Неединственность решения уравнения (1) без учета дополнительной информации
эквивалентна нетривиальности Ker A. Используем дополнительную информацию
об искомом решении, заданную с помощью оператора L,
и рассмотрим множество 
где 
Нас будет интересовать "мало" или "велико" множество
Обозначим через
Для возмущенного оператора 
построим конструкцию аналогичную
[11], [12]. Обозначим через 
множество операторов 
Для краткости, той же буквой будем обозначать совокупность уравнений
(1) с операторами 
.
Рассмотрим множество 
О п р е д е л е н и е 1. Пусть задан возмущенный оператор и заданы числа (пороги) 
Будем говорить, что класс уравнений имеет
единственное (в рамках заданной точности h>0) решение, если 
В противном случае будем говорить о неединственности решения класса уравнений
(в рамках заданной точности).
Вопросы практического применения к конкретным
уравнениям (выбор порогов-параметров) обсуждаются в параграфе 3.
В следующей теореме собраны утверждения о связи между понятиями
(не)единственности для точного оператора 
и (не)единственности
для класса уравнений 
Теорема 6.
Пусть 
точный оператор и 
есть
приближенно заданный оператор, по которому определяется Тогда
справедливы следующие утверждения:
а) Если 
то для любого h>0, для любого
оператора совокупность уравнений имеет неединственное решение.
б) Если 
то для любой последовательности
при любом выборе операторов 
начиная с некоторого достаточно
большого n, совокупность уравнений 
имеет единственное решение.
в) Если совокупность уравнений имеет единственное решение, то
г) Если существует последовательность 
что при некотором выборе
совокупность уравнений имеет неединственное решение, то
и, при любом выборе h и оператора
совокупность уравнений имеет неединственное решение.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Поскольку уравнение (1) с оператором входит в
множество 
то ясно, что утверждение а) имеет место. Доказательством от
противного сразу устанавливается, что из а) следует утверждение в).
Докажем утверждение г). Пусть 
Без ограничения общности можно считать, что 
Далее, ввиду свойств
оператора L, можно считать, что существует элемент 
существует
подпоследовательность 
(не меняя обозначений, будем считать, что 
),
что 
где 
есть слабая сходимость в
пространстве Z. Тогда 
Кроме того, для
каждого n существует оператор 
что 
Тогда ввиду оценки 
имеем, что 
т.е. 
Использование
утверждения а) завершает доказательство г). Доказательством от противного сразу
устанавливается, что из утверждения г) следует утверждение б).
Из этой теоремы следует
Теорема 7.
Пусть точный оператор и 
есть последовательность приближенно заданных операторов, по которым определяется
Пусть 
Тогда для того, чтобы 
необходимо и достаточно, чтобы начиная с некоторого достаточно
большого n совокупность уравнений имела единственное решение с порогом
Далее будем говорить просто о единственности или неединственности решения (1)
понимая всегда под (1) совокупность уравнений из класса
Перейдем к практической проверке неравенства в определении 1. Введем два множества
Ясно, что единственность решения систем (1) эквивалентна тому, что множество
Лемма 5.
Множества 
и 
пусты или не пусты
одновременно.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Поскольку из 
следует, что 
то ясно, что 
Обратно, пусть 
ясно, что 
Легко проверить, что оператор 
обладает следующими свойствами: 
Следовательно, 
.
Нам понадобится несколько модифицированное условие (9)
Следующая теорема дает три практически проверяемых (т.е. существуют алгоритмы,
позволяющие проводить проверку) критерия (не)единственности решения
уравнения (1). В различных ситуациях на практике удобно использовать
различные критерии.
Теорема 8.
Пусть выполнено условие (11). Для того, чтобы множество 
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из трех неравенств:
Д о к а з а т е л ь с т в о. Напомним, что в левой части неравенства (12) стоит
модуль непрерывности обратного к оператору 
Докажем сначала эквивалентность выполнения условия (12) и пустоты
множества .
Достаточность докажем от противного. Пусть 
Тогда 
т.е. неравенство
(12) не выполняется, что противоречит предположению. Необходимость
тоже докажем от противного. Пусть неравенство (12) не выполняется.
Ясно, что существует элемент на котором реализуется
супремум в левой части неравенства (12), т.е. 
Следовательно, 
что противоречит предположению.
Докажем эквивалентности неравенств (12) и (13).
Сначала докажем, что из (12) следует (13). От противного: пусть
(12) имеет место и выполнено неравенство
С помощью замены 
левая часть (15) сводится к
задаче (4). Поэтому по теореме 2 этот минимум достигается
на элементе 
если 
выбрано из условия 
Поскольку 
то элемент 
и, следовательно, неравенство (12) не выполняется, что противоречит
предположению.
Наоборот. От противного: пусть (13) имеет место и выполнено неравенство
Максимум в левой части (12) реализуется на элементе 
при соответствующем выборе 
Покажем, что
Действительно, для 
должно выполняться 
С другой стороны, 
Следовательно, 
Тогда, тем более, элемент 
и что противоречит предположению
о выполнении неравенства (13). Аналогично доказывается эквивалентность
неравенств (12) и (14).
Напомним, что через 
обозначается множество нормированных
на единицу собственных векторов оператора 
Из доказательства
теоремы 5 вытекают три утверждения.
Следствие 1.
Пусть выполнено условие (11). Тогда существует 
для которого множество 
и для выполнения неравенства (13) необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось неравенство
Следствие 2.
Пусть выполнено условие (11). Тогда существует для которого множество 
и для выполнения неравенства (14) необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось неравенство
Следствие 3.
Пусть выполнено условие (11). Тогда существует для которого множество 
и для выполнения неравенства (12) необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось неравенство
Следствия 1, 2 и 3 позволяют построить практические алгоритмы исследования уравнения 1 рода на (не)единственность. Мы в этой статье не будем обсуждать дискретную аппроксимацию задач (17), (18), (19), отсылая читателя к гл. 5 [9], где эти вопросы подробно описаны.