Асплунд [1] показал, что по гипотетическому невыпуклому чебышевскому множеству в гильбертовом пространстве можно построить чебышевское множество, дополнение которого выпукло и ограниченно. В связи с этим многие авторы занимаются исследованием аппроксимативных свойств множеств с выпуклым дополнением. Литературу по этому вопросу см. в [3].

Подмножество $A \ne X, A\ne \O,$ линейного нормированного пространства X называется антипроксиминальным, если для любой точки
$x \in X\backslash A$в множестве A нет ближайшей точки.

Известно [2], что в пространстве l₁ с некоторой новой эквивалентной нормой можно построить антипроксиминальное множество с ограниченным выпуклым дополнением. В настоящей работе такие множества будут построены в бесконечномерных пространствах $C(Q), L_{\infty}(S,\Sigma,\mu),\,$ $L_{1}(S,\Sigma,\mu).$О выпуклых антипроксиминальных множествах см. в [4], где имеются ссылки на других авторов.

О б о з н а ч е н и я. X - линейное нормированное пространство,
${\Bbb R}$ - числовая прямая, $Y = X\times {\Bbb R} = \{\mathbf{x} = (x,\mu):x\in X, \mu \in {\Bbb R}\},$² $\Vert\mathbf{x}\Vert = \max\{\Vert x\Vert,\, \vert \mu\vert\},$ для $\mathbf{f} \in Y^{*}, \mathbf{x}\in Y$ полагаем f(x) = $\left\langle \mathbf{f},\mathbf{x}\right\rangle = f(x) + \lambda \mu,$ $Y^{*} = X^{*} + {\Bbb R} = \{\mathbf{f} = (f,\lambda):f\in X^{*}, \lambda \in {\Bbb R}\}, \Vert\mathbf{f}\Vert = \Vert f\Vert + \vert\lambda\vert\},$ $Y_{+} = \{(x,\mu) \in Y: x \in X, \mu \geq 0\},\, Y^{*}_{+} = \{\mathbf{f} \in Y^{*}: f \in X^{*}, \lambda \geq 0\},$ $V_Y(\mathbf{y},r) = \{\mathbf{z} \in Y: \Vert\mathbf{y} - \mathbf{z} \Vert \leq r\},$ $S_Y(\mathbf{y},r) = \{\mathbf{z} \in Y: \Vert\mathbf{y} - \mathbf{z}\Vert = r\},$ $Y^{\char93 } = \{\mathbf{f} \in Y^{*} : \mathbf{f}$ достигает максимума на $V_{Y} (0,1)\}, X^{\char93 } = \{f \in X^{*} : f$ достигает максимума на $V_{X} (0,1)\}, K = \{\mathbf{x} \in Y: x \in X, \mu \geq \Vert x\Vert\}, K^... ...ll \mathbf{x} \in K\}, \Gamma_{f} = \{x \in V_{X} (0,1): f(x) = \Vert f\Vert\}$. Всюду в работе элементы $(x,0) \in X \times {\Bbb R} = Y$ и $(f,0) \in X^{*} + {\Bbb R} = Y^{*}$ будем отождествлять с x и fсоответственно; для $f \in X^{*}, M\subset X, \mathbf{f} \in Y^{*}, A\subset Y, \mathbf{x} \in Y, N\subset Y^{*}$будем сокращать $\sup \{f(x): x\in M \}$ до $\sup f(M), \sup \{\left\langle \mathbf{f},\mathbf{x}\right\rangle: \mathbf{x} \in A \}$ до $\sup \left\langle \mathbf{f},A\right\rangle, \sup \{\left\langle \mathbf{f},\mathbf{x}\right\rangle: \mathbf{f} \in N \}$ до $\sup \left\langle N,\mathbf{x}\right\rangle.$Всюду в работе $\mathbf{e} = (0,1)\in Y\cap Y^{*}, \Vert\mathbf{e}\Vert = 1, {\Bbb R}_{+} = \{\lambda\cdot \mathbf{e}: \lambda \geq 0\}, {\Bbb R}_{-} = -{\Bbb R}_{+}.$Будем обозначать через (B), (R), (Rf) класс банаховых, строго выпуклых, рефлексивных пространств соответственно.

Пусть $M \subset X,$ через intM обозначим множество внутренних точек множества M, через $\overline {M}$ - замыкание множества $M, \partial M = \overline {M} \backslash \mathrm{int }M;$через conv M - выпуклую оболочку множества $M; \varphi(x) = xM = d(x,M) = \linebreak = \inf \{\Vert x - y\Vert: y \in M\}$ - функция расстояния от x до $M, d\varphi(x)$ - ее производная (по Гато или Фреше) ; $P_M(x) = \{z \in M: \Vert x - z\Vert = d(x,M)\},$ $E_{M} = \{x \in X: P_{M}(x) \ne \O\},\, U_{M} = \{x \in X: P_{M}(x)$ не более чем одноточечно $\},\, T_{M} = U_{M} \cap E_{M},\,$ $wAC_{M} = \{x \in X: y_n\in M, xy_n \to d(x,M) \Rightarrow$ $\mbox{некоторая подпоследовательность} y_{n_k}$ $\mbox{слабо сходится к} y\in$ $M\},\, Q(b) = \{x\in X: xM \geq b\}, M(b) = \{x\in X: xM \leq b\}.$

Для подпространства $L\subset Y$ через $L^{\bot}$ будем обозначать аннулятор $\{\mathbf{f} \in Y^{*}: \mathbf{f}(\mathbf{x}) = 0 \forall \mathbf{x} \in L\}.$

Через $M^{\pi} = \{\mathbf{f} \in Y^{*}: \mathbf{f}(\mathbf{x}) \leq 1 \forall \mathb... ...= \{\mathbf{x} \in Y: \mathbf{f}(\mathbf{x}) \leq 1 \forall \mathbf{f} \in N\}$обозначим поляры множеств $M \subset Y, N \subset Y^{*}$соответственно; $M^{\!\pi}_{\:\pi}, N_{\!\pi}^{\:\pi}$ называется биполярой M, N, соответственно. Поляры относительно X, X^* не используются.

Пусть $N\subset Y^{*},$ обозначим через w^*- $\mathrm{ cl\,co}N$ w^*-замыкание выпуклой оболочки множества N в пространстве Y^*.

${\cal F}(X)$ - класс замкнутых непустых множеств из X, ${\cal F}_{cc}(X)$ - класс замкнутых непустых множеств из X с выпуклым дополнением.

${\cal N}$ - класс замкнутых непустых выпуклых ограниченных множеств $N \subset K^{*}$ таких, что

$$0 \in N , N = w^{*}\mbox{-}\mathrm{ cl\,co}(N \cap \partial K^{*}) = K^{*}\cap(N + {\Bbb R}_{-}).$$

Отметим, что по теореме о биполяре $N = (N\cap \partial K^{*})_{\!\pi}^{\:\pi}.$

Лемма 1.Пусть X - линейное нормированное пространство. Справедливы следующие соотношения:

а) $K^{*} = \{\mathbf{f} \in Y^{*} : \lambda \geq \Vert f\Vert\}$;

б)для $\mathbf{f} \in Y^{*}$ такого, что $\lambda = \Vert f\Vert\ne 0$имеет место равенство $\{\mathbf{x}\in K\backslash\{0\}: f(x) + \lambda \mu= 0\} = \{\mathbf{x} \in K... ...0\}: \mathbf{x} = \gamma (\mathbf{e} - z) ,\, \gamma > 0 , z \in \Gamma_{f} \}$;

в)для $\mathbf{x} , \Vert x\Vert = \mu$ имеет место равенство
$\{\mathbf{f} \in K^{*} :f(x) + \lambda \mu= 0\}= \{\mathbf{f} \in K^{*} :\lambda =\Vert f\Vert, x/\Vert x\Vert \in \Gamma_{f}\}$;

г) $\partial K^{*} = \{\mathbf{f} \in Y^{*} :\lambda = \Vert f\Vert\};$

д) $\mathrm{int} K^{*} = \{\mathbf{f} \in Y^{*} : \lambda > \Vert f\Vert\}.$

Д о к а з а т е л ь с т в о. а). Пусть $K^{\prime} = \{\mathbf{f} \in Y^{*} : \lambda \geq \Vert f\Vert\}.$Докажем, что $K^{*} \subset K^{\prime}.$ Пусть $\mathbf{f} \in K^{*},$но $\lambda < \Vert f\Vert - \varepsilon$ и $\varepsilon > 0.$ Рассмотрим $\mathbf{y} = (x, \Vert x\Vert) ,$ где $x \in X , f(-x) \geq \Vert x\Vert\cdot (\Vert f\Vert - \varepsilon).$ По определению $\mathbf{y} \in K.$ Имеем

$$\left\langle \mathbf{f}, \mathbf{y}\right\rangle = \lambda \V... ... x\Vert - \Vert x\Vert\cdot (\Vert f\Vert - \varepsilon) < 0 ,$$

противоречие, следовательно, $K^{*} \subset K^{\prime}.$ Пусть $\mathbf{f} \in K^{\prime}.$ Имеем $\lambda \geq \Vert f\Vert.$ Для любого $\mathbf{x} \in K,$где $x \in X$, получаем

$$\left\langle \mathbf{f}, \mathbf{x}\right\rangle = \lambda \... ...\Vert f\Vert\cdot \Vert x\Vert \geq 0 , \mathbf{f} \in K^{*} .$$

б) и в) доказываются непосредственной проверкой.

г). По пункту а) $\lambda \geq \Vert f\Vert$ для любого $\mathbf{f} \in K^{*} .$ Пусть $\mathbf{f} \in K^{*}$ и $\lambda > \Vert f\Vert,$ т.е. $\lambda > \Vert f\Vert + \varepsilon.$ Возьмем произвольный функционал $\mathbf{g} \in Y^{*}, \Vert\mathbf{g}\Vert = 1, \linebreak x \in X$ - произвольная точка, $\Vert x\Vert \leq 1.$ Имеем

$$\left\langle\mathbf{f} + \frac{\varepsilon \cdot\mathbf{g}}{4... ...ilon \left\langle \mathbf{g},\frac{(x,1)}{4}\right\rangle \geq$$

$$\varepsilon - \frac{\varepsilon \cdot \Vert(x,1)\Vert}{4} \g... ...varepsilon}{4} - \frac{\varepsilon \cdot \Vert x\Vert}{4} > 0,$$

следовательно, $f + {\displaystyle \frac{\varepsilon \mathbf{g}}{4}} \in K^{*}$ и $f \notin\partial K^{*}.$ Тогда $\lambda = \Vert f\Vert.$

д). Равенство $\mathrm{int} K^{*} = \{\mathbf{f} \in Y^{*}:\lambda > \Vert f\Vert\}$ получается из пунктов а)
и г).

О п р е д е л е н и е. Пусть $N \in {\cal F}(Y^{*}).$ Точка $\mathbf{f} \in N$ называется сильно^* достижимой $(\mathbf{f} \in n$- exp^* N), если существует такое $\mathbf{x} \in Y,$ что $\left\langle \mathbf{f},\mathbf{x}\right\rangle = \sup \left\langle N,\mathbf{x}\right\rangle = 1$ и из условий $\mathbf{f}_{n} \in N, \mathbf{f}_{n}(\mathbf{x}) \to 1$ следует, что $\Vert\mathbf{f}_{n} - \mathbf{f}\Vert \to 0;$ функционал xбудем называть сильно^* достигающим.

Для $M\in {\cal F}_{cc}(X), x\in X\backslash M, f \in X^{*},$применяются следующие обозначения:

$$\overline{\mathbf{f}} = (f,\Vert f\Vert), \overline{\mathbf{x}} = (x,xM),$$

$$C = \{\mathbf{x} \in Y: x \in \overline {X \backslash M}, 0 \leq \mu \leq d(x,M)\}$$

(подграфик вогнутой функции $\varphi$).

Нам понадобится следующий аналог полярного соответствия между множествами в X и в Y^*:

${\cal T}_{1}: {\cal F}_{cc}(X) \to 2^{Y^{*}},$ множеству $M \in {\cal F}_{cc}(X)$ставится в соответствие множество $M^{\tau} = {\cal T}_{1}(M) = K^{*} \cap C^{\pi}$ (в лемме 3 будет показано, что $M^{\tau} \in \linebreak \in {\cal N}$).

${\cal T}_{2} :{\cal N}\to {\cal F}_{cc}(X),$множеству $N \in {\cal N}$ ставится в соответствие множество $N_{\tau} = {\cal T}_{2}(N) = \overline{X\backslash N_{\pi}}.$

В лемме 4 будет показано, что $M^{\!\tau}_{\:\tau} = M, N_{\!\tau}^{\:\tau} = N,$ по аналогии с теоремой о биполяре.

Лемма 2.Пусть X - линейное нормированное пространство,
$N\in Y^{*}, 0\in N = w^{*}$- $\mathrm{ cl\,co}(N \cap \partial K^{*}), \widehat{N} = (N + {\Bbb R}_{-})\cap K^{*},$ тогда $\widehat{N}\in {\cal N}.$

Д о к а з а т е л ь с т в о. Включение $\widehat{N} \subset (\widehat{N} + {\Bbb R}_{-})\cap K^{*}$очевидно. С другой стороны,

$$(\widehat{N} + {\Bbb R}_{-})\cap K^{*} = ((N + {\Bbb R}_{-})\cap K^{*} + {\Bbb R}_{-})\cap K^{*} \subset$$

$$\subset ((N + {\Bbb R}_{-}) + {\Bbb R}_{-})\cap K^{*} = (N + {\Bbb R}_{-})\cap K^{*} = \widehat{N},$$

следовательно, $\widehat{N} = (\widehat{N} + {\Bbb R}_{-})\cap K^{*}.$

Докажем, что $\widehat{N} = w^{*}$- $\mathrm{ cl\,co}(\widehat{N} \cap \partial K^{*})$. Включение $\widehat{N} \supset w^{*}$- $\mathrm{ cl\,co}(\widehat{N} \cap \partial K^{*})$ очевидно. С другой стороны, обозначим W = w^*- $\mathrm{ cl\,co} ((N + {\Bbb R}_{-})\cap \partial K^{*}).$ Ясно, что $N,W \subset w^{*}$- $\mathrm{ cl\,co}(\widehat{N} \cap \partial K^{*}).$Если теперь $\mathbf{f}\in \widehat{N},$ то найдется $\mathbf{a}\in N$ такое, что $\mathbf{f}\in [\mathbf{a}, \mathbf{b}],$ где $\mathbf{b}\in (\mathbf{a} + {\Bbb R}_{-})\cap \partial K^{*}\subset W.$ Поэтому $\widehat{N} \subset \linebreak \subset \mathrm{conv} (N \cup W)\subset w^{*}$- $\mathrm{ cl\,co} (\widehat{N} \cap \partial K^{*}), \widehat{N} = w^{*}$- $\mathrm{ cl\,co}(\widehat{N} \cap \partial K^{*})$ и $\widehat{N}\in {\cal N}.$

Лемма 3.Пусть X - линейное нормированное пространство,
$0\notin M \in{\cal F}_{cc}(X), Q = \overline{X\backslash M}, \widetilde C = (C - K)\cap Y_{+}, B = Q^{\pi}\cap\partial K^{*},$
$\widehat{C} = B_{\pi}\cap Y_{+}, M^{\tau} = {\cal T}_{1}(M).$
Тогда :

а) $\widetilde C = \widehat {C} = C;$

б) $M^{\tau} = (C - K)^{\pi}\in {\cal N} ;$

в)для любого $\mathbf{x} \in X \qquad \sup \left\langle M^{\tau},\mathbf{x}\right\rangle = \sup \left\langle M^{\tau} \cap \partial K^{*}, \mathbf{x}\right\rangle;$

г)n- $\mathrm{ exp}^{*}M^{\tau} \subset M^{\tau} \cap \partial K^{*};$

д) если $x\in X\backslash M, \mathbf{f}\in M^{\tau}$и $\sup \left\langle M^{\tau}, \overline{\mathbf{x}}\right\rangle = \left\langle \mathbf{f},\overline{\mathbf{x}}\right\rangle,$ то $\sup \left\langle\mathbf{f},C\right\rangle =$
$= \left\langle\mathbf{f}, \overline{\mathbf{x}}\right\rangle = 1$и $\gamma\cdot \mathbf{f} \notin M^{\tau}$ при $\gamma > 1.$

Д о к а з а т е л ь с т в о. а). Включение $C \subset \widetilde C$ очевидно. Докажем, что $\widetilde C \subset C.$ Возьмем произвольную точку $\mathbf{x} \in C$ и любую точку $(z,\gamma) \in \{\mathbf{x} - K\} \cap Y_{+} .$ Пусть $\widehat {z} \in X, (z,\gamma) \in [(\widehat {z},0) ,\mathbf{x}].$Имеем $\widehat {z}x \leq \mu,$ так как $(x - \widehat {z},\mu) = \mathbf{x} - (\widehat {z},0) \in K.$ Кроме того, $\mu \leq d(x,M)$, по определению множества C, следовательно, $\widehat {z}x \leq d(x,M)$ и $\widehat {z}\in Q.$По лемме 1 [3] функция $d(\cdot,M)$ вогнута на множестве Q, следовательно, C выпукло, тогда $(z,\gamma) \in [\widehat {z},\mathbf{x}]\subset \linebreak \subset C, C = \widetilde C.$

Пусть $\mathbf{x} \in C,$тогда в силу $C = \widetilde C$ имеем $V_{X}(x,\mu) = \{\mathbf{x} - K\} \cap X \subset Q.$Если $\mathbf{f}\in B = Q^{\pi}\cap \partial K^{*},$то $\mathbf{f} = \overline{\mathbf{f}},$ $\left\langle \overline{\mathbf{f}},\mathbf{x}\right\rangle = f(x) + \Vert f\Ver... ...,\mu)) \leq \linebreak \leq \sup \left\langle \mathbf{f},Q\right\rangle \leq 1,$следовательно, $\mathbf{x} \in B_{\pi}$ и $C \subset \widehat {C}.$

Пусть $\mathbf{x} \in \widehat {C} ,$но $\mathbf{x}\notin C,$ т.е. выполняется одно из двух условий: $x \in \mathrm{int} M$ или $\mu > xM.$Тогда найдутся точка $x_{0} \in\, \stackrel{\circ}{M} \cap\, V_{X} (x,\mu)$ (при выполнении условия $x \in \mathrm{int} M$ возьмем x₀ = x) и функционал $f \in X^{*}$такой, что $f(x_{0}) > \sup f(Q) = 1,$ тогда $\sup \left\langle \overline{\mathbf{f}},Q\right\rangle = \sup f(Q) = 1, \overline{\mathbf{f}} \in B,$ но $\left\langle (f,\Vert f\Vert),\mathbf{x}\right\rangle = f(x) + \Vert f\Vert\cdo... ...\sup \left\langle f,V_{X}(x,\mu)\right\rangle \geq f(x_0) > 1, x\notin B_{\pi},$что противоречит условию $x \in \widehat {C} .$ Итак, $C = \widehat {C} .$

б). Множество $M^{\tau}$ выпукло, так как является пересечением выпуклого конуса и поляры, w^*-замкнуто как пересечение двух w^*-замкнутых множеств. $0 \in M^{\tau}$, так как $0 \in C^{\pi} , 0 \in K^{*} .$

Ограниченность $M^{\tau}$ следует из того, что $0 \in X\backslash M,$тогда в силу w^*-замкнутости $M^{\tau} w^{*}$-бикомпактно.

Равенство $M^{\tau} = K^{*} \cap (M^{\tau} + {\Bbb R}_{-})$следует из того, что для любого $\mathbf{f}\in C^{\pi}$ и любого $\gamma \leq 0$ выполняется $\mathbf{f} + (0,\gamma) \in C^{\pi}$(т.е. $C^{\pi} + {\Bbb R}_{-} \subset C^{\pi}).$

Докажем, что $M^{\tau} = w^{*}$- $\mathrm{ cl\,co}(M^{\tau} \cap \partial K^{*})$. Включение $M^{\tau} \supset w^{*}$- $\mathrm{ cl\,co}(M^{\tau} \cap \partial K^{*})$ очевидно. С другой стороны, обозначим A = w^*- $\mathrm{ cl\,co} B.$ Имеем

$$C = \widehat {C} = B_{\pi}\cap Y_{+} = B_{\pi}\cap ({\Bbb R}_{-})_{\pi} = (B \cup {\Bbb R}_{-})_{\pi},$$

тогда

$$C^{\pi} = (B \cup {\Bbb R}_{-})_{\pi} ^{\pi} = w^{*}\!-\!\mat... ...line{\mathrm{ conv}} (A \cup {\Bbb R}_{-}) = A + {\Bbb R}_{-}.$$

Последнее равенство выполняется, так как $A + {\Bbb R}_{-}$ w^*-замкнуто. Имеем $M^{\tau} = C^{\pi} \cap K^{*} = (A + {\Bbb R}_{-})\cap K^{*}.$Обозначим $\widetilde{A} = (A + {\Bbb R}_{-})\cap \partial K^{*}.$Ясно, что $A,\widetilde{A} \subset w^{*}$- $\mathrm{ cl\,co} (M^{\tau} \cap \partial K^{*}).$Если теперь $\mathbf{x} \in M^{\tau},$ то найдется $\mathbf{a} \in A$ такое, что $\mathbf{x} \in [\mathbf{a},\mathbf{b}],$ где $\mathbf{b} \in (\mathbf{a} + {\Bbb R}_{-}) \cap \partial K^{*}.$ Поэтому $M^{\tau} \subset \mathrm{ conv} (A \cup\widetilde{A}) \subset \linebreak \subset w^{*}$- $\mathrm{ cl\,co} (M^{\tau} \cap \partial K^{*}), M^{\tau}\in {\cal N}.$

Докажем, что $M^{\tau} = (C - K)^{\pi}.$ Так как $\overline{C - K} = \overline{\mathrm{conv}}(C \cup -K)$имеем

$$M^{\tau} = C^{\pi}\cap K^{*} = C^{\pi}\cap (-K)^{\pi} = (C \cup -K)^{\pi} =$$

$$= [\overline{\mathrm{conv}}(C \cup -K )]^{\pi} = (\overline{C - K})^{\pi} = (C - K)^{\pi}.$$

в). По пункту б) имеем $M^{\tau} \in {\cal N},$ тогда по определению класса ${\cal N}$
имеем $M^{\tau} = w^{*}\!-\!\mathrm{ cl\,co} (M^{\tau}\cap \partial K^{*}),$следовательно,

$$\sup \left\langle M^{\tau},\mathbf{x}\right\rangle = \sup \left\langle M^{\tau} \cap \partial K^{*}, \mathbf{x}\right\rangle.$$

г). По пункту в) имеем

$$\sup \left\langle M^{\tau},\mathbf{x}\right\rangle = \sup \left\langle M^{\tau} \cap \partial K^{*}, \mathbf{x}\right\rangle.$$

Пусть $\mathbf{f}\in n$- $\mathrm{exp}^{*}M^{\tau}, \mathbf{f}_{n}\in M^{\tau}\cap\partial K^{*},$

$$\left\langle \mathbf{f}_{n},\mathbf{x}\right\rangle\to \sup \... ...t\rangle = \sup \left\langle M^{\tau},\mathbf{x}\right\rangle.$$

Из определения сильно^* достижимой точки получаем n- $\mathrm{ exp}^{*}M^{\tau} \subset M^{\tau} \cap \linebreak \cap\partial K^{*}.$

д). Так как $\overline{\mathbf{x}} \in \partial (C - K),$ то найдется $\mathbf{g}\in Y^{*}$такое, что $\sup \langle \mathbf{g},C - K\rangle =$ $= \left\langle \mathbf{g},\overline{\mathbf{x}} \right\rangle = 1.$Тогда $\mathbf{g}\in (C - K)^{\pi} = M^{\tau}.$Поскольку $\overline{\mathbf{x}} \in C - K, \mathbf{f}\in M^{\tau} = \linebreak = (C - K)^{\pi},$ то $1 \geq \left\langle \mathbf{f},\overline{\mathbf{x}}\right\rangle = \sup \left\... ...ht\rangle \geq \left\langle \mathbf{g},\overline{\mathbf{x}} \right\rangle = 1,$следовательно, $\left\langle \mathbf{f},\overline{\mathbf{x}} \right\rangle = 1,$ а так как $\overline{\mathbf{x}}\in C, \mathbf{f}\in C^{\pi},$ то $\sup \left\langle\mathbf{f},C\right\rangle = 1.$Если бы для $\gamma > 1$ было $\gamma \cdot \mathbf{f}\in M^{\tau},$ то

$$\left\langle\gamma\cdot \mathbf{f}, \overline{\mathbf{x}}\rig... ...eft\langle \mathbf{f}, \overline{\mathbf{x}}\right\rangle = 1,$$

противоречие.

Лемма 4.Пусть X - линейное нормированное пространство, $N \in {\cal N}; M \in {\cal F}_{cc}(X)$. Тогда

а) $M^{\!\tau}_{\:\tau} = M;$

б) $N_{\!\tau}^{\:\tau} = N$.

Д о к а з а т е л ь с т в о. а). Имеем по лемме 3 ${\cal T}_{1}(M) = \linebreak = (C - K)^{\pi}, {\cal T}_{2}({\cal T}_{1}(M)) = \... ...\overline{C - K}\cap Y_{+}\right]} = \linebreak = \overline{X\backslash C} = M.$

б). Так как N ограниченно, то $N_{\pi} \cap X$ замкнутое выпуклое тело в пространстве $X, 0\in N_{\pi}\cap X, {\cal T}_{2}(N) \in {\cal F}_{cc}(X)$ . Обозначим $M = {\cal T}_{2}(N) = \linebreak = N_{\tau} = \overline{X\backslash N_{\pi}}.$

По множеству M определим, как в лемме 3, множества $Q = \overline{X\backslash M},$
$B = Q^{\pi}\cap \partial K^{*}, C = \widehat{C} = B_{\pi}\cap Y_{+}.$Тогда

$$Q = \overline{X\backslash\overline{X\backslash N_{\pi}}} = \o... ...rline{X\backslash (X\backslash\mathrm{int} (N_{\pi}\cap X))} =$$

$$= \overline{\mathrm{int} (N_{\pi}\cap X)} = N_{\pi}\cap X = N_{\pi}\cap {\Bbb R}_{\pi} = (N + {\Bbb R})_{\pi},$$

$$B = (N_{\pi}\cap X)^{\pi}\cap \partial K^{*} = (N + {\Bbb R})\cap \partial K^{*} = N\cap \partial K^{*}.$$

Поэтому

$$B_{\pi} = (N\cap \partial K^{*})_{\pi} = [w^{*}\!-\!\mathrm{ cl\,co}(N\cap \partial K^{*})]_{\pi} = N_{\pi},$$

$${\cal T}_{1}({\cal T}_{2}(N)) = {\cal T}_{1}(M) = C^{\pi}\cap K^{*} = (B_{\pi}\cap Y_{+})^{\pi}\cap K^{*} =$$

$$= (N_{\pi}\cap ({\Bbb R}_{-})_{\pi})^{\pi} \cap K^{*} = (N + {\Bbb R}_{-})\cap K^{*} = N.$$

О п р е д е л е н и е. Банахово пространство X удовлетворяет условию $(BB) \qquad (X \in (BB)),$ если каждая достижимая точка единичного шара пространства X является точкой гладкости.

З а м е ч а н и е. Условие (BB) ранее рассматривали В.И. Бердышев [9] и А.Брондстед [10] в связи с проблемой выпуклости чебышевских множеств в конечномерных пространствах.

Через expV_X(0,1) будем обозначать множество достижимых точек шара V_X(0,1).

Лемма 5.Пусть X - линейное нормированное пространство,

$M \in {\cal F}_{cc}(), x \in X\backslash M , N = {\cal T}_{1}(M).$

Тогда:

а)для того , чтобы $x \in E_M$ необходимо и достаточно, чтобы существовал функционал $\mathbf{f} \in (N \cap \partial K^{*} \cap Y^{\char93 } )\backslash\{0\}$ такой, что
$\left\langle \mathbf{f},\overline{\mathbf{x}}\right\rangle = \sup \left\langle N,\overline{\mathbf{x}}\right\rangle$;

б)пусть $X \in (R)$ и множество $(N \cap \partial K^{*} \cap Y^{\char93 } ) \cap \{\mathbf{f} \in N: \left\lang... ...t\rangle = \linebreak = \sup \left\langle N,\overline{\mathbf{x}}\right\rangle$не более чем одноточечно; тогда $x \in U_{M} ;$

в)пусть $X \in (BB)$; тогда для того, чтобы $x \in U_{M}$ необходимо , чтобы множество $(N \cap \partial K^{*} \cap Y^{\char93 } ) \cap \{f \in N: \left\langle \math... ...thbf{x}}\right\rangle = \sup \left\langle N,\overline{\mathbf{x}}\right\rangle$ было не более чем одноточечно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. а). Пусть $x \in E_M , z \in P_M (x)$Для любого $w \in [z,x]$ имеем wM = xM - xw,следовательно, $[z,\overline{\mathbf{x}}] \subset \partial C.$По теореме Хана-Банаха для любого $(v,\nu) \in (z,0), \overline{\mathbf{x}})$ найдется функционал $\mathbf{f} \in Y^{*}$ такой, что $1 = \left\langle \mathbf{f},(v,\nu)\right\rangle = \sup \left\langle \mathbf... ...C\right\rangle = \left\langle \mathbf{f},\overline{\mathbf{x}}\right\rangle .$
По лемме 3(а) множество $\widetilde {K} = \{\{\overline{\mathbf{x}} - K\} \cap Y_{+} \} \subset C,$следовательно, f касается $\widetilde {K}$ в точке $v \in \widetilde {K},$ тогда

$$\mathbf{f} \in (N \cap\partial K^{*} \cap Y^{\char93 }) \back... ...gle = \sup \left\langle N,\overline{\mathbf{x}}\right\rangle.$$

Пусть теперь существует функционал $\mathbf{f} \in (N \cap \partial K^{*} \cap Y^{\char93 } )\backslash\{0\}$такой, что $\left\langle \mathbf{f},\overline{\mathbf{x}}\right\rangle = \sup \left\langle N,\overline{\mathbf{x}}\right\rangle .$По лемме 3(а) $\widetilde {K} = \{\{\overline{\mathbf{x}} - K\} \cap Y_{+} \} \subset C.$Имеем

$$\mathbf{f} \in \partial K^{*} , 1 = \left\langle \mathbf{f},... ...e = \sup \left\langle \mathbf{f},\widetilde {K}\right\rangle,$$

следовательно, для $H = \{(v,\nu) \in Y_{+} :\left\langle \mathbf{f},(v,\nu)\right\rangle = 1\}$имеем

$$H \cap C = H \cap \widetilde {K}, H \cap C \cap X = H \cap \widetilde {K} \cap X.$$

Так как $\mathbf{f} \in Y^{\char93 },$ то

$$H \cap \widetilde {K} \cap X \ne \O, d(x, H \cap \widetilde ... ... xM, H \cap \widetilde {K} \cap X \cap \mathrm{ int} C = \O,$$

следовательно, $x \in E_M .$

б). Пусть $z, z^{\prime}\in P_M(x), z \ne z^{\prime}.$Как в предыдущем случае найдутся функционалы $\mathbf{f},(f^{\prime},\lambda ^{\prime}) \in N \cap \partial K^{*}$, достигающие максимума на C в точках отрезков $[\overline{\mathbf{x}},z]$ и $[\overline{\mathbf{x}},z^{\prime}]$ соответственно. В силу $X \in (R)$ справедливо $f \ne f^{\prime},$тогда $(f,\Vert f\Vert) \ne (f^{\prime},\Vert f^{\prime}\Vert).$

в). Пусть $x \in U_{M},$

$$\left\langle \mathbf{f},\overline{\mathbf{x}}\right\rangle = ... ... N \cap \partial K^{*},\overline{\mathbf{x}}\right\rangle = 1,$$

$$\mathbf{f} \ne \mathbf{g} , \mathbf{f} \ne 0 , \mathbf{g} \n... ...\partial K^{*} \cap Y^{\char93 } )\backslash\{0\}, z = P_M(x).$$

Докажем, что $(x - z)/xz \in \mathrm{ exp} V_{X}(0,1)$. По теореме Хана-Банаха найдется некоторая замкнутая гиперплоскость H, опорная к выпуклому телу $X\backslash M$. Имеем $H \subset M ,$ следовательно, $V_{X}(x,xM) \cap H \subset V_{X}(x,xM) \cap \linebreak \cap M = z \in H,$тогда z = P_H(x) и $(x - z)/xz \in \mathrm{ exp} V_{X}(0,1).$Ясно, что
$f/\Vert f\Vert \ne g/\Vert g\Vert.$Имеем

$$1 = \left\langle \mathbf{f},\overline{\mathbf{x}}\right\rang... ...0)\right\rangle = \left\langle \mathbf{f},(z,0)\right\rangle.$$

Как в предыдущем случае $z = x + xM\cdot \Gamma_{f} \subset M, z = x + xM\cdot \Gamma_{g} \subset M,$а так как $f/\Vert f\Vert \ne g/\Vert g\Vert,$то в силу $X \in (BB)$имеем $x \notin U_{M} .$

Следствие 1. Пусть X - линейное нормированное пространство, $M \in {\cal F}_{cc}(X), N = {\cal T}_{1}(M).$Для того, чтобы M было множеством существования относительно Xнеобходимо и достаточно, чтобы для любого x,где $\mu > 0,$ существовал функционал $\mathbf{f} \in (N \cap \partial K^{*} \cap Y^{\char93 } )\backslash\{0\}$ такой, что $\left\langle \mathbf{f},\mathbf{x}\right\rangle = \sup \left\langle N,\mathbf{x}\right\rangle .$

Следствие 2. Пусть X - линейное нормированное пространство, $M \in {\cal F}_{cc}(X), N = {\cal T}_{1}(M).$Для того, чтобы M было антипроксиминально относительно Xнеобходимо и достаточно, чтобы для любого x,
где $\mu > 0,$ не существовал функционал $\mathbf{f} \in (N \cap \partial K^{*} \cap Y^{\char93 } )\backslash\{0\}$ такой, что
$\left\langle \mathbf{f},\mathbf{x}\right\rangle = \sup \left\langle N,\mathbf{x}\right\rangle .$

Теорема B [11].Пусть $X \in (B)$удовлетворяет условию Радона-Никодима, множество $M \in {\cal F}(X)$ выпукло и ограниченно, тогда множество сильно^* достигающих на M функционалов $f \in X^{*}$является плотным в $X G_{\delta }-$множеством.

Из леммы 5 и теоремы B (так как рефлексивное пространство удовлетворяет условию Радона-Никодима) получаются два утверждения, ранее доказанные в [3].

Следствие 3[3].Пусть $X \in (Rf), M \in {\cal F}_{cc} (X)$. Тогда E_M является дополнением до множества первой категории в $X\backslash M$.

Следствие 4[3].Пусть $X \in (Rf) \cap (R), M \in {\cal F}_{cc} (X)$. Тогда T_M является дополнением до множества первой категории в $X\backslash M$.

Лемма 6.Пусть X - банахово пространство, а в X^*найдется выпуклое замкнутое ограниченное центрально-симметричное тело W такое, что $A = W \cap S_{X^{*}}(0,1) \subset X^{*}\backslash X^{\char93 } , W = w^{*}$- $\mathrm{ cl\,co}\{A\} .$ Тогда $M = \overline {X\backslash W_{\pi}} \in {\cal F}_{cc}(X)$ - антипроксиминальное в X множество.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим множество $N = \mathrm{ conv} \{(W + \mathbf{e}) \cup \linebreak \cup\{0\}\}\subset K^{*}.$ Множество N выпукло, ограниченно и w^*-замкнуто вместе с W.Пусть $N_1 = (N + {\Bbb R}_{-})\cap K^{*}.$Ясно, что $N_1 \subset K^{*}, 0\in N_1.$Имеем $\lambda\cdot (W + \mathbf{e}) = w^{*}$- $\mathrm{ cl\,co} [(\lambda\cdot (A + \mathbf{e})],$а поскольку $N = \bigcup\limits_{0\leq\lambda\leq 1} \lambda\cdot (W + \mathbf{e})$и $\lambda\cdot (A + \mathbf{e}) \subset \partial K^{*},$ то $0\in N = w^{*}$- $\mathrm{ cl\,co} \{N\cap \partial K^{*}\}.$ По лемме 2 $N_1\in {\cal N}.$

Пусть $M = \overline {X\backslash (N_1)_{\pi}}.$ По лемме 4 ${\cal T}_{1}(M) = N_1.$

Докажем, что M антипроксиминально. Если найдется $x \in X\backslash M$ и $x\in E_{M},$ то по лемме 5(а) найдется функционал $\mathbf{f} \in (N_1 \cap \partial K^{*} \cap Y^{\char93 } )\backslash\{0\}$ такой, что $\left\langle \mathbf{f},\overline{\mathbf{x}}\right\rangle = \sup \left\langle N_1,\overline{\mathbf{x}}\right\rangle .$Так как xM > 0, то $\sup \left\langle N_1,\overline{\mathbf{x}}\right\rangle = \sup \left\langle N,\overline{\mathbf{x}}\right\rangle$ и $\mathbf{f} \in N \cap \partial K^{*}.$Но, $N \cap \partial K^{*} = \bigcup\limits_{0\leq\lambda\leq 1} \lambda\cdot (W + \mathbf{e}),$ следовательно, $N \cap \partial K^{*} \cap Y^{\char93 } = \O,$противоречие, M антипроксиминально.

Следствие 5.В бесконечномерном пространстве $L_{\infty}(S,\Sigma,\mu)$ существует центрально-симметричное антипроксиминальное множество $M \in {\cal F}_{cc}(X)$ такое, что $X\backslash M$ограниченно.

О п р е д е л е н и е. Для $y \in L_{\infty}(S,\Sigma,\mu)$ обозначим $\mathrm{ crit} y = \{t \in S:\vert y(t)\vert = \Vert y\Vert\}.$

Предложение 1.Пусть $X = L_1(S,\Sigma,\mu) , \mu \sigma$-конечна и положительна и такая, что X бесконечномерно. Тогда в $L_{\infty}(S,\Sigma,\mu) = L^{*}_1(S,\Sigma,\mu)$найдется выпуклое замкнутое ограниченное центрально-симметричное тело W такое, что $A = W \cap S_{X^{*}}(0,1) \subset X^{*}\backslash X^{\char93 } , W = w^{*}$- $\mathrm{ cl\,co} A.$

Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем $S = \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}S_{n} , 0 < \mu(S_{n}) < \linebreak < \infty , \mu(S_{n} \cap S_{k}) = 0,$ при $n \ne k .$ Обозначим S(X^*) = S_X^*(0,1).Пусть $B = \{f \in L_{\infty}(S,\Sigma,\mu) : \vert f(t)\vert \leq 1 - {\displaystyle \frac{1}{2n}}$при $t \in S_{n} \}, A = B \cap S(X^{*}).$Ясно, что $A = \{f \in B: \overline{\lim\limits_{n\to \infty}} \mathrm{vrai} \sup \{\vert f(t)\vert: t\in S_{n}\} = 1\}.$

Как известно (см., например, [19, стр. 325]), для $f \in X^{\char93 } \mu(\mathrm{ crit} f) > 0,$тогда $A \subset X^{*}\backslash X^{\char93 }.$

Пусть W = w^*- $\mathrm{ cl\,co} A.$ Ограниченность, выпуклость, w^*-замкнутость и центральная симметрия W очевидны.

Имеем B = w^*- $\mathrm{ cl\,co} B, w^{*}$- $\mathrm{ cl\,co} A \subset B, W \subset B,$следовательно,
$A \subset W\cap S(X^{*}) \subset B \cap S(X^{*}) = A \subset X^{*}\backslash X^{\char93 }, A = W \cap S_{X^{*}}(0,1) .$

Для того, чтобы W было телом, достаточно , чтобы ему принадлежали все функции из V_X^* (0,1/2), принимающие конечное число значений (такие функции плотны в $V_{L_{\infty}(S,\Sigma,\mu)} (0,1/2),$см. [12], следствие 8,стр. 140). Пусть $g \in V_{X^{*}} (0,1/2)$ и gпринимает значения g₁,g₂,...,g_m и $g_i \ne g_j$ при $i \ne j .$Пусть $G_i = \{t \in S: g(t)=g_i \}, G_{i,n}= G_i \cap S_{n} ,$ясно что $G_{i,n} \in \Sigma, \mu(G_{i,n}) < \infty .$Рассмотрим $\widetilde f = \sum\limits^{\infty}_{j=1} {\displaystyle \frac{f^j}{2^j}}\in W,$где $f^j \in A , f^j(t) \equiv \varepsilon^{j}_{i,n}\cdot (1 - 1/2n)$на G_i,n (не зависит от t на G_i,n), $\vert\varepsilon^{j}_{i,n}\vert = 1 .$ У нас g(t) = g_i при $t \in G_{i,n} , \vert g_i\vert \leq 1/2,$следовательно,

$$g'_{i} := \frac{g_{i}}{1 - 1/2n}, \vert g'_{i}\vert\leq \frac{1/2}{1 - 1/2n} \leq 1.$$

Имеем $g'_{i}\in [-1,1],$ тогда $(g'_{i} + 1)/2 \in [0,1].$Пусть ${\displaystyle \frac{g'_{i} + 1}{2}} = \sum\limits^{\infty}_{j=1} {\displaystyle \frac{\xi^{j}_{i}}{2^{j}}}$ - двоичное разложение ${\displaystyle \frac{g'_{i} + 1}{2}}.$ Тогда

$$g'_{i} = \sum\limits^{\infty}_{j=1} \frac{2\cdot\xi^{j}_{i}... ...1}{2^{j}}, f^{j}(t) = 2\xi^{j}_{i} - 1 \forall t \in G_{i,n},$$

$$\widetilde{f}(t) = \sum\limits^{\infty}_{j=1}\frac{1}{2^j} f^j(t) = g_i \mbox{при} t \in G_{i,n}, g = \widetilde{f} \in W.$$

Предложение доказано.