Мы укажем алгоритм решения интегрального уравнения (1), который основан на сочетании принципа экстремального прицеливания Н.Н. Красовского с методом регуляризации А.Н. Тихонова. Предлагаемый алгоритм конструируется на базе подхода [7, 6, 13, 8]. Перейдем к его описанию.
В начальный момент 
фиксируется величина h и равномерное
разбиение промежутка T на интервалы 
,
, 
, ,
, 
. Работа алгоритма подразделяется
на 
однотипных шагов. На i-ом шаге, который выполняется на интервале
, исходными данными для вычислений служат значение
измерения 
и сформированное к моменту 
``приближенное
решение'' уравнения (1) 
, 
. Происходят следующие
действия: во-первых, находится значение вспомогательной функции 
,
здесь 
- линейный интерполянт, построенный по узлам
, т. е. 
,
, а во-вторых, определяется вектор 
по
правилу: есть решение экстремальной задачи
и полагается
Здесь 
- параметр регуляризации,
- выпуклое замкнутое ограниченное множество,
при почти всех 
(существование P обеспечивается
справедливостью гронуолловской оценки для уравнения (1)).
Процесс заканчивается в конечный момент времени 
.
Отметим, что если ядро уравнения (1) определяется через
фундаментальную матрицу решений какого-либо дифференциального уравнения,
то пересчет функции 
не требует полной памяти, поскольку в
этом случае достаточно отслеживать движение вспомогательной модели.
Пусть p(t) - решение уравнения (1), функция 
определяется из (3), (4),
Задана последовательность 
- такая, что 
при 
. Для краткости в последующих рассуждениях
заменим индекс 
на k, т. е. 
,
, 
,
, 
при 
. В дальнейшем полагаем 
.
Теорема 1. Имеет место сходимость:
Если функция 
имеет на промежутке T ограниченную
вариацию, то справедливы следующие оценки скорости сходимости алгоритма:
где константы 
и 
выписываются явно.
Доказательство включает два основных момента. Во-первых,
доказывается, что из малости при всех 
значений функции
следует ``близость'' 
к , а во-вторых,
что описанная процедура (3), (4) ``стабилизирует''
.