В этом параграфе разработанные ранее алгоритмы применяются к интегральным уравнениям Фредгольма 1 рода, возникающим в прикладных исследованиях. Напомним, что при решении линейных уравнений 1 рода большинство методов регуляризации (например, вариационный метод Тихонова) аппроксимируют нормальное (имеющее наименьшую норму) решение исходного уравнения. Однако в некоторых прикладных задачах нормальное решение не является искомым, т.е. решением, описывающем физическую реальность. Поэтому одним из важнейших этапов изучения задачи с целью обеспечения надежности восстановления именно искомого решения несомненно является исследование проблемы (не)единственности. В случае множества решений для получения сходимости к искомому решению необходимо привлечение дополнительной информации (априорные физические ограничения, выбор пробного решения и т.п.).
Для исследования уравнений на неединственность применим идеологию, изложенную
в параг. 2. Для этого оценим уровень
погрешности h и выберем значения порогов-параметров 
Этот выбор не
является формальной процедурой и производится в каждом конкретном случае отдельно.
Метод рентгеноспектрального структурного анализа
(РССА). Этот метод предназначен для исследования структуры неупорядоченных
материалов. Для однокомпонентных материалов уравнение РССА
(см. гл.6 [9]) имеет вид
где 
и U- известные константы, f(s) и 
-
известные функции. Функция 
есть плотность математического числа
атомов расположенных на расстоянии r (в ангстремах) от "центрального" атома.
Типичные значения параметров a=2, b=8, c=3.5, d=16
определяются как физикой эффекта, так и возможностями эксперимента. Оператор
предполагается действующим из 
в 
а искомое решение 
предполагается принадлежащим 
(оператор L есть оператор обратный
оператору вложения 
) в ).
В [9] п. 1.3 гл.6 подробно
описаны модельные расчеты решения уравнения РССА вариационным методом Тихонова
с 
. На основе расчетов была
сформулирована гипотеза, что искомая функция отличается от нормального
решения уравнения РССА, аппроксимируемого методом Тихонова. Наша цель состоит
в том, чтобы подтвердить или опровергнуть эту гипотезу.
Опишем возможную схему оценки 
и r для уравнения РССА (20). Поскольку
нам известно точное решение 
то это сразу дает нам шкалу измерения
Например, будем считать относительную погрешность в изменении решения свыше
300% большой (конечно, такой процент завышен по крайней мере на порядок, он выбран
для более наглядного представления результатов), т.е. 
Выберем число r таким образом, чтобы для всех вариаций решения 
величины
были порядка 
Для этого, например, потребуем, чтобы 
Перейдем к оценке точности h задания оператора в уравнении (20).
Применительно к уравнению РССА можно утверждать, что h>0, т.к. фаза
и амплитуда в уравнении (20) (функции 
) заданны приближенно.
С другой стороны, по-видимому, эффективной процедуры оценки h нет. Известно,
что относительная погрешность задания правой части уравнения (20) при
обработке экспериментальных данных есть примерно 
Поэтому потребуем
выполнения условия 
т.е. положим 
Далее удобно считать, что собственные вектора из
нормированы на норму модельного решения: 
Тогда согласно следствию 17 необходимо найти параметр регуляризации
(такое значение существует) и вычислить величину
Для того, чтобы 
(случай неединственности), необходимо
и достаточно, чтобы выполнялось неравенство 
При этом, в частности,
элементы 
Минимум в (21) достигается на собственной функции 
(с
нормировкой 
) оператора
отвечающей наименьшему собственному числу этого оператора (для краткости сразу
записана матрица, аппроксимирующая оператор 
). Аппроксимация матрицы
выполнена методом коллокации "на ступеньках" при n=120,m=350. Тогда мы
имеем 
Поскольку 
то неравенство 
выполняется и мы имеем для уравнения РССА случай неединственности. Поэтому,
не привлекая дополнительной информации, нельзя гарантировать ни для какого
метода регуляризации восстановление нужного нам решения.
Отметим, что сделанный вывод о неединственности решения уравнения РССА соответствует интуитивным представлениям об уравнении, имеющем неединственное решение (подробнее см. п.3.3 гл.6 и рис.5,7 в [9]).
Метод дифракции. Другим методом исследования
неупорядоченных материалов является метод дифракции. Основное уравнение в
этом методе имеет вид
где функция f(s)- известна. Оператор предполагается действующим из
в а искомое решение предполагается принадлежащим 
В общем случае интервал [c,d] сильно отличается от 
Чтобы
проиллюстрировать исследование уравнения, имеющего единственное решение,
рассмотрим здесь случай, когда интервал измерения [c,d] близок к интервалу
Тогда, ввиду связи (22) с прямым
-преобразованием, можно ожидать, что уравнение (22) имеет единственное
решение.
Перейдем к исследованию (не)единственности решения уравнения (22), аналогично
тому, как это было сделано в предыдущем пункте ( относительную точность задания
правой части можно оценить в 1%).
Положим 
Поскольку 
то мы имеем h=0.062, r=2.8
Обозначим через 
собственную функцию (с нормировкой 
) оператора 
отвечающую наименьшему собственному числу
этого оператора
Матрица 
аппроксимирует оператор методом коллокации
"на ступеньках" при 
есть матрица аппроксимирующая оператор 
обычной второй разностью.
Тогда при 
мы имеем,
что 
Это значит, что 
(мы взяли
в "вилку").
Поскольку 
то 
и в рамках
заданной точности мы имеем единственное решение.
Как и для уравнения РССА, сделанный вывод о единственности решения дифракционного уравнения соответствует интуитивным представлениям об уравнении, имеющем единственное решение (подробнее см. п.3.4 гл.6 и рис.8 в [9]).
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант N 97-01-00520).
Поступила 30.09.97