А. Л. Агеев
Рассматривается совокупность линейных уравнений 1 рода, эквивалентных в рамках заданной точности. Вводится понятие (не)единственности решения для этого множества уравнений. Конструируются алгоритмы, требующие минимальных предположений относительно оператора задачи, которые позволяют исследовать линейные некорректные задач на (не)единственность в смысле введенного определения. На примере интегральных уравнений, возникающих в структурных исследованиях материалов, обсуждается практическое применение предложенной методики.
Рассмотрим линейное уравнение 1 рода
где A - линейный непрерывный оператор с незамкнутой областью значений R(A),
отображающий X в Y; X, Y- гильбертовы пространства. Как известно [1],
[2], в этом случае проблема (1) является некорректно поставленной
задачей.
Предположим, что относительно искомого решения 
уравнения (1)
известна дополнительная информация, заданная с помощью информационного
оператора L, требования на который сформулированы в параг. 1. Вместо оператора
A известен возмущенный оператор 
и уровень возмущения
h>0. Обычно также предполагают известной
возмущенную правую часть уравнения (1) и уровень ee возмущения,
но в теоретических рассмотрениях эта информация нам не понадобится.
Нас будет интересовать вопрос о (не)единственности решения уравнения (1).
Для случая h=0 единственность решения некоторых уравнений 1 рода исследовалась,
например, в работах [3], [4], [5]. Для возмущенного оператора,
в другой (ассимптотической, т.е. при 
) постановке, эта проблема изучалась
в [6], [7], [8] (см. также гл.3 [9] и [10]).
Однако на практике мы не можем стремить уровень погрешности задания оператора
к нулю и постановка при фиксированном h > 0 не охватывается имеющейся
теорией. Проведение такого анализа важно и
для приложений. Дело в том, что корректная постановка обсуждаемой
проблемы основана на привлечении дополнительной информации о задаче
и желательно формально описать набор необходимых априорных сведений.
Основная трудность рассмотрения вопроса о (не)единственности при фиксированном
уровне погрешности связана с тем, что в классическом смысле (для индивидуального
уравнения) эта проблема неустойчива относительно малых возмущений оператора.
Действительно, ввиду некорректности задачи (1), в любой
h - окрестности известного нам возмущенного оператора 
обязательно есть
как операторы A, для которых уравнение (1) имеет единственное
решение, так и операторы с нетривиальным ядром 
Поэтому, в случае приближенно заданного
оператора, необходима модификация понятия (не)единственности, которая была бы
устойчива к малым возмущениям оператора. Так же, как это было сделано ранее
для задачи решения системы линейных алгебраических уравнений [11], [12],
предлагается рассмотреть совокупность уравнений 1 рода с операторами 
(эквивалентных по точности)
и определить понятие (не)единственности для этого множества уравнений.
После введения нового определения (не)единственности встает вопрос о
методах исследования уравнений на (не)единственность в смысле введенного
определения. В случае,
когда спектр операторов и L известен и эти операторы коммутируют
(или известен спектр операторов 
и 
и они коммутируют)
работает стандартная техника спектрального анализа. Однако для h>0 ситуации,
когда этот подход работоспособен, имеет место только при дополнительных
предположениях (например,
когда возмущения оператора имеют специальный вид). Для многих
прикладных интегральных уравнений 1 рода спектр оператора задачи
неизвестен и ни одно из условий коммутируемости не выполняется. Поэтому
предлагается другой подход (см. гл.3 [9] и [10]), заключающийся в
построении численного алгоритма, позволяющего при минимальных требованиях на
оператор задачи провести исследование уравнения 1 рода на (не)единственность.
В настоящей работе в параг. 2 задача исследования на (не)единственность сводится к вариационным проблемам, регулярные алгоритмы решения которых описаны в гл.3 [9] и [10]. Необходимые сведения об этих алгоритмах кратко, без доказательства, приведены в параг. 1. При этом, для экономии места, в этой статье не обсуждаются вопросы конечномерной аппроксимации бесконечномерных задач (см. гл. 5 [9]). После проведения дискретизации реализация алгоритмов сводится к решению частичной проблемы собственных значений для симметричной положительно определенной матрицы, зависящей от параметра, при его соответствующем выборе.
Вопросы практического применения разработанной техники к исследованию прикладных интегральных уравнений 1 рода обсуждаются в параг. 3.
В заключение отметим, что в настоящей работе исследуется
проблема аппроксимации 
для совокупности операторов
A (с незамкнутой областью значений), эквивалентных по точности. Эта задача
также возникает и в некоторых других ситуациях (см., например, [13]),
а не только при исследовании уравнения (1) на (не)единственность.