения системы периодичны, являясь 2-циклами при $c_{2}\not= 0$ и 1-циклами при c<sub>2</sub>=0; в этом случае представляется естественным термин ``плоскость 2- и 1-циклов''.

Пусть ${\omega}(F)=0$ и $\lambda_1=0,$ $\lambda_{2}=s\not= 0.$ Как отмечено в п. 1, все необнуляющиеся решения системы (1), начиная с первого шага, находятся на O-прямой h=h₂, которую можно считать единственной инвариантной кривой. Поведение решений на O-прямой описывается уравнением вида (10), где $\lambda=\lambda_{2}.$При $\vert\lambda_{2}\vert\not= 1,$ в зависимости от ${\mathrm sgn}\lambda_{2},$ ${\mathrm sgn}(\vert\lambda_{2}\vert -1),$ возникают системы (1) типов ``сингулярный узел'', ``сингулярный узел-2'' (устойчивые и неустойчивые) [1]. В случае $\lambda_2=1$ наблюдаем ``прямую положений равновесия'', а в случае $\lambda_2=-1$ ``прямую 2-циклов''. Если, наконец, $F\in M(0,0),$ то F^kx=0, k=1 или k=2, и будем говорить об ``обнулении''.

Классификация типов системы (1) дана в таблице, в ней же и на рис. 1 см. разбиение плоскости P на множества, отвечающие системам каждого типа ( P-множества типов). Для случаев, где ${\omega}=4^{-1},$ в таблице приведено название двух типов: первым указан тип системы при $F\in M_{2}(4^{-1}),$ вторым - при $F\in M_{1}(4^{-1}).$

Плоскость P разбивается на 11 P-множеств грубых типов и на 21 P-множество негрубых типов. P-множества грубых типов - открытые множества, отделенные линиями, содержащимися во множестве бифуркаций $P_{*}=\overline{P}\cup P(0)\cup P(4^{-1}).$ P-множества негрубых типов  - дуги линий или отдельные точки, лежащие на P_*. При этом P-множество типа ``Т-2'' симметрично P-множеству типа ``Т'' относительно оси ординат. В свою очередь, P-множество типа ``Т-3'' симметрично относительно этой оси.