Теорема 4. Пусть $X \in (B).$следующие условия эквивалентны:

а)X^* строго выпукло;

б)всякое множество $M \in {\cal F}(X)$ с $X\backslash M \subset G^1_M$ выпукло;

б')всякое множество $M \in {\cal F}_{cc}(X)$ с $X\backslash M \subset G^1_M$ выпукло;

в)всякое множество $M \in {\cal F}(X)$ с $X\backslash M \subset F_M$ выпукло;

в')всякое множество $M \in {\cal F}_{cc}(X)$ с $X\backslash M \subset F_M$ выпукло.

Д о к а з а т е л ь с т в о. а) $\Rightarrow$ б). По предложению 1.2 [5] M является $\delta-$солнцем, по теореме 3.10 [7] M выпукло. Импликации б) $\Rightarrow$ б') $\Rightarrow$ в'), б) $\Rightarrow$ в) $\Rightarrow$в') очевидны, так как $F_M \subset G^{1}_{M}$ ([17], см. также [5, предложение 1.2]).

в') $\Rightarrow$ а). Допустим, что $X^{*} \notin (R)$, тогда K^* имеет двумерную грань $A = \mathrm{ conv} \{l_1 \cup l_2 \}$, где l₁ и l₂ экстремальные лучи конуса K^* , $l_1 \ne l_2 , \linebreak l_1 = \{\lambda g_1 : \lambda \geq 0\} , l_2 = \{\lambda g_2 : \lambda \geq 0\} ,$ $N = \{z = \lambda_1 g_1 + \lambda_2 g_2 : \lambda_1 \geq 0 , \lambda_2 \geq 0,$ $\lambda_1^2 + \lambda_2^2 \leq 1\}.$Очевидно, что $N\in {\cal N}.$ Имеем $M = {\cal T}_2(N) \in {\cal F}_{cc} (X)$. По лемме 3(д) если $x\in X\backslash M, \mathbf{f}\in M^{\tau}$ и $\sup \left\langle M^{\tau}, \overline{\mathbf{x}}\right\rangle = \left\langle \mathbf{f},\overline{\mathbf{x}}\right\rangle,$ то $\gamma\cdot \mathbf{f} \notin M^{\tau}$ при $\gamma > 1.$Следовательно, для каждого $x \in X\backslash M$ функционал $\overline{\mathbf{x}}$ будет сильно^* достигающим для $N =M^{\tau}.$ По теореме 3(в) $\varphi(x)$дифференцируема по Фреше на $X\backslash M.$ Если M выпукло, то M - полупространство, тогда Nявляется отрезком, g₁ = g₂ .

З а м е ч а н и е . Утверждение (а) Л.П.Власова содержится в импликации а) $\Rightarrow$б ) теоремы 4, поскольку $E_M \cap G_{M}\subset G^{1}_{M}$ ([#fit<#1510], [5, предложение 1.2]), а утверждение (б) - это импликация а) $\Rightarrow$ в).

О п р е д е л е н и е. Выпуклое замкнутое тело M банахова пространства X называется гладким, если в каждой точке $x \in \partial M$ только один линейный непрерывный функционал $f \in S(X^{*})$достигает максимума
на M.

Выпуклое замкнутое тело $N \subset Z^{*}$ называется строго выпуклым относительно банахова пространства Z, если для каждого $x \in Z\backslash\{0\}$множество $\{f \in N: f(x) = \sup\left\langle N,x\right\rangle\}$не более чем одноточечно.

О п р е д е л е н и е. Будем писать $X \in (Ban)$, если $X\in (B), \linebreak \mathrm{ dim} X = \infty,$ и существует замкнутое подпространство Z такое, что фактор-пространство X/Z сепарабельно, $\mathrm{ dim} X/Z = \infty .$

З а м е ч а н и е . Известно, что класс (Ban) довольно широк, в частности, он включает все сепарабельные и все рефлексивные банаховы пространства X с $\mathrm{ dim} X = \infty,$а вопрос, охватывает ли он все бесконечномерные банаховы пространства, является известной проблемой Банаха.

Лемма 11. Пусть банахово пространство $Y = X\times {\Bbb R}$ сепарабельно, $\mathrm{ dim} Y = \infty.$Тогда в Y существует центрально-симметричное выпуклое множество $M^{\prime} \in {\cal F} (Y)$ такое, что для $M^{\prime}$ и $A = (M^{\prime})^{\pi} \subset Y^{*}$ справедливы следующие утверждения:

а) $M^{\prime}$ - гладкое компактное множество;

б)A - строго выпуклое относительно Y тело в Y^* ;

г)существует последовательность функционалов $\mathbf{f}_n \in S(Y^{*})$таких, что $\sup \left\langle \mathbf{f}_n, M^{\prime}\right\rangle \leq 2^{-n};$

д) $\vert\sup\left\langle A,\mathbf{e}\right\rangle\vert < \infty .$

Д о к а з а т е л ь с т в о. а). В сепарабельном пространстве Xсуществует полная линейно независимая система $\{\mathbf{x}_i\}^{\infty}_{i=1}, \Vert\mathbf{x}_i\Vert = 2^{-i},$тогда система $\{\mathbf{x}_i\}^{\infty}_{i=0},$ где x₀ = e = (0,1),будет полной линейно независимой в пространстве Y.Возьмем выпуклое гладкое центрально-симметричное компактное множество

$$M^{\prime} = \{\mathbf{x}\in Y: \mathbf{x} = \sum\limits_{i=0... ...i, \sum\limits_{i=0}^{\infty} \vert\alpha_i\vert^{2} \leq 1\}$$

(см. И.Г.Царьков [16, лемма 12]).

б) следует из определения поляры.

г). Так как для n > 1 точка $\mathbf{y}_{n-1} = 2 \cdot \mathbf{x}_n\notin M',$ то по теореме об отделимости найдутся функционалы $\mathbf{f}_n \in S(Y^{*})$такие, что $\sup \left\langle \mathbf{f}_n, M^{\prime}\right\rangle < \linebreak < \left\la... ...mathbf{f}_n, \mathbf{y}_n\right\rangle \leq \Vert\mathbf{y}_n\Vert \leq 2^{-n}.$

д). $\sup \left\langle A,\mathbf{e}\right\rangle = 1,$ так как $\mathbf{e} = \mathbf{x}_0\in M'.$

Теорема 5.Пусть $X \in (Ban).$ Следующие условия эквивалентны:

а)в X есть ограниченное замкнутое гладкое выпуклое тело;

б)существует множество $M \in {\cal F}_{cc}(X)$ такое, что $X\backslash M \subset G_M$ , а $\overline {X \backslash M}$ - ограниченное выпуклое тело и $Q_0 = \{x \in X:xM = \sup \{zM: \linebreak z \in X\}\}$ одноточечно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. б) $\Rightarrow$ а). По лемме 2 [6] таким гладким ограниченным выпуклым телом будет множество Q(b), где $0 < b < \sup \{zM: z \in X\}$.

а) $\Rightarrow$ б). Возьмем ограниченное замкнутое гладкое выпуклое тело W в $X, 0\in \mathrm{int} W.$Пусть $\rho$ - функционал Минковского, соответствующий множеству W.Положим $U = \{(x,\lambda)\in Y: \rho^{2}(x) + \lambda^{2} \leq 1\}.$Имеем $U\cap X = \linebreak = W, U$ - ограниченное гладкое замкнутое выпуклое тело в Y. Тогда $U^{\pi}$ строго выпукло относительно Y.

В силу условия $X \in (Ban)$ найдется замкнутое подпространство $L \subset X, \mathrm{ codim} L = \infty$такое, что X/L сепарабельно. Считая L подпространством в Y, видим, что $\mathrm{ codim} L = \mathrm{ dim} Y/L = \infty$ и Y/Lсепарабельно. Возьмем $M^{\prime}\subset Y/L$ - множество из леммы 11. Пусть $\widetilde {M}$ - прообраз множества $M^{\prime}$ при отображении пространства Y в Y/L, где точке $\mathbf{y} \in Y$ ставится в соответствие множество y + L, пусть $A = (\widetilde{M})^{\pi} , N = (A + U^{\pi}) \cap K^{*}.$ Множества A и K^* w^*-замкнуты, а $U^{\pi}$ - w^*-бикомпакт, следовательно, N w^*-замкнуто. По лемме 11(д) $\sup\left\langle A,\mathbf{e}\right\rangle < \infty , \sup\left\langle U^{\pi},\mathbf{e} \right\rangle < 1,$ тогда в силу включения $N \subset K^{*}$ получаем, что N ограниченно и, следовательно, N w^*-бикомпактно.

Докажем, что $N = w^*\mbox{-}\mathrm{ cl co} \{N \cap \partial K^{*} \}$. Включение $''\supset''$ очевидно. Обозначим $D = w^*-\mathrm{ cl} \mathrm{ co} \{N \cap \partial K^{*} \}$. Допустим, что существует $\mathbf{f} \in N\backslash D.$ Множество D w^*-замкнуто, следовательно, найдутся точка $\mathbf{y} \in Y$ и число $\varepsilon > 0$ такие, что $\mathbf{f}(\mathbf{y}) \geq \varepsilon + \sup\left\langle \mathbf{y},D\right\rangle.$Имеем $\mathbf{f} = \mathbf{g} + \mathbf{g}^{\prime},$ где $\mathbf{g} \in U^{\pi} , \mathbf{g}^{\prime} \in A.$По лемме 11 для множества $\widetilde {M}$ найдутся функционалы $\mathbf{f}_n \in S(Y^{*})$ такие, что $\sup \left\langle \mathbf{f}_n, \widetilde{M}\right\rangle \leq 2^{-n} , \sup \left\langle-\mathbf{f}_n,\widetilde{M}\right\rangle \leq 2^{-n}.$Рассмотрим последовательности

$$\mathbf{g}^1_n = \frac{\mathbf{f}(2^n - n) - n\cdot 2^{n}\mat... ...\frac{\mathbf{f}(2^n - n) + n\cdot 2^{n} \mathbf{f}_n}{2^{n}}.$$

Имеем $2^n \mathbf{f}_n , -2^n \mathbf{f}_n \in A,$множество $A + U^{\pi}$ выпукло, следовательно,

$$\mathbf{f}\cdot \frac{2^{n} - n}{2^{n}}\in A + U^{\pi}, \math... ...n) + n\cdot(-2^{n}\cdot \mathbf{f}_n)}{2^{n}} \in A + U^{\pi},$$

$$\mathbf{g}_n^2 = \frac{\mathbf{f}\cdot (2^{n} - n) + n\cdot (2^{n} \mathbf{f}_n)}{2^{n}} \in A + U^{\pi}.$$

Тогда

$$\Vert\mathbf{g}^1_n - \mathbf{f}\Vert = \frac{\Vert n(\mathbf... ...налогично,} \Vert\mathbf{g}_n^2 - \mathbf{f}\Vert \to \infty.$$

Множество Nограниченно, следовательно, можно считать, что $\mathbf{g}_n^1 , \mathbf{g}_n^2 \notin \linebreak \notin K^{*}.$ Имеем $\mathbf{g}^1_n + \mathbf{g}^2_n = 2\mathbf{f}(2^n - n)2^{-n}, \mathbf{g}^1_n + \mathbf{g}^2_n \to 2\mathbf{f},$следовательно, можно считать, без потери общности, что $\lim\limits_{n \to \infty} \mathbf{g}_n^1 (\mathbf{y}) \geq \mathbf{f} (\mathbf{y}).$Пусть $\mathbf{z}_n \in [\mathbf{f},\mathbf{g}_n^1] \cap \partial K^{*}.$ Имеем

$$\mathbf{z}_n \in D, \mathbf{z}_n(\mathbf{y}) \geq \mathbf{f}(... ...repsilon + \left\langle \mathbf{y},\mathbf{z}_n \right\rangle,$$

противоречие, $N \subset D.$Пусть $\widehat{N} = (N + {\Bbb R}_{-})\cap K^{*}.$ По лемме 2 $\widehat{N}\in {\cal N}.$

Докажем, что для любой точки $\mathbf{y} \in Y$ такой, что $\mathbf{y} = (x,\lambda)$ и $\lambda > 0,$ множество $\{\mathbf{f} \in \widehat N: \mathbf{f}(\mathbf{y}) = \sup\left\langle \mathbf{y},\widehat N\right\rangle\}$одноточечно. Для этого достаточно доказать, что для любой точки $\mathbf{y} \in Y$ такой, что $\mathbf{y} = (x,\lambda)$ и $\lambda > 0,$ множество $\{\mathbf{f} \in N: \mathbf{f}(\mathbf{y}) = \sup\left\langle \mathbf{y}, N\right\rangle\}$ одноточечно, действительно, для любого $\mu > 0$ имеем

$$\left\langle\mathbf{f} - \mu\cdot \mathbf{e},(x,\lambda)\righ... ...cdot\lambda < \left\langle\mathbf{f},(x,\lambda)\right\rangle,$$

следовательно,

$$\{\mathbf{f} \in \widehat N: \mathbf{f}(\mathbf{y}) = \sup\le... ...}(\mathbf{y}) = \sup\left\langle \mathbf{y}, N\right\rangle\}.$$

Множество N w^*-бикомпактно, следовательно, множество $\{\mathbf{f} \in N: \mathbf{f}(\mathbf{y}) = \sup\left\langle \mathbf{y},A\right\rangle\}$не пусто. Допустим, что существуют точка $\mathbf{y} \in Y , \mathbf{y} = \linebreak = (x,\lambda), \lambda > 0,$ и функционалы $\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2 \in N$ такие, что $\mathbf{f}_1(\mathbf{y}) = \mathbf{f}_2(\mathbf{y}) = \linebreak = \sup\left\langle \mathbf{y},N\right\rangle.$Имеем

f₁ = g₁ + (f₁ - g₁), f₂ = g₂ + (f₂ - g₂)

где $\mathbf{g}_1,\mathbf{g}_2 \in U^{\pi}$ и $(\mathbf{f}_1 - \mathbf{g}_1), (\mathbf{f}_2 - \mathbf{g}_2) \in A.$Из включения $L \subset \widetilde{M}$ следует, что $\mathbf{h}_1 = \mathbf{f}_1 - \mathbf{g}_1, \mathbf{h}_2 = \mathbf{f}_2 - \mathbf{g}_2 \in L^{\bot},$ кроме того, $L \subset X,$ следовательно, ${\Bbb R}\subset L^{\bot}.$ Тогда возьмем функционалы $\mathbf{h}^{\prime}_1,\mathbf{h}^{\prime}_2\in (Y/L)^{*},$ однозначно соответствующие функционалам h₁,h₂. Имеем $\sup \left\langle\mathbf{h}^{\prime}_1,M^{\prime}\right\rangle \leq 1, \sup \left\langle \mathbf{h}^{\prime}_1,M^{\prime}\right\rangle \leq 1.$ Если $\forall \varepsilon > 0 \sup \left\langle {\displaystyle \frac{\mathbf{h}^{\pr... ...f{h}^{\prime}_2}{2}} + \varepsilon\cdot \mathbf{e},M^{\prime}\right\rangle > 1,$то $\sup \left\langle{\displaystyle \frac{\mathbf{h}^{\prime}_1 + \mathbf{h}^{\prime}_2}{2}} ,M^{\prime}\right\rangle = 1.$Тогда $\sup \left\langle \mathbf{h}_1^{\prime},M^{\prime}\right\rangle = 1, \sup \left\langle \mathbf{h}_2^{\prime},M^{\prime}\right\rangle = 1,$и в силу компактности $M^{\prime}$ найдется точка $z \in M^{\prime}$такая, что $\left({\displaystyle \frac{\mathbf{h}^{\prime}_1 + \mathbf{h}^{\prime}_2}{2}}\right) (z) = 2,$ следовательно, $\mathbf{h}^{\prime}_1(z) = \linebreak = 1, \mathbf{h}^{\prime}_2(z) = 1,$в силу гладкости $M^{\prime}$ получаем $\mathbf{h}^{\prime}_1 = \mathbf{h}^{\prime}_2,$ тогда h₁ = h₂. В силу строгой выпуклости Aотносительно Y получаем f₁ = f₂.Следовательно, существует $\varepsilon > 0$ такое, что $\sup \left\langle{\displaystyle \frac{\mathbf{h}^{\prime}_1 + \mathbf{h}^{\prime}_2}{2}} + \varepsilon\cdot \mathbf{e},M^{\prime}\right\rangle \leq 1,$ т.е. ${\displaystyle \frac{\mathbf{h}^{\prime}_1 + mathbf{h}^{\prime}_2}{2}} + \varepsilon\cdot \mathbf{e}\in (M')^{\pi},$тогда ${\displaystyle \frac{\mathbf{h}_1 + \mathbf{h}_2}{2}} + \varepsilon\cdot \mathbf{e}\in (\widetilde{M})^{\pi} = A.$Тогда

$$\frac{(\mathbf{f}_1 - \mathbf{g}_1) + (\mathbf{f}_2 - \mathbf{g}_2)}{2} + \varepsilon \cdot \mathbf{e} \in A$$

и

$$\frac{\mathbf{f}_1 + \mathbf{f}_2}{2} = \frac{\mathbf{g}_1 + ... ...}_1 - \mathbf{g}_1) + (\mathbf{f}_2 - \mathbf{g}_2)}{2} \in N,$$

тогда ${\displaystyle \frac{\mathbf{f}_1 + \mathbf{f}_2}{2}} + \varepsilon \cdot \mathbf{e} \in N.$ Имеем

$$\left\langle \mathbf{y},\frac{\mathbf{f}_1 + \mathbf{f}_2}{2}... ...mathbf{y},\frac{\mathbf{f}_1 + \mathbf{f}_2}{2} \right\rangle,$$

противоречие, следовательно, множество $\{\mathbf{f} \in N: \mathbf{f}(\mathbf{y}) = \sup\left\langle \mathbf{y}, N\right\rangle\}$ одноточечно. Пусть $M = {\cal T}_{2}(\widehat N).$Поскольку в качестве y можно взять (x,xM) для любого $x\in X\backslash M,$ то по теореме 3(а) $X\backslash M \subset G_{M}.$

Теорема 6.    Пусть $X \in (Ban).$ Следующие условия эквивалентны:

а)X имеет эквивалентную гладкую норму;

б)в X существует множество $M \in {\cal F}_{cc}(X)$ такое, что $X\backslash M \subset G_M,$ а $X\backslash M$ - ограниченное центрально-симметричное выпуклое тело и $Q_0 =\\ = \{x \in X:xM = \sup \{zM:z \in X\}\}$ одноточечно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. б) $\Rightarrow$ а). В качестве нового единичного шара возьмем множество $Q(b) = \{x \in X: xM \geq b\},$ где $0 < b < \sup \{xM : x \in X\}.$Ясно, что Q(b) - ограниченное замкнутое центрально-симметричное выпуклое тело, следовательно, перенормировка эквивалентная. По лемме [21, стр. 22] в каждой точке из $\partial Q(b)$ опорна только одна гиперплоскость, тогда (см., например, [13, стр. 24]) новая норма гладкая.

Доказательство импликации а) $\Rightarrow$ б) получается повторением доказательства импликации а) $\Rightarrow$ б) в теореме 5, если в качестве множества Wвзять новый единичный шар в X такой, что перенормировка будет эквивалентной и новая норма будет гладкой в X.

Следствие 9.Пусть $X \in (B), \mathrm{ dim} X = \infty.$ Если выполняется одно из условий: а)Xрефлексивно; б)X сепарабельно; в)X^* сепарабельно; г)X - WCG-пространство; д)X^* - WCG-пространство; е) $X = c_0 (\Gamma);$то в X существует множество $M \in {\cal F}_{cc}(X)$ такое, что $X\backslash M \in G_M,$ а $X\backslash M$ - ограниченное центрально-симметричное выпуклое тело и $Q_0 = \{x \in X:xM = \sup \{zM:z \in X\}\}$ одноточечно.

Доказательство следствия получается из теоремы 6, так как при выполнении любого из условий а) - д) пространство $X \in (Ban)$ и допускает эквивалентную гладкую перенормировку.

О п р е д е л е н и е. (A^*)[соответственно, $(A^{\char93 } )$ ] - класс сопряженных пространств X^*, в которых из условий $f_n \in S(X^{*} ), f \in S(X^{*} )$ [соответственно, $f \in S(X^{*}) \cap X^{\char93 }]$и того, что последовательность f_n сходится к f в w^*-топологии пространства X^*, следует, что f_n сходится к f по норме пространства X^* . ³

Лемма 12, возможно, известная, показывает, что условие $X^{*} \in (A^{\char93 } )$
$[ X^{*} \in (A^{*} )]$ не влечет $X \in (F).$

Лемма 12. $c_0^{*} \in (A^{*}),$ но $c^{*},l_{1}^{*} \notin (A^{\char93 }).$

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть $f \in S(l_1), f_n \in S(l_1),$ последовательность f_n сходится к f в c₀-топологии пространства l₁. Пусть существует число $\varepsilon > 0$ такое, что $\Vert f - f_n\Vert _{l_1} \geq \varepsilon > 0.$Найдется номер k₀ такой, что $\sum\limits_{i=1}^{k_0}\vert f^i\vert \leq \varepsilon /10.$Из w^* -сходимости последовательности f_nполучаем, что существует номер n₀ такой, что $\sum\limits_{i=1}^{k_0} \vert f^i - f^i_n \vert \leq \varepsilon /10$при $n \geq n_0 .$ Имеем

$$\varepsilon \leq \Vert f - f_n\Vert _{l_1} = \sum\limits_{i=1... ...mits_{i=k_0+1}^{\infty} (\vert f^i\vert + \vert f^i_n \vert) =$$

$$= \sum\limits_{i=1}^{k_0} \vert f^i - f^i_n \vert + (1 - \sum... ...^i\vert) + (1 - \sum\limits_{i=1}^{k_0} \vert f^i_n\vert) \leq$$

$$\leq 2\cdot \sum\limits_{i=1}^{k_0} \vert f^i - f^i_n \vert +... ...its_{i=1}^{k_0} \vert f^i\vert) = \frac{2\cdot\varepsilon}{5},$$

противоречие, следовательно, $c_0^{*} \in (A^{*}).$

Для доказательства утверждения $l_{1}^{*}\notin A^{\char93 }$ достаточно взять
f = (1,1,1,...,1,1,...) и f_n = (1,1,1,...,1,0,0,...) (n первых единиц), для $c^{*}\notin A^{\char93 }$ надо взять функционалы f,f_n с $f(x) = \lim\limits_{n\to \infty} x_n$ и $f_n(x) = x_n \linebreak \forall x \in l_{1}.$

Предложение 2.Пусть $X \in (B).$ Следующие условия эквивалентны:

а) $X^{*} \in (A^{*});$

б)для любого множества $M \in {\cal F}_{cc}(X)$ справедливо равенство
$G^{1}_{M} \backslash M = F_{M} \backslash M;$

в)для любого множества $M \in {\cal F}_{cc}(X)$ такого, что $X\backslash M$ ограниченно, справедливо равенство $G^{1}_{M} \backslash M = F_{M} \backslash M.$

Д о к а з а т е л ь с т в о. а) $\Rightarrow$ б). Включение $F_{M} \backslash M \subset G^{1}_{M} \backslash M$ очевидно. Пусть $x \in G^{1}_{M} \backslash M.$ По теореме 3(б) функционал $\overline{\mathbf{x}}$ достигает максимума на N в единственной точке $(f,\Vert f\Vert).$ Если функционал $\overline{\mathbf{x}}$ не является сильно^* достигающим, то найдется последовательность $\mathbf{f}_n \in N , \left\langle\mathbf{f}_n,\overline{\mathbf{x}}\right\ran... ...right\rangle, \Vert(f,\Vert f\Vert) - \mathbf{f}_n \Vert \geq \varepsilon > 0.$По лемме 3(в) $\sup\left\langle N,\overline{\mathbf{x}}\right\rangle = \sup\left\langle(N\cap \partial K^{*}),\overline{\mathbf{x}}\right\rangle,$следовательно, можно считать, что $\mathbf{f}_n \in \partial K^{*}.$ Последовательность f_nпринадлежит бикомпакту N, следовательно, относительно бикомпактна, тогда последовательность f_n имеет w^*-предельные точки. Пусть $(f^{\prime},\lambda)$ - w^*-предельная точка для последовательности f_n . Ясно, что $(f^{\prime},\lambda) \in N.$ В силу условия $\left\langle \mathbf{f}_n,\overline{\mathbf{x}}\right\rangle \to \linebreak \to\left \langle (f,\Vert f\Vert),\overline{\mathbf{x}}\right\rangle ,$ тогда $\left\langle (f^{\prime},\lambda),\overline{\mathbf{x}}\right\rangle = \left\langle (f,\Vert f\Vert),\overline{\mathbf{x}}\right\rangle$ и $(f^{\prime},\lambda) = (f,\Vert f\Vert).$ Итак, $(f,\Vert f\Vert)$ - единственная w^*-предельная точка для последовательности f_n в w^*-топологии пространства Y^*, тогда $\mathbf{f}_n = (f_n,\Vert f_n\Vert)$ сходится к $(f,\Vert f\Vert)$ в w^*-топологии пространства Y^* . Ясно, что f_n сходится к f в w^* -топологии пространства X^*, а $\Vert f_n\Vert \to \Vert f\Vert.$ В силу условия $X^{*} \in (A^{*})$ получаем, что $f_n/\Vert f_n\Vert\to f/\Vert f\Vert,$ следовательно, $\mathbf{f}_n \to (f,\Vert f\Vert).$По теореме 3(в) $x \in F_{M} \backslash M.$

б) $\Rightarrow$ в) очевидно.

в) $\Rightarrow$ а). Допустим, что $X^{*} \notin (A^{*}),$ т.е. существуют точки $f_n , f \in \linebreak \in S(X^{*})$ и число $\varepsilon > 0$ такие, что f_n сходится к f в w^*-топологии пространства X^* и $\Vert f_n - f\Vert _{X^{*}} \geq \varepsilon > 0.$ Пусть $0 < \mu_n < 1, \mu_n \to 1, \mathbf{f}_n = \mu_n (f_n,\Vert f_n\Vert), \mathbf{f} = (f,\Vert f\Vert).$Ясно, что f_n сходится к f в w^*-топологии пространства Y^*. Тогда множество $A = \mathbf{f}\cup \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} \mathbf{f}_n w^{*}$-замкнуто. Пусть $N = \mathrm{ conv} \{A \cup \{0\}\}.$ Ясно, что $N \in {\cal N} , N$ограниченно, следовательно, N - бикомпакт в w^*-топологии пространства Y^* . Для y = (0,1)имеем $\sup\left\langle N,\mathbf{y}\right\rangle = \mathbf{f(y)},$для любого $\mathbf{g} \in N \mathrm{g(y)} < \mathbf{f(y)},$ по теореме 3(б) $(0,1) \in G^{1}_{M} \backslash M.$ Но, f_n сходится к f в w^* -топологии пространства Y^*, а $\Vert f_n - f\Vert _{X^{*}} \geq \varepsilon > 0,$ следовательно, можно считать, что $\Vert\mathbf{f}_n - \mathbf{f}\Vert _{Y^{*}} \geq \varepsilon/2 > 0,$ а тогда $(0,1) \notin F_{M} \backslash M.$

О п р е д е л е н и е. (SA) - класс пространств, в которых условия $x,x_{n} \in S(X),\; f_{n} \in S(X^{*}), w$- $\lim x_{n}=x, f_{n}(x_{n})=1$влекут соотношение $f_{n}(x)\to 1.$ (Л.П.Власов [7,8])

Предложение 3.Пусть $X \in (B).$Следующие условия эквивалентны:

а) $X \in (Rf), X^{*} \in (SA);$

б) $\forall M \in {\cal F}_{cc}(X)$ справедливо включение $G^{1}_{M} \subset wAC(M);$

в) $\forall M \in {\cal F}_{cc}(X)$ такого, что $X\backslash M$ ограниченно, справедливо включение $G^{1}_{M} \subset wAC(M).$

Д о к а з а т е л ь с т в о. а) $\Rightarrow$ б). Пусть $x \in X\backslash M, x \in G^{1}_{M} , z_n \in \linebreak \in M, xz_n \to xM .$ В силу $X \in (Rf)$ можем считать, что $z_n - \to z.$ Пусть D_n = z_n + K. Имеем $z_n \notin \mathrm{ int} C,$ следовательно, по лемме 3(а) $D_n \cap \mathrm{int} C = \O.$ По теореме Хана-Банаха найдется функционал $\mathbf{f}_n \in Y^{*},$ разделяющий D_n и int C. Тогда $\mathbf{f}_n \in K^{*} .$ Можем считать, без потери общности, что $\mathbf{f}_n \in \partial N.$ У нас $\mathbf{y}_n = (x,xz_n) \to \overline{\mathbf{x}} , \left\langle\mathbf{f}_n, ... ...gle \geq 1 \geq \left\langle\mathbf{f}_n, \overline{\mathbf{x}}\right\rangle,$ следовательно, $\left\langle\mathbf{f}_n,\overline{\mathbf{x}}\right\rangle \to 1.$ В силу $X \in (Rf)$ можем считать, что $\mathbf{f}_n - \to \mathbf{f}.$ Имеем $\left\langle\mathbf{f},\overline{\mathbf{x}}\right\rangle = 1.$ Так как $x \in G^{1}_{M},$ то по теореме 3(б) $\overline{\mathbf{x}}$ достигает максимума на N в единственой точке и эта точка принадлежит $\partial K^{*},$ следовательно, $\mathbf{f} \in \partial K^{*}.$Имеем $\mathbf{f}, \mathbf{f}_n \in K^{*} , \mathbf{f} \in \partial K^{*} ,$ следовательно, $\lambda_n \geq \Vert f_n\Vert, \lambda = \Vert f\Vert.$ Из соотношения $\mathbf{f}_n - \to \mathbf{f}$ получаем, что $\lambda_n \to \lambda, f_n - \to f.$В силу $X^{*} \in (SA)$ получаем, что $f(z_n) \to 1,$ следовательно, $f(z) = 1, z \in X\backslash M , z \in P_{M}(x), x \in wAC(M).$

б) $\Leftrightarrow$ в), поскольку из $x\in G^{1}_{M}$вытекает $x\in G^{1}_{M'},$ где $M^{'} = M \cap \linebreak \cap V(x,xM + 1),$а из $x \in wAC_{M'}$ вытекает $x \in wAC_{M}.$

б) $\Rightarrow$ а). Если в качестве множества $M \in {\cal F}_{cc}(X)$ взять произвольное замкнутое полупространство, то $X\backslash M \subset G^{1}_{M} \subset wAC(M) \subset E_{M},$следовательно, по теореме Джеймса $X \in (Rf), X^{*} \in (Rf).$

Осталось доказать, что $X^{*} \in (SA).$ Допустим противное, тогда в силу $X^{*} \in (Rf)$ существуют последовательности $f_n \in S(X^{*}) , x_n \in S(X),$ точка $f \in S(X^{*})$ и число $\varepsilon \geq 0$ такие, что $f_n(x_n) = 1, f_n - \to f, f(x_n) \leq 1 - \varepsilon.$По функционалам $\mathbf{f}_n = \mu_n (f_n,\Vert f_n\Vert)($ где $0 < \mu_n < 1, \mu_n \to 1)$ и
$\mathbf{f} = (f,\Vert f\Vert)$построим множества $N \in {\cal N}$ и $M = {\cal T}_2 (N)$ из предложения 2. Как в предложении 2, получаем , что $0 \in G^{1}_{M}$ для $M = {\cal T}_{2}(N).$ Имеем $M =\bigcup\limits^{\infty}_{n=0} \{x \in X: f_n (x) \geq 1\},$следовательно, $x_n\slash\mu_n \in M.$ Так как y = (0,xM)достигает максимума на N только в одной точке f, то $P_{M}(0) \subset \{x \in X: f(x) = 1\}.$ Имеем

$$\frac{x_n}{\mu_n} \in M, \left\Vert\frac{x_n}{\mu_n} \right\V... ...u_n}\right) = \frac{f(x_n)}{\mu_n} = \frac{f(x_n)}{\mu_n} \leq$$

$$\leq \frac{f_n(x_n) - \varepsilon}{\mu_n} \to 1 - \varepsilon.$$

Следовательно, $x_n\slash\mu_n$ не может содержать подпоследовательности, которая слабо сходится к некоторой точке $x \in P_{M}(0), 0 \notin wAC(M).$

З а м е ч а н и е . В предложении 3 условие $M \in {\cal F}_{cc}(X)$ является существенным. Так, в пространстве X последовательностей $x = (x_0 ,x_1 ,x_2 ,...,\linebreak x_n ,...),$ суммируемых с квадратом, с нормой
$\Vert x\Vert = \max \left\{ \vert x_{0} \vert, \left( \sum\limits ^{\infty}_{n=1} x_n^2\right)^{1/2}\right\}$ имеем $X^{*} \in (CD),$ но если положить $M = \bigcup\limits ^{\infty}_{n=1} \left\{e_1 + e_n/2\right\},$ то $0 \in F_{M}\backslash wAC(M).$

Предложение 4.Пусть $X \in (B).$Следующие условия эквивалентны:

а) $X^{*} \in (A^{\char93 } );$

б) $\forall M \in {\cal F}_{cc}(X)$ справедливо равенство $(G^{1}_{M} \cap E_{M})\backslash M = (F_{M} \cap E_{M})\backslash M;$

в) $\forall M \in {\cal F}_{cc}(X)$ такого, что $X\backslash M$ ограниченно, справедливо равенство $(G^{1}_{M} \cap E_{M})\backslash M = (F_{M} \cap E_{M})\backslash M.$

Д о к а з а т е л ь с т в о совпадает с доказательством предложения 2, только функционал f будет принадлежать $X^{\char93 } (\mathbf{f} \in Y^{\char93 } ).$

Лемма 13.Пусть $M \in {\cal F}(X)$ выпукло, $b > 0, Q(b) = \{x\in X: xM \geq b\}.$Тогда для любого $x\in X\backslash M \backslash Q(b)$справедливо равенство

xM + xQ(b) = b.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть $z_n \in Q(b), y_n\in M, xz_n \to xQ(b), xy_n\to xM.$Имеем $xy_n + xz_n \geq z_ny_n \geq b,$ тогда $xM + xQ(b) \geq b.$Обозначим c = xM. Q(c) - выпуклое замкнутое тело, $x \in \partial Q(c).$По теореме Хана-Банаха найдется функционал $f\in S(X^{*}$такой, что $f(x) = \sup \{f(z): z\in Q(c)\}.$Ясно, что $d:= \sup\{f(z):z\in Q(b)\} = f(x) + b - c.$Пусть $H = \{z\in X:f(z) = d\}.$Имеем $xQ(b) \leq xH = b - c,$тогда $xM + xQ(b) \leq \linebreak \leq xM + xH = c + b - c = b.$

З а м е ч а н и е . В случае $X \in (R)$ лемма 13 доказана В.Кли [22]. В лемме условие выпуклости множества нельзя отбросить. В качестве примера можно взять $X={\Bbb R}^{2}$ (евклидова плоскость), а M - дополнение до квадрата.

С помощью этой леммы из предложений 2 и 4 вытекают следствия 10 и 11.

Следствие 10. Пусть $X \in (B).$Следующие условия эквивалентны:

а) $X^{*} \in (A^{\char93 } );$

б)для любого выпуклого множества $M \in {\cal F}(X)$ справедливо равенство $(G^{1}_{M} \cap E_{M})\backslash M = (F_{M} \cap E_{M})\backslash M.$

Следствие 11.Пусть $X \in (B).$ Следующие условия эквивалентны:

а) $X^{*} \in (A^{*});$

б)для любого выпуклого множества $M \in {\cal F}(X)$ справедливо равенство $G^{1}_{M} \backslash M = F_{M} \backslash M.$

Поступила 16.02.96