Теорема 1.В бесконечномерном пространстве $L_1(S,\Sigma,\mu)$ с $\sigma-$коне-
чной мерой существует центрально-симметричное антипроксиминальное множество $M \in {\cal F}_{cc}(X)$такое, что $X\backslash M$ ограниченно.

Д о к а з а т е л ь с т в о получаем из леммы 6 и предложения 1.

Лемма 7.Пусть X - банахово пространство, $M \in {\cal F}(X)$ - выпуклое антипроксиминальное в Xтело, $0\in \mathrm{int} M,$ тогда $\overline {X \backslash M} \in {\cal F}_{cc} (X)$ антипроксиминально, а $\widehat{M} = \overline{X\backslash (M\cap -M)}\in {\cal F}_{cc}(X)$ - центрально-симмет-
ричное антипроксиминальное в X множество.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем $\partial \widehat{M} \subset (\partial M) \cup (\partial \{-M\})$. Если найдутся $x \in X\backslash \widehat{M}$ и $y \in P_{\widehat{M}}(x),$ то можем считать, без потери общности, что $y \in \partial M , V_{X}(x,x\widehat{M}) \subset M.$По теореме Хана-Банаха найдется линейный непрерывный функционал $f \in S(X^{*}) f(y) = \sup f(M).$Имеем $y \in V_{X} (x,x\widehat{M}) \subset M,$ следовательно, $f(y) = \sup f(V_{X}(x,x\widehat{M}))$и для $H = \{v \in X: f(v) = f(y)\}$справедливо включение $y \in P_H(x).$Тогда для $H^{-} = \{v \in X: f(v) \leq f(y)\}$справедливо $y \in P_{H^{-}}(2y - x).$Но, $y \in M \subset H^-,$ следовательно, $y \in P_M (2y - x),$противоречие, $\widehat{M}$ и $\overline {X \backslash M}$ антипроксиминальны.

Теорема 2.В пространстве C(Q) , где Q - бесконечный бикомпакт, существует центрально-симметричное антипроксиминальное множество $M \in {\cal F}_{cc}(X)$ такое, что $X\backslash M$ ограниченно.

Д о к а з а т е л ь с т в о получаем из леммы 7 и результата [4]: в пространстве C(Q), где Q - бесконечный бикомпакт, существует непустое выпуклое замкнутое ограниченное антипроксиминальное множество.

З а м е ч а н и е . Утверждение обратное к утверждению леммы 7 неверно. По теореме 1 во всех бесконечномерных пространствах $X = L_1(S,\Sigma,\mu)$ ( $\mu \sigma$-конечна) существуют антипроксиминальные множества $M \in {\cal F}_{cc}(X)$такие, что $X\backslash M$ограниченно, но если $\mu$ имеет атом положительной конечной меры, то ограниченных замкнутых выпуклых антипроксиминальных множеств нет [14], в частности в l₁. Их нет [15] и в банаховых пространствах со свойством Радона-Никодима, в том числе в рефлексивных. Следствие 3 показывает, что в рефлексивных банаховых пространствах нет также антипроксиминальных множеств с выпуклым дополнением.

Лемма 8[18].Пусть $X \in (B), \varepsilon > 0, f,g \in S(X^{*}).$ Если из $\Vert x\Vert \leq \linebreak \leq 1, f(x) = 0$ вытекает $\vert g(x)\vert < \varepsilon\slash 2,$ то или $\Vert f - g\Vert \leq \varepsilon$или $\Vert f + g\Vert \leq \varepsilon.$

Лемма 9.Пусть $X \in (B), M \in {\cal F}_{cc}(X), x \in X\backslash M, f \in S^{*}, \linebreak f(x) = \inf \{f(z): zM \geq xM\}.$Если для любых последовательностей x_n, f_n таких, что $x_n \to x, f_n \in S^{*}, f_n (x_n ) = \inf \{f_n (z): zM \geq x_nM\} (n = 1,2,...),$имеем $f_n \to f,$ то функция расстояния $\varphi$дифференцируема по Фреше в точке x.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим $b = xM , b_n = x_nM , Q' = Q(0) = \linebreak = \{z \in X : zM \geq b\} , Q(b_n... ...break zM \leq b\} , M(b_n) = \{z\in X:zM \leq b_n\}, H =\{z\in X:f(z)= f(x)\}.$

Докажем, что $b < \sup \{zM : z \in X\}$. Допустим противное:
$b = xM = \sup \{zM: z \in X\}$. Пусть $u \in S(X), f(u) = a > 0, x_n = x + u/n.$ Возьмем

$$f_n\in S(X^{*}), f_n(x_n) = \inf \{f_n(z): zM \geq x_nM\}.$$

По условию

$$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{f_n (x_n - x)}{x_nx} = \lim\limits_{n \to \infty}\frac{f(x_n - x)}{x_nx} = a > 0,$$

но ${\displaystyle \frac{f_n(x_n - x)}{x_nx} \leq 0,}$ так как $xM \geq x_nM$, противоречие. Следовательно,
$b < \sup \{zM : z \in X\},$а Q' - выпуклое тело.

Возьмем произвольную последовательность $x_n \to x.$

Рассмотрим случай, когда $x_n \in \partial Q'.$ Имеем

$$\frac{\varphi(x_n ) - \varphi(x) - f(x_n - x)}{xx_n} = \frac{f(x - x_n )}{xx_n} \leq 0,$$

$$\frac{f(x-x_n )}{xx_n} = \frac{f_n (x-x_n ) + (f - f_n )(x -... ... xx_n} \geq \frac{f_n (x - x_n)}{ xx_n} - \Vert f - f_n \Vert,$$

$$\frac{f_n (x - x_n)}{xx_n} \geq 0, \Vert f - f_n \Vert \to 0,$$

следовательно,

$$\frac{\varphi(x_n ) - \varphi(x) - f(x_n - x)}{xx_n} \to 0.$$

Рассмотрим случай, когда $x_n \in \mathrm{int} Q'.$ Возьмем последовательность $y_n \in \partial Q'$ такую, что $x_n y_n \leq x_n M(b) + xx_n /n , x_n y_n \leq xx_n,$ тогда $xy_n \leq 2 xx_n.$Пусть $g_n \in S^{*}, g_n(y_n ) = \inf \{g_n(z): zM \geq y_n M\}, \linebreak H_n = \{z \in X: g_n(z) = g_n(y_n )\}$. По условию $g_{n} \to f.$ Как доказано выше,

$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\varphi(y_n) - \varphi(x) - f(y_n - x)} {xy_n} = 0,$$

$$x_ny_n \geq g_n (x_n - y_n ) = x_n H_n \geq x_n M(b) \geq x_n y_n - xx_n /n ,$$

$$xy_n \leq 2xx_n , x_ny_n \leq xx_n .$$

По соотношению Ефимова-Стечкина (см., например, [7, стр. 27])
x_nM = x_n M(b) + b.В итоге получаем

$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\varphi(x_n ) - \varphi(x) - f(x_n - x)}{xx_n} =$$

$$= \lim\limits_{n\to\infty}\left[\frac{\varphi(y_n ) - \varph... ...{\varphi(x_n ) - \varphi(y_n ) - f(x_n - y_n) }{xx_n}\right] =$$

$$= \lim\limits_{n \to \infty}\frac{\varphi(x_n ) - \varphi(y_n ) - f(x_n - y_n )}{xx_n} =$$

$$= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\varphi(x_n ) - \varphi(y_n ) - g_n (x_n - y_n )}{xx_n} =$$

$$= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{x_n M(b) - g_n (x_n - y_n ... ...ts_{n \to \infty} \frac{x_n y_n - g_n (x_n - y_n )}{xx_n} = 0.$$

Остался случай, когда $x_n \notin Q'.$ Пусть $v_n \in \partial M(b_n) , xv_n \leq xM(b_n) + \linebreak + xx_n/n , f_n, g_n \... ...\inf \{f_n (z): z \in Q(b_n)\}, g_n (x_n ) = \inf \{g_n (z): z \in Q(b_n) \}.$Имеем $xv_n \leq xx_n\cdot (1 + 1/n) ,$по условию $f_n \to f , g_n \to f.$Имеем

$$0 \leq \frac{f_n (x_n - v_n )}{x_nv_n}, \frac{g_n (x_n - v_n )}{x_n v_n} \leq 0, \Vert f_n - g_n \Vert \to 0,$$

следовательно,

$$\frac{f_n (x_n - v_n )}{ x_nv_n} \to 0,$$

а так как $x_n v_n \leq 3 xx_n ,$то

$$\frac{f_n (x_n - v_n )}{xx_n} \to 0, \frac{f(x_n - v_n )}{xx_n} \to 0.$$

Обозначим

$$H_n = \{ z \in X: f_n (z) = f_n (v_n )\}.$$

Имеем

$$f_n (x - v_n ) = xH_n \geq xM(b_n) \geq xv_n - xx_n/n (*) , \varphi(x_n) = x_n M = v_nM = \varphi(v_n).$$

Снова используя соотношение Ефимова-Стечкина xM = xM(b_n) + b_n,получим: $\varphi (x) \geq \varphi (v_n) + xv_n - xx_n/n (**).$ Из (*) и (**) получаем, что

$$-xx_n/n \leq - xv_n - f_n(v_n - x) \leq \varphi (v_n) - \varphi (x) - f_n(v_n - x) \leq$$

$$\leq - xv_n + xx_n/n - f_n(v_n - x) \leq xx_n/n$$

(предпоследнее неравенство следует из (**)), тогда

$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\varphi(v_n ) - \varphi(x) -... ...y} \frac{\varphi(v_n ) - \varphi(x) - f_n(v_n - x)}{xx_n} = 0,$$

а в силу ${\displaystyle \frac{f_n (x_n - v_n )}{xx_n} \to 0}$ получаем ${\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\varphi(v_n ) - \varphi(x) - f(v_n - x)}{xx_n} = 0.}$

Лемма 10.Пусть $X \in (B), M \in {\cal F}_{cc}(X) , x \in F_{M} \backslash M,$ $f_n \in S^{*} ,\linebreak\lim\limits_{n \to \infty} (f_n (x) - \inf \{f_n (z):zM \geq xM \}) = 0.$Тогда $f_n \to d\varphi(x) = f.$

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть $H = \{v \in X: f(v) = f(x)\}, \linebreak H_n = \{v \in X: f_n (v) = f_n (x)\},... ...v \in X: vM \geq xM \}, H_n^1 = \{v \in X: f_n (v) = \inf\{f_n (z): z \in Q\}\}$.

Рассмотрим случай, когда r_n > a > 0 для всех номеров n. Возьмем последовательность $v_n \in A_n$ и $z_n \in H$такие, что $v_n H > a, z_n v_n < (1 + \linebreak + 1/n) v_n H , f(v_n - z_n ) > 0.$Возьмем точку $w_n \in H^1_n$ такую, что $\Vert w_n - x\Vert \leq d(w_n,H_n)(1 + 1/n),$ и $x_n = w_n + 2\Vert w_n - x\Vert\cdot (v_n - x) /a.$ Имеем по условию $f_n (w_n - x) \to 0,$ следовательно, $xw_n \to 0.$ Имеем

$$\frac{\varphi(x_n) - \varphi(x) - f(x_n - x)} {xx_n} \leq \fr... ...+ \frac{(v_n - x)\cdot 2\cdot \Vert w_n - x\Vert}{a})}{xx_n} =$$

$$=\frac{f(x - w_n) - f(v_n - x)2 \Vert w_n - x\Vert/a)}{xx_n} \leq \frac{-2\Vert w_n - x\Vert + f(x - w_n)}{xx_n} \leq$$

$$\leq \frac{-\Vert w_n - x\Vert}{xx_n} = \frac{-\Vert w_n - x\... ... (v_n - x)2\Vert w_n - x\Vert/a\Vert} \leq \frac{-1}{1 + 2/a}.$$

Но это противоречит предположению $x\in F_M.$ Остался фактически случай, когда $r_n \to 0,$ но тогда по лемме 8 $f_n \to f.$

Следствие 6.Пусть $X \in (B), M \in {\cal F}_{cc}(X), x \in X\backslash M.$Следующие условия эквивалентны:

а)в точке x функция расстояния $\varphi$ дифференцируема по Фреше;

б)для $x_n \to x, f_n \in S(X^{*} ) , f_n (x_n ) = \inf \{f_n (z) : zM \geq xM\}, n = 0,1,.... ,$ имеем $f_n \to f = d\varphi(x);$

в)если для $f_n \in S(X^{*})$ справедливо равенство

$$\lim\limits_{n \to \infty} \vert f_n (x) - \inf \{f_n (z): zM \geq \varphi(x)\}\vert = 0, \mbox{то} f_n \to f = d\varphi(x).$$

Д о к а з а т е л ь с т в о. а) $\Rightarrow$ в) по лемме 10, в) $\Rightarrow$б) очевидно,
б) $\Rightarrow$ а) по лемме 9.

Нам потребуются следующие обозначения: G_M - множество тех $x\in X,$ где $\varphi$ имеет производную Гато $d\varphi(x) = f \in X^*,$ так что $\forall h\in X$

$$f(h) = \lim\limits_{t \to 0} \frac{\varphi(x + th) - \varphi(x)} {t};\eqno(*)$$

F_M - множество тех $x\in G_M,$ где предел (*) равномерен по $h \in S(X)$ (в этом случае f называется производной Фреше, а $\varphi$дифференцируемой по Фреше в точке x);

$G^{1}_{M} = \{x \in G_M: \Vert d\varphi(x)\Vert = 1\}.$

Теорема 3.Пусть $X \in (B), M \in {\cal F}_{cc}(X), N = {\cal T}_1(M), x \in X\backslash M.$Тогда:

а) $x \in G_{M} \Leftrightarrow \overline{\mathbf{x}}$достигает максимума на N только в одной точке;

б) $x \in G^{1}_{M} \Leftrightarrow \overline{\mathbf{x}}$достигает максимума на N только в одной точке и эта точка принадлежит $N \cap \partial K^{*} ;$

в) $x \in F_{M} \Leftrightarrow \overline{\mathbf{x}}$ - сильно^* достигающий функционал для N.

Д о к а з а т е л ь с т в о. а). Доказательство импликации " $\Rightarrow$". По известной теореме, см., например, [21, стр. 29] , существует единственный функционал $\mathbf{f} \in Y^{*}$ такой, что $\left\langle\mathbf{f},\overline{\mathbf{x}}\right\rangle = \sup\left\langle \mathbf{f},C\right\rangle = 1.$ Так как $[\overline{\mathbf{x}} - K]\cap Y_{+} \subset \linebreak \subset C,$ то $\mathbf{f} \in N.$

Доказательство импликации " $\Leftarrow$". Пусть $\overline{\mathbf{x}}$достигает максимума на N только в одной точке, обозначим ее через f. Как известно, для дифференцируемости по Гато непрерывной вогнутой функции $\varphi$ в точке x необходимо и достаточно, чтобы в точке $(x, \varphi(x))$ существовала единственная опорная к подграфику гиперплоскость. Допустим, что в точке $\overline{\mathbf{x}}$ к C касательны две различные гиперплоскости, т.е. существуют $(g_1,\mu_1) ,(g_2,\mu_2) \in Y^{*}$такие, что $(g_1,\mu_1) \ne (g_2,\mu_2),$

$$\left\langle(g_1,\mu_1),\overline{\mathbf{x}}\right\rangle = ... ...right\rangle = \sup\left\langle(g_1,\mu_1),C\right\rangle = 1.$$

Так как $[\overline{\mathbf{x}} - K]\cap Y_{+} \subset \widetilde{C} = C,$ то $(g_1,\mu_1) ,(g_2,\mu_2) \in N.$По теореме о биполяре

$$\left\langle(g_1,\mu_1),\overline{\mathbf{x}}\right\rangle = ... ...e = \sup\left\langle N,\overline{\mathbf{x}}\right\rangle = 1,$$

противоречие с условием, что $\overline{\mathbf{x}}$ достигает максимума на N только в одной точке.

б). Доказательство импликации " $\Rightarrow$". Имеем $x\in G^{1}_{M} \subset G_{M},$по доказанному в пункте а) $\overline{\mathbf{x}}$ достигает максимума в некоторой единственной точке $\mathbf{f} \in N.$По лемме 3(д) $\mathbf{f} = (f,\lambda)$ достигает максимума на Cв точке $\overline{\mathbf{x}}.$ Поскольку $x \in G^{1}_{M},$то найдется $g \in S^{*} , g(x) = \sup \{ g(z): zM \geq xM\}$ такое, что для любого числа $\varepsilon > 0$найдутся $a\in S,x_n \in X\backslash M, x_nM \geq \linebreak \geq xM, x_n \to x, x_n - x ... ...its_{n\to \infty} {\displaystyle \frac{g(x_n - x)}{x_nx} \geq 1 - \varepsilon.}$ В силу $x\in G_{M}$имеем

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_nM - xM -g(x_n - x)}{x_nx} = 0,$$

следовательно,

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_nM - xM}{x_nx}\geq 1 - \varepsilon.$$

Тогда

$$0 \geq \lim\limits_{n\to \infty} \frac{\left\langle\mathbf{f}... ...\lim\limits_{n\to \infty} \frac{\lambda(x_nM - xM)}{xx_n} \geq$$

$$\geq \lim\limits_{n\to \infty} \frac{f(x_n - x)}{xx_n} + \lam... ...varepsilon), \Vert f\Vert \geq \lambda\cdot (1 - \varepsilon).$$

В силу произвольности $\varepsilon$ получаем $\lambda \leq \Vert f\Vert,$но $\mathbf{f} \in K^{*},$ следовательно, $\lambda \geq \Vert f\Vert,$тогда $\mathbf{f} \in \partial K^{*}.$

Доказательство импликации " $\Leftarrow$". По пункту (а) $x\in G_{M}.$Осталось доказать, что $\Vert d\varphi(x)\Vert = 1.$Пусть $\overline{\mathbf{x}}$достигает максимума в точке $\mathbf{f} \in N \cap \linebreak \cap\partial K^{*}.$Имеем $\lambda = \Vert f\Vert.$ По лемме 3(а) и 3(д) $\left\langle\mathbf{f},\overline{\mathbf{x}}\right\rangle = 1 = \sup\left\langle\mathbf{f},C\right\rangle = \sup f(X\backslash M).$ Пусть $d\varphi(x) = g,$ имеем $f(x) = \sup f(Q),$следовательно $, f = \lambda g,$ где $\lambda < 0.$ Так как $(\overline{\mathbf{x}} -K)\cap Y_{+} \subset \widetilde{C} = C$ , то по лемме 1(б) гиперплоскость $H = \{z \in X :f(z) = 1\} \cap X$касательна к $X\backslash M$ и xM = xH. Ясно, что $g(H) = \inf \{g(z): z \in X\backslash M\}$. Возьмем $z_n \in H$ такую, что $z_n x \leq xH + xH \slash n.$ Пусть $x_n \in [z_n ,x], xx_n = z_n x\slash n.$ Считаем, без потери общности, что $x_{n}\in X\backslash M.$Имеем

$$xH - xx_n = xM - xx_n \leq x_n M \leq x_n H = \frac{xH\cdot z_nx_n}{xz_n} = xH (1 - \frac{xx_n}{xz_n}),$$

тогда

$$-1 - \frac{g(x_n - x)}{xx_n} =\frac{-(xx_n + g(x_n - x))}{xx_... ...eq \frac{\varphi(x_n ) - \varphi(x) - g(x_n - x)}{xx_n} \leq$$

$$\leq \frac{-\frac{xx_n\cdot xH}{xz_n} - g(x_n - x)}{xx_n} = ... ... - \frac{g(x_n - x)}{xx_n} + \left(1- \frac{xH}{xz_n}\right),$$

но ${\displaystyle \frac{\varphi(x_n ) - \varphi(x) - g(x_n - x)}{xx_n} \to 0,} 1 - {\displaystyle \frac{xH}{xz_n} \to 0,}$следовательно, ${\displaystyle \frac{- g(x_n - x)}{xx_n}}$
$\to 1$ и $\Vert g\Vert = 1.$

в). Доказательство импликации " $\Rightarrow$". Пусть $x \in F_{M} \backslash M.$ По пункту (б) существует единственный функционал $\mathbf{f} \in N$ такой, что $1 = \left\langle\mathbf{f},\overline{\mathbf{x}}\right\rangle = \sup\left\langle N,\overline{\mathbf{x}}\right\rangle$ и $\mathbf{f} \in N \cap \partial K^{*}.$Если $\overline{\mathbf{x}}$ не является сильно^* достигающим функционалом, то найдутся $\mathbf{g}_n \in N$ и число $\varepsilon > 0$ такие, что $\left\langle \mathbf{g}_n,\overline{\mathbf{x}}\right\rangle \to 1 , \Vert\mathbf{g}_n - \mathbf{f}\Vert \geq \varepsilon.$

Рассмотрим множества $A_{n} = \{\mathbf{g}\in N\cap \partial K^{*}: \langle\mathbf{g},\overline{\math... ...verline{\mathbf{x}}\rangle - \langle\mathbf{f},\overline{\mathbf{x}}\rangle \}.$ $\mathbf{f}\in A_n,$ следовательно, $A_n\ne \O, \langle\mathbf{g}_n,\overline{\mathbf{x}}\rangle < \langle\mathbf{f},\overline{\mathbf{x}}\rangle,$тогда $\mathbf{g}_n\in w^{*}$- cl co A_n.Если бы было $A_n \subset V_{Y^{*}}(\mathbf{f},\varepsilon),$то $\mathbf{g}_n\in w^{*}$- $\mathrm{cl co} A_n \subset V_{Y^{*}}(\mathbf{f},\varepsilon),$что невозможно. Поэтому $\exists \mathbf{f}_n = (f_n,\lambda_n) \in N\cap \partial K^{*}, \Vert\mathbf{f... ...\Vert \geq \varepsilon, \langle\mathbf{f}_n,\overline{\mathbf{x}}\rangle\to 1.$ Обозначим $Q = \{z \in X: zM \geq xM\}$. По лемме 1[3] Q выпукло. Имеем $\lambda_n = \Vert f_n\Vert, f_n (x) + \Vert f_n \Vert xM \to 1 ,$

$$1 \geq \left\langle\mathbf{f}_n,(z,zM)\right\rangle = f_n(z) + \Vert f_n\Vert\cdot zM \geq f_n(z) + \Vert f_n\Vert\cdot xM$$

для любого $z \in Q.$ Тогда $1 - \Vert f_n\Vert\cdot xM \geq f_n(z)$для любого $z \in Q,$ следовательно, $1 - \Vert f_n \Vert\cdot xM \geq \sup f_n(Q).$ Считаем, без потери общности, что пределы

$$\lim\limits_{n\to\infty} (1 - \Vert f_n\Vert\cdot xM), \lim\... ...s_{n\to\infty} f_n (x), \lim\limits_{n \to \infty} \sup f_n(Q)$$

существуют. Тогда

$$\lim\limits_{n \to \infty} f_n (x) = \lim\limits_{n \to \inft... ...o \infty} \sup f_n(Q) \geq \lim\limits_{n \to \infty} f_n (x),$$

следовательно,

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left(f_n (x) - \sup f_n(Q)\right) = 0 .$$

По лемме 10 $f_n \to f,$ тогда $\Vert\mathbf{f}_n - \mathbf{f}\Vert \to 0.$

Доказательство импликации " $\Leftarrow$". Пусть теперь $\overline{\mathbf{x}}$ - сильно^* достигающий функционал для $N , \left\langle\mathbf{f},\overline{\mathbf{x}}\right\rangle = \sup\left\langle N, \overline{\mathbf{x}}\right\rangle;$по лемме 3 (д) $1 = \sup\left\langle\mathbf{f},C\right\rangle .$ По лемме 3(г) $\mathbf{f} \in N \cap \partial K^{*} , \lambda = \Vert f\Vert , f \in X^{*} \backslash\{0\}$. Пусть $x_n \to x,$ тогда $(x_n,x_n M) \to \overline{\mathbf{x}}.$ Возьмем любые $\mathbf{f}_n \in N$ такие, что $\left\langle\mathbf{f}_n,(x_n,x_nM)\right\rangle = \linebreak = \sup\left\langle N,(x_n,x_nM)\right\rangle,$тогда по лемме 3(д) $\sup\left\langle\mathbf{f}_n,C\right\rangle = 1.$ Так как $0 \in X\backslash M,$ то последовательность $\Vert f_n \Vert$ограниченна. Имеем

$$1 = \left\langle\mathbf{f}_n,(x_n,x_nM)\right\rangle = \left... ... \left\langle\mathbf{f}_n,\overline{\mathbf{x}}\right\rangle ,$$

следовательно, $\left\langle\mathbf{f}_n,\overline{\mathbf{x}}\right\rangle \to 1.$В силу условия $\mathbf{f}_n \to \mathbf{f},$тогда $f_n \to f$ и $\lambda_n \to \Vert f\Vert.$ Как доказано ранее, $f_n (x_n ) = \sup \{f_n (z): zM \geq x_n M\}$ для $n = 1,2,...., f(x)= \sup \{f(z):zM \geq xM\}$. По лемме 9 $x \in F_{M} \backslash M.$

Следствие 7 [3].Пусть $X \in (Rf) \cap (B), M \in {\cal F}_{cc}(X).$ Тогда
$G^{1}_{M} \subset E_{M} .$

Следствие 8 [3].Пусть $X \in (Rf) \cap (R) \cap (B), M \in {\cal F}_{cc}(X) .$ Тогда $G^{1}_{M} \subset T_{M} .$

Д о к а з а т е л ь с т в а следствий 7 и 8 получаются из леммы 5 и теоремы 3(б).

Л.П.Власов [8] доказал следующие утверждения:

Пусть X - банахово пространство, X^* строго выпукло, $M \in {\cal F}(X).$Если (а) $X\backslash M \subset E_M \cap G_M$ или (б) $X\backslash M \subset F_M,$ то M выпукло.

Следующая теорема обобщает и уточняет эти утверждения.