В этом разделе сначала вводятся условия на информационный оператор L, а затем кратко формулируются (подробнее см., например, гл.3 [9] и [10]) утверждения, позволяющие построить регулярные (устойчивые) алгоритмы решения вариационных задач. Именно к этим задачам в параг. 2 сводится исследование уравнений 1 рода на неединственность. Читатель, не интересующийся деталями практической реализации алгоритмов, может сразу после двух следующих абзацев переходить к параг. 2.
Пусть X,Y,Z - бесконечномерные, сепарабельные, гильбертовы пространства;
- линейные непрерывные операторы из X в Y; 
таково, что
L - линейный
неограниченный оператор из X в Z с областью определения D(L),
всюду плотной в X. Относительно L везде далее будем также предполагать,
что Ker L конечномерно, область значения R(L) оператора L есть все пространство
Z и на Z существует вполне непрерывный правый обратный оператор 
т.е. 
и 
(E - тождественный оператор).
Приведем пример информационного оператора L, который наиболее "популярен"
при решении интегральных уравнений 1 рода. Пусть 
(пределы a, b
- конечны). Рассмотрим оператор B вложения соболевского пространства
в X. Как известно, B есть взаимно-однозначный вполне непрерывный
оператор. Положим 
Ясно, что Ker L тривиально и D(L) всюду
плотна в X. От искомого решения 
уравнения (1)
требуется, чтобы это была абсолютно непрерывная функция и чтобы была известна
оценка 
. Обычно также
считаются известными граничные значения искомой функции 
(на концах можно также задавать значения производных или смешанные условия).
Заменой переменных этот случай сводится к случаю, когда 
Тогда известно (см., например, [1]), что оператор 
Отметим, что именно оператор 
используется впоследствии во всех алгоритмах.
Рассмотрим четыре вариационных задачи и частичную спектральную проблему для
симметричного неограниченного оператора 
. Исследуем связь между
этими проблемами. Заметим, что все утверждения приводятся, по сравнению с
[9], [10], в более простой форме, достаточной для наших целей.
Первая вариационная задача имеет вид
Свойства оператора L позволяют при 
обосновать
наличие решения. Справедлива
Лемма 1. Для всех
множество решений задачи (2) не пусто.
Поскольку задача (2) невыпукла и имеет, вообще говоря, неединственное
решение, то обозначим множество всех ее решений через 
Перейдем к рассмотрению неограниченного самосопряженного оператора, связанного с
задачей (2),
Оказывается, что, если занумеровать собственные числа 
оператора по возрастанию, то собственные функции, отвечающие
,
удовлетворяют (2), т.е. выполняется известное экстремальное
свойство собственных функций симметричного оператора (одновременно в теореме
утверждается существование собственных функций оператора ).
Теорема 1. При оператор
имеет чисто дискретный спектр
При этом 
и каждое собственное число
имеет конечную кратность. Для собственных векторов, отвечающих , справедливо экстремальное свойство (2) и наоборот любое
решение задачи (2) является собственной функцией оператора , отвечающей .
Вариационная форма (2) определения 
используется в
теоретических рассуждениях. Практическое отыскание сводится
к решению частичной проблемы собственных значений для симметричной матрицы
аппроксимирующей при 
оператор .
Перейдем к рассмотрению вариационной задачи
Через 
обозначим совокупность решений задачи (4).
Задачи (2) и (4) эквивалентны при определенном значении параметра
. Доказательство этого факта основывается на свойствах многозначных
функций 
при 
Эти же утверждения используются
при построении алгоритмов решения задач (2) и (4).
Лемма 2. Если 
строго монотонно убывая (возрастая),
то для всех 
Лемма 3. Пусть 
не замкнута в Y.
Если 
, то для
всех 
справедливо неравенство
Для доказательства эквивалентности задач (2) и (4) нам необходимо
ввести условие.
Пусть 
правые сингулярные функции
оператора L, отвечающие его наименьшему сингулярному числу d
(если 
то это просто
базис в Ker L, а d=0). Пусть 
- подпространство натянутое на
Введем константу
и рассмотрим следующее условие
Теорема 2.
Если выполняется условие (5),
тогда существует 
такое, что 
и это множество совпадает
с множеством решений задачи (4). Множество таких , при которых
,
является отрезком, быть может, вырождающимся в точку.
Подходящее можно найти на практике, например, пользуясь монотонностью
многозначной функции 
. В [9] (лемма
3.18) приведены конструктивно проверяемые достаточные условия, обеспечивающие
выполнение неравенства (5).
Рассмотрим еще одну вариационную задачу
где r-параметр, задающий компакт 
Обозначим
через 
- решения задачи (6).
Лемма 4.
Если множество 
непусто, то задача
(6) разрешима.
Если 
то определим 
как множество решений задачи
Теорема 3. Если выполняется условие (5), то реализуется один из двух случаев
1) Если 
, то существует
такое, что множество 
и 
есть множество решений задачи (7).
2) Если 
, то
состоит из множества решений задачи (7).
Таким образом, согласно теоремам 1 и 3 решение задачи (6) сводится к
решению частичных
спектральных проблем для оператора при подходящем 
В случае 1) можно определить, например, методом деления отрезка
пополам (лемма 2). В случае 2) нужно выбрать достаточно маленькое ,
чтобы 
Введем функцию, называемую модулем непрерывности обратного оператора
в нуле (заметим, что она также определена в случае несуществования 
)
Введем также функции
Заметим, что функция 
тесно связана с субдифференциалом функции 
и
является многозначной при тех значениях 
при которых кратность
больше единицы.
Изучим свойства функций 
и 
Введем условие
Теорема 4. Пусть выполняется условие (9). Тогда множество точек, в которых
функция достигает минимума не пусто и является отрезком
(быть может, вырождающимся в точку). Этот отрезок совпадает с множеством, на
котором монотонно возрастающая многозначная функция 
меняет знак
(
). На интервале 
строго монотонно убывает, 
На интервале 
строго монотонно возрастает, 
Теорема 5. Пусть выполняется условие (9). Тогда справедливо равенство
Таким образом, для вычисления 
достаточно уметь находить
нули монотонной функции и уметь вычислять минимальное
собственное число симметричного оператора 