3. Вспомогательные леммы

Сформулируем и докажем две леммы.

Лемма 1. Пусть T. Тогда

где , и - константы, выписываемые явно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию

Отметим ряд свойств построенного линейного интерполянта . Во-первых, он почти всюду дифференцируем, причем для почти всех :



Во-вторых, следующее неравенство выполняется :

где .

Поскольку p(t) - решение (1), то , и справедливо (10):

Выполним вспомогательные преобразования:







Пусть

(существование и вытекает из ограничений на ядро уравнения (1)). Имеем



Поскольку оценка справедлива , то

Из леммы Гронуолла следует

Обозначая , , получаем

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть

где

и выполняются следующие условия:





Тогда

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (12) и (13) выводим

(здесь константа может быть выписана явно). Поскольку + при , то по лемме Гронуолла

из (12) следует, что

Отсюда, переходя к пределу при и учитывая сходимость (15), получаем

что доказывает (16). Покажем теперь, что (17) также выполняется. Из (13) имеем



Обозначая , получаем

По формуле Коши

Отсюда и из (12) следует

где , .
Рассматривая (18), заключаем

Используя (19), получаем

Тогда из (20) следует

С другой стороны,

Обозначая

и, несколько раз применяя теорему Фубини, выводим







где /L.
Из (14) и (21) следует

Рассмотрим

Имеем



Ввиду слабой сходимости (15), (16) второе слагаемое в правой части бесконечно мало при . Первое слагаемое оценивается через (22). Тогда и из положительности (см. (23)) заключаем

Теперь выберем произвольное . Из вида функции ясно, что

применяя (23), получаем

из (24) следует

для всех достаточно больших k. Тогда для этих k

(где - константа). Это доказывает сходимость (17) и, следовательно, лемму 2.